，

(南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 南京 211816)

0 引 言

石油化工、核電等領(lǐng)域中需要用到大量的承壓設(shè)備，這些設(shè)備的工作環(huán)境大多為高溫、高壓甚至存在腐蝕介質(zhì)，這對(duì)承壓設(shè)備提出了極高的要求，為保證設(shè)備的安全運(yùn)行，需要對(duì)設(shè)備用材料的力學(xué)性能進(jìn)行在役檢測(cè)。然而，傳統(tǒng)的單軸拉伸試驗(yàn)方法和以小沖桿試驗(yàn)為代表的微試樣試驗(yàn)方法均需要從在役設(shè)備上取樣，這將對(duì)設(shè)備造成一定的傷害，因此其實(shí)際應(yīng)用范圍受到一定的限制[1]。球壓痕法作為一種新的測(cè)試方法，在測(cè)試過(guò)程中幾乎不會(huì)對(duì)設(shè)備造成任何傷害，非常適合用于檢測(cè)在役設(shè)備材料的力學(xué)性能,因此球壓痕法近年來(lái)得到了越來(lái)越多的關(guān)注[2]。

FIELD等[3]利用球壓痕法，提出了測(cè)金屬材料的硬度、彈性模量、應(yīng)力-應(yīng)變曲線和應(yīng)變硬化指數(shù)[4]等的方法。KUCHARSKI等[5]也利用球壓痕法，提出了一個(gè)新的系統(tǒng)性測(cè)試金屬材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線的方法。這兩種方法雖然都用于測(cè)試金屬材料，但仍有不同之處。在FIELD等提出的方法中，壓頭的下壓深度以納米為單位，最大下壓深度約為1.2 μm，在此深度下需考慮尺度效應(yīng)的影響[6]，但FIELD等并未對(duì)尺度效應(yīng)進(jìn)行討論。在KUCHARSKI等提出的方法中，壓頭的下壓深度以微米為單位，因此可忽略尺度效應(yīng)。這兩種方法均是基于硬度測(cè)試原理發(fā)展而來(lái)的，需要獲取加載及卸載時(shí)的載荷以及壓頭與材料的接觸面積，因此需考慮在壓頭下壓材料過(guò)程中，材料被壓區(qū)域所產(chǎn)生的塑性鼓凸(pile-up)或凹進(jìn)(sink-in)現(xiàn)象，但FIELD等忽略了此現(xiàn)象的影響，而KUCHARSKI等雖然考慮了塑性鼓凸或凹進(jìn)的影響，但不夠準(zhǔn)確，仍需進(jìn)一步的研究。HERNOT等[7]采用數(shù)值模擬方法確定了大部分金屬材料由球形壓頭產(chǎn)生的塑性區(qū)周圍壓入深度和接觸半徑之間的關(guān)系，但仍不能很好地解決此問(wèn)題，并且計(jì)算過(guò)程較為繁瑣。

CAO等[8]將DAO等[9]在錐形壓頭壓痕法中提出的表觀應(yīng)變概念引入到了球形壓頭壓痕法中，并提出了一個(gè)新的分析框架，同時(shí)通過(guò)對(duì)24種已知性能參數(shù)材料的壓痕過(guò)程模擬和根據(jù)分析獲得的載荷、壓痕深度數(shù)據(jù)，得出給定壓入深度下不隨應(yīng)變硬化指數(shù)改變的無(wú)量綱函數(shù)及對(duì)應(yīng)的表觀應(yīng)變，最后將試驗(yàn)獲得兩次壓入深度的載荷帶入無(wú)量綱函數(shù)來(lái)計(jì)算材料的屈服強(qiáng)度和應(yīng)變硬化指數(shù)。CAO等的方法只需利用壓痕深度和對(duì)應(yīng)的載荷來(lái)計(jì)算材料的性能參數(shù)，從而避免了接觸面積不好確定及計(jì)算不準(zhǔn)確的問(wèn)題。但CAO等的方法僅在應(yīng)用于屈服應(yīng)變?yōu)?.001 43～0.015 39范圍內(nèi)的金屬材料時(shí)才可獲得較準(zhǔn)確的結(jié)果。雖然崔航等[10]在CAO等的研究基礎(chǔ)上，采用同樣的方法補(bǔ)充了屈服應(yīng)變?yōu)?0.007 69～0.040 00范圍內(nèi)金屬材料性能的計(jì)算公式，但其應(yīng)用范圍仍有一定的局限性。

為了使CAO等的計(jì)算方法更適用于在役設(shè)備材料的檢測(cè)以及適用于更多的金屬材料，作者對(duì)CAO等的方法進(jìn)行了改進(jìn)，采用球形壓頭連續(xù)加載方法代替CAO等使用的球形壓頭單次加載法，采用量綱分析法和有限元模擬得到無(wú)量綱函數(shù)及其表觀應(yīng)變規(guī)律，并計(jì)算材料的屈服強(qiáng)度和應(yīng)力-應(yīng)變曲線，同時(shí)對(duì)文獻(xiàn)[10]以外的金屬材料進(jìn)行了分析，補(bǔ)充了屈服應(yīng)變?cè)?.000 95～0.002 00范圍內(nèi)金屬材料性能的計(jì)算公式，然后對(duì)該計(jì)算方法進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。

圖1 具有應(yīng)變硬化特征的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Stress-strain curve with strain hardening characteristics

1 力學(xué)模型及數(shù)學(xué)模型

1.1 力學(xué)模型

對(duì)于大多數(shù)的金屬材料而言，在均勻塑性變形階段的應(yīng)變硬化行為均可用簡(jiǎn)單地用Ludwik或Hollomon方程來(lái)描述。圖1為具有應(yīng)變硬化特征材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，可用下式進(jìn)行描述。

(1)

ε=εy+εp

(2)

當(dāng)σ>σy時(shí)，應(yīng)力σ也可表示成

(3)

式中：σy為初始屈服強(qiáng)度；ε為總應(yīng)變；εy為初始屈服應(yīng)變；εp為塑性應(yīng)變；E為彈性模量；K為強(qiáng)度系數(shù)；n為應(yīng)變硬化指數(shù)。

1.2 表觀應(yīng)變的定義

DAO等[9]和CHOLLACOOP[11]在研究錐形壓頭時(shí)提出了表觀應(yīng)變概念，即在給定壓入深度下，存在一個(gè)應(yīng)變使得無(wú)量綱函數(shù)П1與E*/σr(E*為有效彈性模量，σr為表觀應(yīng)力)相關(guān)，與應(yīng)變硬化指數(shù)n無(wú)關(guān)，這個(gè)應(yīng)變被定義為表觀應(yīng)變?chǔ)舝。令εp=εr，代入式(3)中，即得到表觀應(yīng)變對(duì)應(yīng)的表觀應(yīng)力σr。

CAO等對(duì)24種彈塑性金屬材料球形壓頭壓痕測(cè)試進(jìn)行了有限元模擬，找到了與壓入深度相關(guān)，但與應(yīng)變硬化指數(shù)n無(wú)關(guān)的表觀應(yīng)變?chǔ)舝，并給出了無(wú)量綱函數(shù)П1。崔航等[10]在CAO和LU研究結(jié)果的基礎(chǔ)上對(duì)56種彈塑性金屬材料進(jìn)行了分析，給出了使用范圍更廣的表觀應(yīng)變?chǔ)舝和無(wú)量綱函數(shù)П1。

1.3 量綱分析及數(shù)學(xué)模型

量綱分析法是球形壓頭壓痕試驗(yàn)中經(jīng)常使用的一種分析方法。CHENG等[12]在分析有限元模擬方法獲得數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立了許多無(wú)量綱函數(shù)。在CAO等和崔航等[10]的研究中也均采用量綱分析與有限元分析相結(jié)合的方法來(lái)獲取材料的力學(xué)性能。因此，作者同樣也采用基于無(wú)量綱函數(shù)和有限元分析相結(jié)合的方法進(jìn)行研究。

在加載過(guò)程中，壓入載荷P可以通過(guò)幾個(gè)相關(guān)參數(shù)的函數(shù)式來(lái)表達(dá)。

P=f(E,ν,Ei,νi,σy,n,h,R)

(4)

式中：E為被測(cè)金屬材料的楊氏模量；ν為材料泊松比；σy為屈服強(qiáng)度；n為應(yīng)變硬化指數(shù)；Ei為壓頭材料的彈性模量；νi為壓頭的泊松比；R為壓頭半徑；h為壓痕下壓深度。

1.2.1 不同因素對(duì)甜菜苷類色素提取率的影響 色素提取工藝流程：新鮮原料→去除外層果皮→將果皮打碎→加入溶劑浸泡并攪拌→離心分純→過(guò)濾→真空濃縮→色素溶液。

引入有效彈性模量E*(reduced Young′s modulus)后，可得到

P=f(E*,σy,n,h,R)

(5)

式(4)可以寫成

(6)

引入表觀應(yīng)變?chǔ)舝對(duì)應(yīng)的應(yīng)力σr，式(5)可以寫成

P=f(E*,σr,n,h,R)

(7)

П定理作為量綱分析的核心理論，可以提供在不知道等式具體形式的情況下由所給變量計(jì)算無(wú)量綱參數(shù)的方法。根據(jù)П定理可得

(8)

由于壓痕深度hg和壓頭半徑R已給定，可得到

(9)

2 有限元模型的建立

采用ABAQUS有限元仿真軟件進(jìn)行壓痕試驗(yàn)?zāi)M，考慮到模型結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱性，將試驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)化為二維軸對(duì)稱模型。根據(jù)圣維南原理，遠(yuǎn)離壓痕區(qū)域處的應(yīng)力和應(yīng)變趨近于零，且實(shí)際試樣尺寸遠(yuǎn)大于壓痕區(qū)域尺寸，因此為減少模型的單元數(shù)目，節(jié)約計(jì)算成本，模擬只需建立局部材料模型，即模型尺寸遠(yuǎn)小于實(shí)際試樣尺寸。模型中球形壓頭的半徑為0.5 mm，試樣尺寸為5 mm×5 mm。

圖2 有限元模型網(wǎng)格劃分Fig.2 Finte element mesh generation

在壓痕試驗(yàn)?zāi)M中，變形主要集中在壓頭與試樣接觸區(qū)域，因此采用相關(guān)文獻(xiàn)[13]中的過(guò)渡網(wǎng)格來(lái)劃分模型單元，如圖2所示。由于網(wǎng)格細(xì)分程度兼顧計(jì)算精度與效率，因此在靠近壓頭的區(qū)域網(wǎng)格較密，隨著與壓頭距離的增大，網(wǎng)格逐漸稀疏，從模型接觸區(qū)到邊界，單元尺寸逐漸增大。整個(gè)模型網(wǎng)格包括2 280個(gè)單元，單元類型為CAX4R。邊界條件采用底面固定，對(duì)壓頭參考點(diǎn)施加載荷。通過(guò)控制位移方式實(shí)現(xiàn)加載，最大位移為0.05 mm，加載過(guò)程為準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。

壓頭材料為類金剛石材料，彈性模量遠(yuǎn)大于被測(cè)材料的彈性模量。在壓頭模型中，球形壓頭設(shè)置為剛體。材料模型遵循Von Mises屈服準(zhǔn)則、各向同性強(qiáng)化準(zhǔn)則以及大變形準(zhǔn)則。試樣所選材料為屈服應(yīng)變?yōu)?.007 69～0.040 00范圍內(nèi)的鋼，彈性模量為190～210 GPa，泊松比設(shè)置為0.3，模擬中各彈塑性能參數(shù)的設(shè)置如表1所示。

表1 有限元模擬中金屬材料的彈塑性能參數(shù)Tab.1 Parameters of elastic-plastic properties of metalmaterials in finite element simulation

3 模擬結(jié)果與分析

圖3 單次加載-深度曲線與多次循環(huán)加載-深度曲線的對(duì)比Fig.3 Comparison of single load-displacement curve and cyclic load-displacement curve

3.1 連續(xù)循環(huán)加載載荷-深度曲線與單次加載載荷-深度曲線對(duì)比

連續(xù)循環(huán)加載是指對(duì)一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行往復(fù)循環(huán)加卸載，每次下壓的深度不同。單次加載是指對(duì)材料只進(jìn)行一次加卸載。CAO等采用的加載方法為對(duì)材料上多點(diǎn)進(jìn)行單次加載，每次下壓深度不同。作者采用的方法是對(duì)材料的一點(diǎn)進(jìn)行往復(fù)循環(huán)加卸載，所得到的載荷-深度曲線如圖3所示。由圖可以發(fā)現(xiàn)，連續(xù)循環(huán)加載所得到的載荷-深度曲線與單次加載獲得的載荷-深度曲線基本吻合。因此，在采用CAO等的計(jì)算方法時(shí)，可以采用連續(xù)循環(huán)加載方法代替多點(diǎn)單次加載方法來(lái)得到不同深度下的載荷，簡(jiǎn)化了采用球形壓痕法獲取載荷-深度曲線的步驟。

3.2 摩擦因數(shù)對(duì)載荷-深度曲線的影響

壓頭與試樣接觸時(shí)會(huì)存在摩擦，但不能確定摩擦因數(shù)μ的大小。文獻(xiàn)[14]中討論了摩擦因數(shù)對(duì)微壓痕試驗(yàn)的影響，認(rèn)為摩擦因數(shù)對(duì)載荷-深度曲線的影響可以簡(jiǎn)化。文獻(xiàn)[10]提出了當(dāng)壓入深度滿足0.01

圖4 不同摩擦因數(shù)下單次加載-位移曲線Fig.4 Single load-displacement curve for different friction factors

圖5 不同摩擦因數(shù)下循環(huán)加載-位移曲線Fig.5 Cyclic load-displacement curve for different friction factors

3.3 表觀函數(shù)與無(wú)量綱函數(shù)的確定

對(duì)45種已知參數(shù)的金屬材料進(jìn)行壓痕試驗(yàn)?zāi)M，對(duì)得到的載荷-深度曲線進(jìn)行處理，得到不同深度下對(duì)應(yīng)的表征應(yīng)變，然后用三次多項(xiàng)式可擬合出無(wú)量綱函數(shù)П1，其公式為

(10)

式中：C1，C2，C3，C4為系數(shù)，在不同hg/R下其取值也不同。

以hg/R=0.07為例來(lái)闡述表觀應(yīng)變的確定方法。圖6為壓痕深度hg/R=0.07時(shí)，不同應(yīng)變對(duì)無(wú)量綱函數(shù)П1的影響。由圖可以看出，當(dāng)εr=0.030 9時(shí)，無(wú)量綱函數(shù)П1與應(yīng)變硬化指數(shù)n無(wú)關(guān)。因此，0.030 9為直徑為1 mm的壓頭在下壓深度0.035 mm、hg/R=0.07時(shí)所對(duì)應(yīng)的表觀應(yīng)變。對(duì)圖6(a)中各點(diǎn)進(jìn)行擬合，所得函數(shù)即為hg/R=0.07時(shí)無(wú)量綱函數(shù)П1的表達(dá)式。

圖6 hg/R=0.07時(shí)不同應(yīng)變硬化指數(shù)和表觀應(yīng)變下的無(wú)量綱函數(shù)Fig.6 Dimensionless function for different strain hardening exponent and representative strain at hg/R=0.07

對(duì)材料進(jìn)行10次壓入模擬，每次間隔距離均為0.005 mm，可獲得10次不同深度所對(duì)應(yīng)的表觀應(yīng)變。采用三次多項(xiàng)式對(duì)不同深度時(shí)的表觀應(yīng)變進(jìn)行擬合，得到式(11)，不同hg/R對(duì)應(yīng)的表觀應(yīng)變?nèi)鐖D7所示。根據(jù)不同深度下的表觀應(yīng)變，對(duì)各點(diǎn)進(jìn)行擬合即可求出不同深度下無(wú)量綱函數(shù)П1表達(dá)式的系數(shù)，如表2所示。

(11)

表2 不同hg/R下無(wú)量綱函數(shù)的系數(shù)Tab.2 Coefficients of dimensionless function for various hg/R

圖8 不同金屬材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比Fig.8 Comparison of stress-strain curves of different metal materials between calculation results and test data

圖7 不同hg/R對(duì)應(yīng)的表征應(yīng)變Fig.7 Representative strain corresponding to various hg/R

3.4 試驗(yàn)驗(yàn)證

通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[15]中已知彈塑性參數(shù)的金屬材料進(jìn)行模擬得到載荷-深度曲線，然后采用無(wú)量綱函數(shù)式(9)～式(11)進(jìn)行計(jì)算，得到的屈服強(qiáng)度及應(yīng)變硬化指數(shù)結(jié)果列于表3中。由表可以看出：屈服強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的最大誤差為6.48%，最小誤差為4.06%，平均誤差為5.04%；應(yīng)變硬化指數(shù)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的最大誤差為9.00%，最小誤差為2.40%，平均誤差為5.47%。

將金屬材料屈服強(qiáng)度和應(yīng)變硬化指數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果分別帶入式(1)～式(3)中，得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖8所示。由圖可知，由該方法得到不同金屬材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的基本吻合。由此可見(jiàn)，采用該方法可以獲得較精確的結(jié)果。

表3 屈服強(qiáng)度和應(yīng)變硬化指數(shù)的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較Tab.3 Comparison of yield strength and strain hardening exponent between calculation results and test data

4 結(jié) 論

(1) 對(duì)CAO等的方法進(jìn)行了改進(jìn)，采用連續(xù)循環(huán)加卸載方法代替多點(diǎn)單次加載法來(lái)獲得不同深度下的載荷，簡(jiǎn)化了采用球形壓痕法來(lái)獲得載荷-深度曲線的步驟；當(dāng)壓痕深度滿足0.01

(2) 以球形壓頭壓痕理論為基礎(chǔ)，采用量綱分析和有限元分析相結(jié)合的方法，擬合出了壓頭壓入金屬材料過(guò)程中的無(wú)量綱函數(shù)及對(duì)應(yīng)的表觀應(yīng)變函數(shù)；通過(guò)擬合公式計(jì)算得到的彈塑性參數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果相比，其誤差均為5%左右，且兩者的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本吻合。

[1] 關(guān)凱書，鄒鑌，伍聲寶. 連續(xù)球壓痕法評(píng)價(jià)鋼的塑性[J]. 機(jī)械工程材料, 2016，40(9)：18-21.

[2] 伍聲寶，徐彤，喻燦，等.采用球壓痕法測(cè)16MnR鋼的拉伸性能[J].機(jī)械工程材料, 2015，39(1)：82-85.

[3] FIELD J S, SWAIN M V. Determining the mechanical properties of small volumes of material from submicrometer spherical indentations[J]. Journal of Materials Research, 1995, 10(1):101-112.

[4] THAI-HOAN P, JUNG J K, SEUNG-EOCK K. Estimating constitutive equation of structural steel using indentation[J]. International Jounal of Mechanical Sciences, 2015, 90:151-161.

[5] KUCHARSKI S, MROZ Z. Identification of plastic hardening parameters of metals from spherical indentation tests[J]. Journal of Engineering Materials &Technology,2001,318(1/2):65-76.

[6] 馬增勝，周益春，龍士國(guó). 納米壓痕法表征金屬薄膜材料的力學(xué)性能[D].湘潭:湘潭大學(xué),2011:58-75.

[7] HERBERT E G, PHARR G M, OLIVER W C,etal. On the measurement of stress-strain curves by spherical indentation[J].Mrs Online Proceedings Library,2001,s398/399:331-335.

[8] CAO Y P, LU J. A new method to extract the plastic properties of metal materials from an instrumented spherical indentation loading curve[J]. Acta Materialia, 2004,52: 4023-4032.

[9] DAO M, CHOLLACOOP N, VLIET K J V,etal. Computational modeling of the forward and reverse problems in instrumented sharp indentation[J]. Acta Materialia, 2001,49(19)：3899-3918.

[10] 崔航，陳懷寧，陳靜，等. 球形壓痕法評(píng)價(jià)材料屈服強(qiáng)度和應(yīng)變硬化指數(shù)的有限元分析[J]. 金屬學(xué)報(bào), 2009,45(2)：189-194.

[11] CLLOLLAEOOP N W. Computational and experimental study of instrumented indentation[M]. [S.l.]: Massachusetts Institute of Technology, 2004.

[12] CHENG Y T, CHENG C M. Can stress-strain relationships be obtained from indentation curves using conical and pyramidal indenters[J]. Journal of Materials Research, 1999, 14(9):3493-3496.

[13] HYUNGYIL L, JIN H L, PHARR G M. A numerical approach to spherical indentation techniques for material property evaluation[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2005,53(9):2037-2069.

[14] 張帆, 黃克智, 黃永剛, 等. 摩擦因素對(duì)微壓痕實(shí)驗(yàn)的影響[J]. 工程力學(xué), 2006, 23(1)：1-5.

[15] KIM S H, LEE B W, CHOI Y,etal. Quantitative determination of contact depth during spherical indentation of metallic materials — A FEM study[J]. Materials Science and Engineering, 2006,415(1/2): 59-65.