冀 偉， 藺鵬臻， 劉世忠

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州730070)

波形鋼腹板PC箱梁橋是一種新型的鋼-混組合結(jié)構(gòu)橋梁.該橋型與傳統(tǒng)的混凝土箱梁橋相比可以減輕梁體自重，提高預(yù)應(yīng)力的施加效率［1］，因而已在國(guó)內(nèi)外的橋梁建設(shè)中得到了廣泛的應(yīng)用.

波形鋼腹板PC箱梁橋在豎向荷載作用下，波形鋼腹板承擔(dān)了全部剪力，其產(chǎn)生的剪切變形對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度有較大影響.國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者已對(duì)波形鋼腹板的剪切性能進(jìn)行了研究:SAMANTA等研究了波形鋼腹板有效剪切模量的取值［2］;YI、ELDIB 及 HASSANEIN 等［3-5］研究了波形鋼腹板的剪切屈曲強(qiáng)度;K ESDI等對(duì)波形鋼腹板在剪切力作用下引起的翼板附加橫向彎矩進(jìn)行了研究［6］;李宏江等分析了波形鋼腹板的剪切變形對(duì)波形鋼腹板混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋撓度的影響程度［7］;聶建國(guó)等建立了可考慮鋼腹板剪切變形梁的理論模型，推導(dǎo)了端部無(wú)約束和有約束條件下波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁橋在均布加載和集中加載下的解析解［8］，隨后依據(jù)變形等效原理，通過引入重要的影響參數(shù)對(duì)波形鋼腹板梁變形的解析解進(jìn)一步簡(jiǎn)化，提出了波形鋼腹板梁變形的簡(jiǎn)化計(jì)算方法——有效剛度法［9］;李明鴻等在考慮波形鋼腹板剪切變形影響下，推出了波形鋼腹板混凝土組合梁的撓曲線初參數(shù)方程，并分析了波形鋼腹板混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋在多種加載形式下的撓度［10］.

波形鋼腹板PC箱梁屬于薄壁箱梁構(gòu)件，其剪力滯效應(yīng)會(huì)降低上、下混凝土翼板的彎曲剛度［11］，會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的撓度造成一定的影響.在特定的寬跨比和特定的波形鋼腹板截面高度下，箱梁剪力滯效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)撓度的影響也不可忽略.文獻(xiàn)［12］在考慮箱梁剪力滯和鋼腹板剪切變形影響下，運(yùn)用能量變分法推導(dǎo)出了波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁的撓度計(jì)算公式，但是在分析剪力滯效應(yīng)時(shí)選擇了普通箱梁橋剪力滯效應(yīng)的翹曲位移函數(shù)，影響了波形鋼腹板PC箱梁這一特殊結(jié)構(gòu)剪力滯效應(yīng)分析理論的嚴(yán)密性.

針對(duì)研究現(xiàn)狀和存在的問題，本文從波形鋼腹板PC箱梁剪力滯產(chǎn)生的本質(zhì)即混凝土上、下翼板的面內(nèi)剪切變形和彎曲剪力流的分布規(guī)律出發(fā)，并以“擬平截面假定”為變形協(xié)調(diào)條件［13］，在理論上推導(dǎo)可同時(shí)考慮箱梁剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形的波形鋼腹板PC箱梁橋特有的縱向位移函數(shù)，并運(yùn)用能量變分原理，以所得的縱向位移函數(shù)為基礎(chǔ)，推出了該橋型的撓度計(jì)算公式.計(jì)算公式的正確性得到了有限元和室內(nèi)模型試驗(yàn)的驗(yàn)證，從而為該橋型的撓度計(jì)算和分析提供科學(xué)合理的理論依據(jù).

1 波形鋼腹板PC箱梁橋撓度計(jì)算公式推導(dǎo)

在任意的豎向荷載作用下，波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度W會(huì)受到箱梁剪力滯效應(yīng)(如圖1所示)及波形鋼腹板剪切變形的影響(如圖2所示).

圖1 波形鋼腹板PC箱梁的剪力滯效應(yīng)Fig.1 Shear lag effect in a box girder with CSWs

在波形鋼腹板剪切變形的影響下，其撓曲線上任一點(diǎn)斜率，包含由彎矩引起的曲率y和波形鋼腹板剪切變形γs.

圖1中:σx為考慮剪力滯效應(yīng)的正應(yīng)力;

珚σx為初等梁理論計(jì)算的正應(yīng)力;

ht為箱梁上翼板中心到截面中性軸的距離;

hb為箱梁下翼板中心到截面中性軸的距離;

hw為波形鋼腹板的高度;

b為箱梁頂板寬度;

a為箱梁翼緣板寬度，a=ζb，其中ζ為系數(shù).

圖2 波形鋼腹板PC箱梁在x-z平面內(nèi)的剪切變形Fig.2 Shear deformation in a box girder with CSWs in x-z plane

1.1 波形鋼腹板PC箱梁縱向位移函數(shù)的推導(dǎo)

薄壁箱梁的剪力滯效應(yīng)是翼板的面內(nèi)剪切變形引起的正應(yīng)力沿翼板寬度的非均勻分布現(xiàn)象［14］，因此可以從混凝土上、下翼板的面內(nèi)剪切變形規(guī)律出發(fā)來(lái)定義波形鋼腹板PC箱梁的剪力滯翹曲位移函數(shù).對(duì)于圖1所示的波形鋼腹PC箱梁截面，可以在箱梁頂、底板任意位置虛構(gòu)一個(gè)切口，使之成為開口斷面，此時(shí)由豎向剪力Q引起的彎曲剪力流q的計(jì)算公式為［15］

式中:Iy為波形鋼腹板PC箱梁對(duì)y軸的截面慣性矩;

t為翼板的壁厚.

以頂板的彎曲剪力流計(jì)算為例，若周線坐標(biāo)s的原點(diǎn)選在頂板中心處，則由式(1)可得

設(shè)u為頂板的縱向位移，頂板的面內(nèi)剪切變形為

式中:Gc為混凝土的剪切模量.

對(duì)式(3)進(jìn)行積分可得

式中:u0為頂板中心處的縱向位移.

由式(4)可得頂板與波形鋼腹板交界處的縱向位移為

由式(6)可得箱梁頂板的最大縱向位移差函數(shù)為

利用頂板的縱向位移邊界條件:當(dāng)y=0時(shí)，u=u0;當(dāng)y=b時(shí)，u=u1，可得箱梁頂板考慮剪力滯效應(yīng)的縱向位移函數(shù)為

同理可得波形鋼腹板PC箱梁的懸臂板和底板的縱向位移函數(shù) ux(x，y，z)和 ub(x，y，z).

波形鋼腹板PC箱梁縱向彎曲受力時(shí)，其橫截面的“擬平截面假定”成立，在波形鋼腹板和上、下混凝土翼板交界處的1、2位置的縱向位移可表達(dá)為式(10)和(11)，式中考慮了波形鋼腹板的剪切變形影響.

式中:f(x，z)為理論上推導(dǎo)所得適用于波形鋼腹板PC箱梁橋的剪力滯翹曲位移函數(shù).

1.2 能量法推導(dǎo)撓度計(jì)算公式

波形鋼腹板PC箱梁的頂板、懸臂板和底板沿縱向的正應(yīng)變和橫向的剪應(yīng)變?nèi)缡?14)、(15)所示［15］.

頂板、懸臂板和底板的應(yīng)變能為

波形鋼腹板的剪切應(yīng)變能為

式中:As為波形鋼腹板有效剪切面積;

Gs為波形鋼腹板的有限剪切模量，計(jì)算方法詳見文獻(xiàn)［2］.

波形鋼腹板PC箱梁橋的外力勢(shì)能珚W為

由最小勢(shì)能原理可知，體系總勢(shì)能的一階變分為0，即

對(duì)式(19)～(21)變換整理后可得式(23)～(24)

對(duì)式(23)進(jìn)行兩次積分運(yùn)算后便可得到波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度計(jì)算公式為

式中:

2 算 例

2.1 均布荷載作用下波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋的撓度

如圖3所示，在均布荷載q作用下的波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋，距離坐標(biāo)原點(diǎn)任意位置x處的剪力和彎矩分別為

圖3 均布荷載作用下的波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋Fig.3 Simply supported girder under a uniform load

由文中第2部分的推導(dǎo)可得其撓度計(jì)算公式為

2.2 均布荷載作用下波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的撓度

如圖4所示的在均布荷載q作用下的波形鋼腹板PC兩跨連續(xù)箱梁橋，距離坐標(biāo)原點(diǎn)任意位置x處的剪力和彎矩分別為

圖4 波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋承受均布荷載作用示意圖Fig.4 Continuous box girder under uniform load

則由文中第2部分的推導(dǎo)可得其撓度計(jì)算公式為

2.3 集中荷載作用下波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的撓度

如圖5所示，波形鋼腹板兩跨連續(xù)箱梁橋承受跨中集中荷載P，以左跨為研究對(duì)象，其彎矩與剪力方程為分段函數(shù)

圖5 波形鋼腹板兩跨連續(xù)箱梁橋承受集中荷載作用示意圖Fig.5 Continuous box girder under concentrated load

則由文中第2部分的推導(dǎo)可得其撓度計(jì)算公

3 模型試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所得的求解波形鋼腹板PC箱梁橋撓度計(jì)算公式的正確性，以所建成的波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋-山東省鄄城黃河公路大橋的跨中橫截面尺寸為依據(jù)，按1∶10縮尺(如圖6所示)制作了6 m等截面波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋和3+3 m等截面波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的模型試驗(yàn)梁.試驗(yàn)梁的上、下翼板采用C50混凝土，波形鋼腹板采用Q235鋼，型號(hào)為1600型.

圖6 模型梁的橫截面尺寸Fig.6 Cross section dimensions of model girder

3.1 模型試驗(yàn)梁的加載工況

(1)波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋和連續(xù)箱梁橋的均布荷載加載工況

首先在試驗(yàn)梁頂板與波形鋼腹板交界處沿橋梁縱向鋪設(shè)兩列方磚，如圖7(a)所示，然后在方磚上方沿試驗(yàn)梁中心線對(duì)稱滿鋪鋼板(鋼板重量與預(yù)壓方磚重量相同，用以消除結(jié)構(gòu)非彈性變形的影響)，隨后在鋼板上方整齊均勻鋪設(shè)方磚來(lái)近似模擬均布加載，均布加載分為 1.2、2.4、3.6 t 3 個(gè)等級(jí)進(jìn)行，撓度測(cè)點(diǎn)布置于跨中截面.

(2)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的集中荷載加載

在波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的跨中截面頂板與腹板交界處放置4個(gè)直徑為100 mm的鋼制圓形分載器來(lái)進(jìn)行集中荷載加載，如圖7(b)所示.采用圓鋼管架設(shè)的支撐體系放置于分載器上，隨后在支撐體系上放置形狀統(tǒng)一、重量均勻的沙袋近似模擬集中加載，集中荷載加載分為 0.5、1、1.5 t 3 級(jí)等級(jí)進(jìn)行.

圖7 試驗(yàn)梁加載Fig.7 Test beam loading

3.2 波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型

采用ANSYS 14.0有限元軟件建立了波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型，如圖8所示.

圖8 波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型Fig.8 FEM of the PC box girder bridge with CSWs

4 結(jié)果分析對(duì)比

運(yùn)用本文所得的計(jì)算公式求得波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋及連續(xù)箱梁橋在不同荷載類型作用下跨中截面的撓度值，并與有限元值及實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖9～10所示.

由圖9～10可知，計(jì)算值、實(shí)測(cè)值及有限元值三者吻合良好，驗(yàn)證了本文計(jì)算公式的可靠性.

4.1 剪力滯及鋼腹板剪切變形隨寬跨比變化分別對(duì)撓度的影響

假定波形鋼腹板的截面高度不變，波形鋼腹板PC箱梁橋的跨徑l分別取為1～6 m(1的整數(shù)倍)，對(duì)應(yīng)實(shí)橋的跨徑為10～60 m，寬跨比(2b/l)為0.650～0.108.以總撓度 W 為分母，以式(37)考慮剪力滯效應(yīng)對(duì)總撓度的影響和式(38)考慮波形鋼腹板剪切變形對(duì)總撓度的影響，分析在寬跨比變化時(shí)兩者對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋撓度的影響程度.

圖9 均布荷載下波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支、連續(xù)箱梁橋跨中截面撓度Fig.9 Mid-span cross section deflections of simply supported and continuous box girder bridge with CSWs under a uniform load

圖10 集中加載下波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋跨中截面撓度Fig.10 Mid-span cross section deflections of a continuous box girder bridge with CSWs under a concentrated load

(1)均布荷載作用下的波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋

在均布荷載作用下，求得了波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋的剪力滯效應(yīng)(Ja1)和波形鋼腹板剪切變形(Jb1)隨寬跨比變化對(duì)跨中撓度的影響程度，所得結(jié)果如圖11所示.

由圖11可以看出，波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋承受均布荷載，在寬跨比范圍為 0.108～0.650時(shí)，剪力滯效應(yīng)對(duì)其跨中撓度影響較小，而波形鋼腹板剪切變形對(duì)其跨中撓度影響顯著.

(2)均布荷載作用下波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋

在均布荷載作用下，求得了波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的剪力滯效應(yīng)(Ja2)和波形鋼腹板剪切變形(Jb2)隨寬跨比變化對(duì)跨中撓度的影響程度，所得結(jié)果如圖12所示.

圖11 Ja1、Jb1隨寬跨比變化示意圖Fig.11 Ja1、Jb1varies with the width-span ratio variation

由圖12可知:當(dāng)寬跨比超過 0.650時(shí)，剪力滯效應(yīng)對(duì)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋跨中撓度的影響會(huì)超過5%;當(dāng)寬跨比在 0.108～0.650 范圍內(nèi)，波形鋼腹板剪切變形對(duì)跨中撓度的影響顯著.

(3)集中荷載作用下波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁

在集中荷載作用下，求得了波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋的剪力滯效應(yīng)(Ja3)和波形鋼腹板剪切變形(Jb3)隨寬跨比變化對(duì)跨中撓度的影響程度，所得結(jié)果如圖13所示.

圖12 Ja2、Jb2隨寬跨比變化示意圖Fig.12 Ja2、Jb2varies with the wideth-span ratio variation

圖13 Ja3、Jb3隨寬跨比變化示意圖Fig.13 Ja3、Jb3varies with the width-span ratio variation

由圖13可以看出，在集中加載時(shí)，箱梁的剪力滯效應(yīng)要大于均布加載時(shí)的剪力滯效應(yīng)，由剪力滯效應(yīng)引起的撓度也要大于均布加載的情況.因此，當(dāng)寬跨比在0.108～0.650范圍內(nèi)時(shí)，剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋跨中撓度的影響均較大.

由圖11～13還可以看出，在集中荷載和均布荷載作用下，剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋(簡(jiǎn)支和連續(xù)體系)跨中撓度的影響程度均隨寬跨比的減小而減小.

4.2 剪力滯及鋼腹板剪切變形隨腹板高度變化分別對(duì)撓度的影響

假定波形鋼腹板的高度取50～350 mm(50的整數(shù)倍)，在寬跨比 0.108～0.650范圍內(nèi)，計(jì)算了波形鋼腹板PC箱梁橋在不同荷載類型加載下剪力滯效應(yīng)及波形鋼腹板剪切變形分別對(duì)其跨中撓度的影響程度，如圖14～16所示.

圖14 Ja1、Jb1隨波形鋼腹板高度變化示意圖Fig.14 Ja1、Jb1varies with different height of CSWs

(1)均布荷載作用下波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋

由圖14可以看出，在均布荷載作用時(shí)，在同樣的寬跨比下，剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形隨波形鋼腹板高度的變化對(duì)波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋跨中截面撓度的影響較小，尤其是當(dāng)波形鋼腹板高度較低時(shí)，兩者對(duì)跨中撓度的影響基本無(wú)變化.當(dāng) 2b/l=0.650 且 hw/l＜0.2 時(shí)，剪力滯效應(yīng)的影響超過工程允許值的5%.

圖15 Ja2、Jb2隨波形鋼腹板高度變化示意圖Fig.15 Ja1、Jb1varies with different height of CSWs

(2)均布荷載作用下波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋

由圖15可以看出，在均布荷載作用時(shí)，在同樣寬跨比下，剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形隨波形鋼腹板高度的變化對(duì)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋跨中截面撓度的影響較小.當(dāng)2b/l=0.650且hw/l＜0.25 和 2b/l=0.325 且 hw/l＜0.1 時(shí)，剪力滯效應(yīng)對(duì)撓度的影響會(huì)超過工程允許值的5%.

(3)集中荷載作用下波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁

由圖16可以看出，當(dāng)寬跨比為 0.108～0.650時(shí)，在集中加載時(shí)，箱梁的剪力滯效應(yīng)大于均布加載時(shí)的剪力滯效應(yīng)，剪力滯效應(yīng)引起的撓度大于均布加載的情況，這時(shí)剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板的剪切變形對(duì)集中荷載作用下的波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋跨中撓度的影響均超過工程允許值的5%.

由圖14～16可以看出，波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋在集中力作用下跨中截面處的剪力會(huì)發(fā)生突變，突變的方向與集中力的作用方向一致，剪力突變幅度等于外力的大小，由此引起的剪力滯效應(yīng)和剪切變形較為明顯.波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋在均布荷載作用下，其對(duì)應(yīng)區(qū)間的剪力圖為斜直線，斜線的斜率等于均布荷載的集度，剪力在區(qū)間內(nèi)無(wú)突變，引起的剪力滯效應(yīng)和剪切變形相對(duì)于集中荷載作用時(shí)小.

圖16 Ja3、Jb3隨波形鋼腹板高度變化示意圖Fig.16 Ja3、Jb3varies with different height of CSWs

5 結(jié)論

通過本文的推導(dǎo)分析，可得如下結(jié)論:

(1)本文運(yùn)用能量變分法，在考慮箱梁剪力滯效應(yīng)和鋼腹板剪切變形的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度計(jì)算公式，計(jì)算公式的精確度高，可以用于實(shí)際工程中此類型橋梁的撓度計(jì)算.

(2)在集中荷載和均布荷載作用下，剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋(簡(jiǎn)支和連續(xù)體系)撓度的影響均隨著寬跨比的減小而減小.

(3)當(dāng)波形鋼腹板PC箱梁橋的寬跨比恒定，波形鋼腹板的高度變化時(shí)，剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋撓度的影響較弱，尤其當(dāng)波形鋼腹板高度較小時(shí)，兩者對(duì)該橋型撓度的影響基本無(wú)變化.

(4)均布荷載作用下的波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋和連續(xù)箱梁橋，當(dāng)寬跨比2b/l=0.108～0.650時(shí)，需要考慮波形鋼腹板剪切變形對(duì)其撓度的影響;當(dāng) 2b/l=0.650 且當(dāng) hw/l＜0.2 時(shí)，需要考慮剪力滯效應(yīng)對(duì)波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋撓度的影響;當(dāng) 2b/l=0.650 且 hw/l＜0.25 時(shí)和 2b/l=0.325且hw/l＜0.1時(shí)，需要考慮剪力滯效應(yīng)對(duì)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋撓度的影響.

(5)集中荷載加載下，當(dāng)寬跨比2b/l=0.108～0.650時(shí)，剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁跨中截面撓度的影響較大，在撓度計(jì)算中需要考慮兩者對(duì)撓度的影響.

致謝:蘭州交通大學(xué)優(yōu)秀平臺(tái)資助(201601).

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