張明磊，寧 媛，李 忠

(貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

隨著電力監(jiān)測系統(tǒng)的快速發(fā)展，產(chǎn)生的大量信號會(huì)造成信號傳輸速度較慢、部分信號丟失以及硬件存儲(chǔ)空間不足等問題，影響硬件的高效運(yùn)行。為此，應(yīng)采取有效措施壓縮信號，以提高信號傳輸速度、減小存儲(chǔ)空間，使電力監(jiān)測系統(tǒng)高效運(yùn)行。

針對上述問題，提出了一種壓縮傳感方法[1-2]。該方法可以解決小電流接地故障選線中信號的采樣、傳輸和存儲(chǔ)問題。該方法與傳統(tǒng)信號采樣方法不同，它對信號的采樣是有選擇性的，在采樣過程中能夠減少大量的信號冗余。在采樣的同時(shí)進(jìn)行壓縮，使采樣后得到的少量采樣點(diǎn)能通過重構(gòu)算法很好地恢復(fù)原始信號?；趬嚎s傳感理論的采樣能夠降低對硬件的要求，實(shí)現(xiàn)基于一般性能硬件的高效采樣。

信號重構(gòu)算法的研究是壓縮傳感理論研究中的重要課題。目前有很多信號重構(gòu)算法[3-5]。正交匹配追蹤算法[6](orthogonal matching pursuit，OMP)等能完成稀疏度已知的信號重構(gòu)。在實(shí)際電力監(jiān)測系統(tǒng)產(chǎn)生的信號中，信號的稀疏度一般是不確定的。因此，該算法就不能完成對信號的準(zhǔn)確重構(gòu)。對此，提出了交替乘子方向法(alternating direction method of multipliers,ADMM)[7-8]。該信號重構(gòu)算法可以完成稀疏度不確定情況下的信號重構(gòu)。

1 壓縮傳感原理

壓縮傳感理論，也稱為壓縮采樣理論、壓縮感知理論。該理論的采樣頻率不用考慮奈奎斯特采樣頻率。采樣信號是有選擇性的部分信號，并通過設(shè)計(jì)重構(gòu)算法來準(zhǔn)確恢復(fù)原始信號。該理論可描述為：如果一維信號XN×1在變換域ΨN×N中是K-稀疏的SN×1(K?N),則采用一個(gè)與變換域ΨN×N非相干的測量矩陣ΦM×N(M

Y=ΦX=ΦΨS=ΘS

(1)

式中：Θ=ΦΨ為傳感矩陣。

(2)

式中：‖S‖0為SN×1的L0范數(shù)。

1.1 稀疏性

信號的稀疏性，可以理解為信號XN×1在時(shí)域可能存在一個(gè)變換域ΨN×N，使得信號在該變換域中只有少數(shù)的非0元素，剩下的絕大多數(shù)元素為0或者較小值。其可表示為：

X=ΨS

(3)

式中：S僅有K(K?N)個(gè)不為0的值;X在變換域ΨN×N中具有K-稀疏性。

信號的稀疏性是應(yīng)用壓縮傳感理論作為小電流接地系統(tǒng)故障選線的基礎(chǔ)，一般的信號通過一個(gè)稀疏基，即可達(dá)到稀疏性的效果。常用的稀疏矩陣有：快速傅里葉變換矩陣、離散小波變換矩陣[9]等。本文選取快速傅里葉變換矩陣作為稀疏矩陣。這也是目前應(yīng)用廣泛的稀疏矩陣。

1.2 測量矩陣

測量矩陣ΦM×N，用來對N維的XN×1進(jìn)行測量得到Y(jié)M×1。為了讓YM×1保留XN×1的主要特征，ΦM×N需要滿足約束等距特性準(zhǔn)則(restricted isometry property,RIP)[1]。在這個(gè)特性中，存在一個(gè)常數(shù)δ∈(0,1)，對任意XN×1都成立。

(4)

常用的測量矩陣有高斯隨機(jī)矩陣、稀疏隨機(jī)矩陣等。本文采用高斯隨機(jī)矩陣。

設(shè)高斯隨機(jī)矩陣ΦM×N，維數(shù)為M×N。N為待測信號的維數(shù)，M為測量維數(shù)，且M

(5)

1.3 重構(gòu)算法

圖1 采樣壓縮流程對比圖

(6)

本文選取ADMM求解最小L1范數(shù)約束的重建問題，從而實(shí)現(xiàn)壓縮采樣信號的精確重構(gòu)。

2 交替乘子方向法

對于一個(gè)無約束的最優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)為兩函數(shù)之和，且形式如下：

(7)

式中：g為從Rn空間到Rd空間的映射。

若存在向量V∈Rd且滿足g(u)=v，則該問題可轉(zhuǎn)化為如下問題：

(8)

下面采用ADMM求解式(8)。若設(shè)g(u)=gU，則有：

式中：G為變換矩陣，且G∈Rd×n。

對于如式(10)所示的有約束的最優(yōu)化問題，其增廣拉格朗日函數(shù)定義為式(11)：

(10)

式中：A∈Rn×p、b∈Rp。

(11)

式中：λ、μ分別為拉格朗日乘子向量、懲罰項(xiàng)參數(shù)，且滿足λ∈Rp、μ≥0。

此式后兩項(xiàng)可以簡化為一個(gè)單獨(dú)的二次項(xiàng)：

(12)

(13)

那么：

(14)

為了將式(9)化簡為式(10)的形式，則設(shè)：

且：

E(z)=f1(u)+f2(v)

(15)

(uk+1,vk+1)∈argminu,vf1(u)+f2(v)+

(16)

交替乘子方向法求解式(16)的步驟如下。

①初始化，設(shè)迭代次數(shù)k=0、μ>0，且選擇合適初值d0、v0。

④利用式子dk+1=dk-Guk+1+vk+1更新d。

⑤更新迭代次數(shù)，用k+1替代k。

⑥判斷是否滿足迭代停止條件。若滿足，返回當(dāng)前值uk、vk；否則，返回步驟②繼續(xù)執(zhí)行。

交替乘子方向法的收斂性證明如下。

定理1 若存在如下有約束最優(yōu)問題：

(17)

式中：f1、f2均為凸函數(shù)；G為列滿秩矩陣，且G∈Rd×n。

(18)

(19)

ADMM產(chǎn)生的序列{uk}、{vk}和{dk}滿足定理1。由定理1可知，ADMM無需求解步驟②和步驟③。

3 仿真試驗(yàn)及分析

本文采用 MATLAB/Simulink軟件，建立小電流接地系統(tǒng)單相接地故障時(shí)的動(dòng)態(tài)仿真模型，驗(yàn)證基于壓縮傳感的小電流接地故障選線的正確性和有效性。發(fā)電機(jī)端口引出三條線路并且末端分別接負(fù)荷，對其中一條線路設(shè)置單相接地。發(fā)電機(jī)采用中性點(diǎn)，經(jīng)消弧線圈串聯(lián)電阻接地且端口接負(fù)荷。

模型參數(shù)如下。線路長度：L1=130 km,L2=175 km,L3=151 km。線路正序參數(shù)：r1=0.012 730 hms/km,L1=0.933 7 mH/km,C1=12.74 nF/km。線路零序參數(shù)：r0=0.386 40 hms/km,L0=4.126 4 mH/km,C0=7.721 nF/km。電源電壓：U=10.5 kV。采用過補(bǔ)償接地方式，補(bǔ)償度為10%。

稀疏矩陣采用快速傅里葉變換矩陣，測量矩陣采用高斯隨機(jī)矩陣，重構(gòu)算法采用ADMM。選用的小波函數(shù)為db10。

3.1 基于壓縮傳感的信號壓縮重構(gòu)

設(shè)置系統(tǒng)總仿真時(shí)間為0.256 s,采樣時(shí)間為40 μs。系統(tǒng)在t=0.04 s時(shí)刻L3線路發(fā)生單相接地故障，故障點(diǎn)距離母線1 km，產(chǎn)生的信號大小為6 400點(diǎn)。

ADMM對測量信號進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的零序電流信號波形如圖2所示。在以上信號壓縮重構(gòu)試驗(yàn)中，原始信號大小為6 400點(diǎn)，經(jīng)高斯隨機(jī)矩陣得到的測量信號大小為1 200點(diǎn)，壓縮比為5.3，重構(gòu)誤差在5%以下，壓縮重構(gòu)效果較好，為故障選線提供了良好的信號。

圖2 零序電流重構(gòu)信號波形圖

3.2 基于小波原理的故障選線

采用小波函數(shù)db10對其進(jìn)行分解，當(dāng)分解到第7層時(shí)，其波形如圖3所示。由圖3可以看出，L3線路的零序電流模極大值的極性與L1、L2相反，認(rèn)為L3線路為故障線路。

圖3 零序電流小波分解波形圖

(20)

采用小波對零序電流進(jìn)行分解，可以獲取零序電流的主要特征。故障線路零序電流模極大值的極性與非故障線路相反[12]。根據(jù)這個(gè)極性相反來完成故障選線。

小電流接地系統(tǒng)單相接地故障時(shí)，經(jīng)過壓縮重構(gòu)后，采集得到三條出線零序電流。

4 結(jié)束語

為了解決小電流接地故障選線中信號的采樣、傳輸和存儲(chǔ)問題，本文將壓縮傳感理論應(yīng)用到小電流接地故障選線中?；趬嚎s傳感方法的采樣，不用考慮奈奎斯特采樣頻率的限制。采樣的信號是有選擇性的部分信號。通過設(shè)計(jì)重構(gòu)算法來恢復(fù)原始信號，為下一步故障選線提供良好的信號。本文選取交替乘子方向法進(jìn)行信號重構(gòu)。從本文的仿真過程中可以看出，在信號稀疏度不確定的情況下，該算法重構(gòu)信號的效果也較好，可以在實(shí)際工程中大量推廣。

壓縮傳感理論為解決海量數(shù)據(jù)采集、傳輸、存儲(chǔ)問題開拓了一條新的思路，可以應(yīng)用于小電流接地故障選線，以及圖像采集、醫(yī)學(xué)成像、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)和雷達(dá)成像等領(lǐng)域。由于其自身理論仍處于探索和研究階段，在特定領(lǐng)域應(yīng)用方面也是剛起步，針對稀疏度不確定性等特定領(lǐng)域的重構(gòu)算法將是今后研究的一個(gè)重要方向。

[1] DONOHO D L.Compressed sensing [J].IEEE Transactions on Information Theory,2006,52(4):1289-1306.

[3] 王強(qiáng),張培林,王懷光,等.機(jī)械振動(dòng)信號分塊自適應(yīng)壓縮感知算法[J].儀器儀表學(xué)報(bào),2017,38(2):312-319.

[4] 冷雪冬,王大鳴,巴斌,等.基于漸進(jìn)添邊的準(zhǔn)循環(huán)壓縮感知時(shí)延估計(jì)算法[J].物理學(xué)報(bào),2017,66(9):77-84.

[5] 劉靜,盛明星,宋大偉,等.基于分布式壓縮感知的聯(lián)合檢測與跟蹤算法[J].控制與決策,2017,32(2):239-246.

[6] TROPP J,GILBERT A.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit [J].Transactions on Information Theory,2007,53(12):4655-4666.

[7] 李玉勝.交替方向法及其應(yīng)用[D].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2015．

[8] 鐘軼君.范數(shù)最優(yōu)化問題的交替方向乘子算法[D].大連:大連理工大學(xué),2013.

[9] SUN Y B,XIAO L,WEI Z H.Sparse Representation of images by amulti-component gabor perception dictionary[J].Acta Automatica Sinica,2008,34(11):1379-1387.

[10]DONOHO D L.For most large underdetermined systems of linear equations,the minimal L1 norm solution is also the sparsest solution[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2006,59(6):797-829.

[11]DONOHO D L.For most large underdetermined systems of linear equations,the minimal L1 norm near-solution approximates the sparsest near-solution [J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2006,59(7):907-934.

[12]雷健新,張浩,彭道剛.配網(wǎng)電纜中性點(diǎn)小電阻接地故障及選線研究[J].自動(dòng)化儀表,2016,37(9):48-51.