張炳義，劉利軍，馮桂宏

(1.沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870；2.沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 前言

兆瓦級超高速永磁電機(jī)，具有體積小、功率密度大、無刷、效率高等優(yōu)點(diǎn)，可以直接與負(fù)載相連，特別適合高速離心式壓縮機(jī)、儲(chǔ)能飛輪、飛機(jī)或艦載供電設(shè)備等分布式發(fā)電系統(tǒng)[1-3]。此類電機(jī)應(yīng)用中的一個(gè)突出問題是電機(jī)軸的振動(dòng)。

對于超高速電機(jī)振動(dòng)問題，前人的研究主要集中在轉(zhuǎn)子及軸的模態(tài)和臨界轉(zhuǎn)速的研究。轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算大多采用傳遞矩陣法和有限元法[4-5]。文獻(xiàn)[6]用有限元分析及實(shí)驗(yàn)方法計(jì)算由柔性聯(lián)軸器耦合的多跨轉(zhuǎn)子軸系臨界轉(zhuǎn)速及振動(dòng)模態(tài)，用有限元軟件的彈簧單元模擬彈性聯(lián)軸器的軸向、徑向及扭轉(zhuǎn)剛度，分析聯(lián)軸器剛度、結(jié)構(gòu)參數(shù)對軸系臨界轉(zhuǎn)速的影響。文獻(xiàn)[7]對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在對中與不對中情況進(jìn)行模態(tài)分析提取其固有頻率、臨界轉(zhuǎn)速、振型和Campbell圖等模態(tài)參數(shù)，分析發(fā)現(xiàn)各階固有頻率都遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身的固有頻率1 000 Hz，因此系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生共振。以上文獻(xiàn)均沒有對軸的剛性對電機(jī)振動(dòng)的問題進(jìn)行研究。

本文以一臺(tái)1200 kW，18 000 r/min的艦載高速壓縮機(jī)直驅(qū)永磁電機(jī)為例，首先提出能量法對軸的剛性進(jìn)行解析計(jì)算，得到了軸的最大變形。并依據(jù)軸的最大變形量不應(yīng)大于氣隙值的10%這一原則，判定該軸滿足要求。接著采用有限元軟件對軸的剛性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。對于臨界轉(zhuǎn)速的問題，采用當(dāng)量直徑法對一階臨界轉(zhuǎn)速進(jìn)行解析計(jì)算并采用有限元法進(jìn)行了模態(tài)分析加以驗(yàn)證。結(jié)果表明，所提出的解析法與有限元仿真結(jié)果基本保持一致，驗(yàn)證了解析法的正確性，對兆瓦級超高速永磁電機(jī)振動(dòng)問題的研究有一定的參考價(jià)值。

1 轉(zhuǎn)子軸的剛性分析

本文以某艦載高速壓縮機(jī)直驅(qū)永磁電機(jī)為例進(jìn)行振動(dòng)研究。電機(jī)轉(zhuǎn)子直徑為240 mm,軸向長度為910 mm，據(jù)此設(shè)計(jì)了轉(zhuǎn)子軸如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子軸的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1 解析法對轉(zhuǎn)子軸的剛性分析

轉(zhuǎn)子軸主要受自重和轉(zhuǎn)子鐵心的重力作用。使用三維建模軟件畫出軸與轉(zhuǎn)子鐵心模型，并賦予材料密度，其中軸的材料為40Cr，密度7 850 kg/m3；轉(zhuǎn)子硅鋼片密度7 700 kg/m3；磁鋼密度7 700 kg/m3；不銹鋼密度7 900 kg/m3。由軟件自動(dòng)計(jì)算出軸的重力G1=1 044.37 N，轉(zhuǎn)子的重力G2=2 261.13 N。在不產(chǎn)生較大誤差的情況下，可以作出以下簡化：

(1) 由于軸與轉(zhuǎn)子配合段的長度占整個(gè)軸長的70.2%，把轉(zhuǎn)子和軸的重量都等效為配合段的均布載荷來對軸的受力情況進(jìn)行簡化；

(2) 階梯軸相鄰的軸段之間直徑差別不大，可以將相鄰的幾段進(jìn)行合并；

(3) 螺紋和鍵槽部分去除的材料很少，可以簡化為光軸；

(4) 不考慮圓角和倒角。

簡化后的軸如圖2所示。其中，d0=70 mm，d1=90 mm，d2=110 mm，d3=125 mm，d4=97 mm，l0=165 mm，l1=66 mm，l2=33 mm，l3=960 mm，l4=73 m，q=(G1+G2)/l=(1044.37+2261.13)/0.91=3632.42 N/m。

由于軸兩端Φ90的軸段與軸承配合，故這兩處存在支反力；此外，這兩段的軸向長度占整個(gè)軸長的比例很小，因此可以簡化為兩個(gè)集中力，位置在軸段的中心，整個(gè)軸的受力情況如圖3所示。

圖2 軸的簡化

圖3 軸的受力

其中l(wèi)5=200.5 mm，l6=88.5 mm，l7=1 080 mm，l=910 mm，L=1 297 mm由力的平衡方程和力矩平衡方程，有

FRA+FRB=ql

(1)

(2)

從而，求得FRA=1641.79 N，F(xiàn)RB=1663.71 N。

根據(jù)材料力學(xué)的截面法求各段的彎矩方程，設(shè)軸的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸上某一點(diǎn)的位置為x，首先對BC段進(jìn)行分析，在BC段內(nèi)取距原點(diǎn)距離為x的任意截面，截面左側(cè)只有力FRA，求得該段的彎矩方程為

M(x)=FRA(x-l5)(l5≤x≤l5+l6)

(3)

同理，求CD段的彎矩方程，有

(l5+l6≤x≤l5+l6+l)

(4)

DE段彎矩方程為

M(x)=FRB(l5+l7-x)
(l5+l6+l≤x≤l5+l7)

(5)

根據(jù)以上計(jì)算作出彎矩圖，如圖4所示，圖中所標(biāo)算式為極值點(diǎn)的縱坐標(biāo)值：采用能量法計(jì)算軸的彎曲剛度，在軸的中心點(diǎn)施加一單位力Fi=1N，則單位力矩方程為[8]

M′(x)=(L-x)/2(0≤x≤L)

(6)

圖4 彎矩圖

則軸上某一軸段的變形量可以通過計(jì)算式為

(7)

(8)

其中，Dn為各個(gè)軸段的變形量；ln為各個(gè)軸段的長度；M為該段軸所受的力矩；M′為單位力矩；E為40Cr材料的彈性模量，此處取2.11×105MPa；I為某一軸段的截面慣性矩；In為第n段的慣性矩；dn為第n段的直徑。

將d0～d4數(shù)據(jù)代入(8)式中，得到各軸段慣性矩?cái)?shù)值見表1。

表1 各軸段慣性矩

計(jì)算各軸段的變形量。由于BC段在圖2中包括三個(gè)直徑為d1、d2、d3的三個(gè)軸段，因此需要分成三段進(jìn)行計(jì)算，將式(3)和式(6)代入式(7)，得到BC段的變形量為

(9)

(10)

(11)

CD段在圖2中只包括直徑為d3的軸段，不需分段，CD段的變形量為

(12)

DE段在圖2中包括直徑為d3和d4的兩個(gè)軸段，因此需要分成兩段進(jìn)行計(jì)算DE段的變形量，即

(13)

(14)

將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(9)～(14)，得到的各段變形量數(shù)值如表2所示。則中心點(diǎn)處的總變形量為：

Dtotal=D1+D2+D31+D32+D33+D4

(15)

將表2中數(shù)據(jù)代入式(15)，得到中心點(diǎn)處的總變形為Dtotal=0.041 277 mm。

表2 各軸段變形量

1.2 有限元法對轉(zhuǎn)子軸的剛性分析

有限元法的優(yōu)點(diǎn)在于使用計(jì)算機(jī)求解復(fù)雜模型，結(jié)果準(zhǔn)確可靠。使用有限元分析軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)場分析，來驗(yàn)證解析結(jié)果的正確性。

首先賦予材料屬性，軸所用40Cr材料的物理性能見表3。

表3 40Cr物理性能

考慮到以下幾個(gè)因素，對轉(zhuǎn)子部分的建模進(jìn)行簡化：

(1) 仿真分析的目的是得到軸的變形量，而轉(zhuǎn)子鐵心部分的作用只是對軸施加一個(gè)外載荷；

(2) 如果建立轉(zhuǎn)子鐵心部分的詳細(xì)模型，在進(jìn)行有限元分析時(shí)，賦予材料屬性時(shí)十分繁瑣；

(3) 建立詳細(xì)的模型還會(huì)產(chǎn)生很多接觸對，而接觸問題屬于非線性問題，求解的時(shí)間很長；

(4) 轉(zhuǎn)子鐵心與磁鋼之間，以及與加強(qiáng)筋之間的應(yīng)力與變形等問題不是我們的關(guān)注點(diǎn)。

綜上所述，在進(jìn)行有限元分析時(shí)，不必要建立轉(zhuǎn)子鐵心部分的詳細(xì)模型，只需要用一個(gè)平均密度與轉(zhuǎn)子鐵心部分相等的厚壁圓筒代替即可。將簡化后的轉(zhuǎn)子與軸進(jìn)行裝配，并導(dǎo)入有限元分析軟件進(jìn)行仿真分析。對軸劃分四面體網(wǎng)格，在Relevance Center(相關(guān)性中心)中設(shè)置等級為Fine(細(xì)化)，網(wǎng)格劃分情況如圖5所示。

圖5 軸的網(wǎng)格劃分

對軸施加邊界條件。兩段Φ90的軸段與深溝球軸承配合，故可將兩軸承中的一個(gè)簡化成固定鉸支座，另一個(gè)簡化成可動(dòng)鉸支座。在軟件中對應(yīng)的設(shè)置為，將一端的軸承段圓柱面設(shè)置為固定約束，另一端軸承段圓柱面設(shè)置為圓柱面約束，其中徑向和切向固定，軸向自由；對軸和轉(zhuǎn)子鐵心同時(shí)施加標(biāo)準(zhǔn)地球重力加速度，進(jìn)行求解后的總體變形如圖6所示。

圖6 軸的總體變形

由圖6可知，軸的最大變形位置就在與轉(zhuǎn)子配合的中心位置，變形量為0.037 573 mm，與解析計(jì)算結(jié)果非常接近，驗(yàn)證了解析法的正確性。由于軸的最大變形量在電機(jī)氣隙值的10%以內(nèi)時(shí)，軸的剛性能夠滿足使用要求。本文的轉(zhuǎn)子外徑為240 mm，定子內(nèi)徑為245 mm，因此氣隙值為2.5mm，允許的最大變形量為0.25mm，因此該軸能夠滿足使用要求。

2 轉(zhuǎn)子軸的臨界轉(zhuǎn)速分析

對轉(zhuǎn)子軸臨界轉(zhuǎn)速分析的目的在于，明確工作轉(zhuǎn)速是否接近臨界轉(zhuǎn)速，如果接近臨界轉(zhuǎn)速，則會(huì)引起共振，導(dǎo)致電機(jī)不能正常使用，甚至發(fā)生事故，造成嚴(yán)重的后果。

2.1 解析法對轉(zhuǎn)子軸的臨界轉(zhuǎn)速分析

要計(jì)算轉(zhuǎn)子軸的臨界轉(zhuǎn)速，首先要將復(fù)雜的階梯軸進(jìn)行簡化，通過式(16)計(jì)算階梯軸的當(dāng)量直徑，把轉(zhuǎn)子軸看做當(dāng)量直徑為dv的光軸為

(16)

式中，k為經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)，依據(jù)軸的尺寸參數(shù)進(jìn)行選取，由于該軸直徑最大的一段的長度大于軸全長的50%，因此經(jīng)驗(yàn)系數(shù)可取1；dn為第n個(gè)軸段的直徑；ln為第n個(gè)軸段的長度。

將圖1中尺寸參數(shù)代入式(16)，計(jì)算得到當(dāng)量直徑為114.098 mm。

計(jì)算轉(zhuǎn)子軸的一階臨界轉(zhuǎn)速為

(17)

式中，n1為一階臨界轉(zhuǎn)速；G1為轉(zhuǎn)子軸的自身重量；L為轉(zhuǎn)子軸的總長度；an為兩端軸承之間第n個(gè)圓盤到左端軸承之間的距離；bn為兩端軸承之間第n個(gè)圓盤到右端軸承之間的距離；Gn為兩端軸承之間第n個(gè)圓盤的自身重量。

由于整個(gè)軸段只有一個(gè)圓盤，即轉(zhuǎn)子鐵心，其自身重量為2 261.13 N；轉(zhuǎn)子鐵心的中心到左右兩端軸承位中心線的距離分別為a=548.5 mm，b=531.5 mm。將所有相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(17)，得到一階臨界轉(zhuǎn)速n1=14 576.39 r/min。機(jī)械設(shè)計(jì)手冊中并未給出其它各階臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算公式，本文使用有限元軟件進(jìn)行分析。

2.2 有限元法對轉(zhuǎn)子軸的臨界轉(zhuǎn)速分析

臨界轉(zhuǎn)速與軸的橫向振動(dòng)固有頻率在數(shù)值上相等，為避免軸在運(yùn)轉(zhuǎn)中產(chǎn)生共振現(xiàn)象，設(shè)計(jì)的軸不應(yīng)當(dāng)同任何一階臨界轉(zhuǎn)速相接近，也不能與一階臨界轉(zhuǎn)速的簡單倍數(shù)相重合。對于剛性軸，應(yīng)使工作轉(zhuǎn)速小于一階臨界轉(zhuǎn)速的0.75倍；對于撓性軸，應(yīng)使其大于1.4倍一階臨界轉(zhuǎn)速，小于0.7倍二階臨界轉(zhuǎn)速[9]。

采用有限元軟件對轉(zhuǎn)子軸進(jìn)行模態(tài)分析[10]。軸在Φ90的兩軸段與軸承配合，因此對這兩段施加圓柱面約束，一端約束軸向和徑向自由度，切向自由，另一端約束徑向自由度，軸向和徑向自由。得到各階模態(tài)及振型如圖7～10所示。得到軸的前四階固有頻率，將其換算為臨界轉(zhuǎn)速，結(jié)果見表4。

圖7 軸的一階固有頻率及振型

圖8 軸的二階固有頻率及振型

圖9 軸的三階固有頻率及振型

圖10 軸的四階固有頻率及振型

階次固有頻率/Hz臨界轉(zhuǎn)速/(r·min-1)一階408 8312265二階1096 932907三階1104 733141四階1361 340839

用有限元分析軟件得到的一階臨界轉(zhuǎn)速與解析法計(jì)算的結(jié)果比較接近，由于仿真的模型并未簡化，筆者認(rèn)為仿真結(jié)果更接近實(shí)際結(jié)果，因此取一階臨界轉(zhuǎn)速為12 265 r/min。一階臨界轉(zhuǎn)速的1.4倍為17 171 r/min，二階臨界轉(zhuǎn)速的0.7倍為23 035 r/min，而電機(jī)的額定轉(zhuǎn)速為18 000r/min，恰好介于兩者之間，因此該軸為撓性軸，能夠滿足使用要求。

3 結(jié)束語

本文針對一臺(tái)1 200 kW，18 000 r/min的艦載高速壓縮機(jī)直驅(qū)永磁電機(jī)為例進(jìn)行了振動(dòng)研究。在分析了軸的工況與受力后，采用能量法原理，對電機(jī)軸的剛性分段計(jì)算，采用有限元的結(jié)構(gòu)場進(jìn)行仿真驗(yàn)證。二者結(jié)果基本一致，軸的最大形變未超過電機(jī)氣隙的10%，可以滿足使用要求。針對臨界轉(zhuǎn)速的問題，采用當(dāng)量直徑法將電機(jī)軸簡化成一光軸，并對軸的一階臨界轉(zhuǎn)速進(jìn)行計(jì)算，采用有限元法進(jìn)行模態(tài)分析加以印證。兩者結(jié)果基本一致，軸的工作轉(zhuǎn)速符合撓性軸的要求，可以滿足使用要求。本文提出的解析算法與仿真方法對兆瓦級超高速永磁電機(jī)振動(dòng)問題的研究有一定的參考價(jià)值。

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