葉凱紅

摘 要：有余數(shù)的除法問題是小學(xué)數(shù)學(xué)值得研究的一個(gè)問題，很多學(xué)生對(duì)于有余數(shù)的含義模糊不清，然而這類問題是競(jìng)賽中常見類型之一，這些題目源于課本，又高于課本，有一定的思考價(jià)值，理解了余數(shù)的含義，就能夠很好地解決問題。

關(guān)鍵詞：余數(shù)；除法；性質(zhì)

《有余數(shù)的除法》是義務(wù)教育教科書蘇教版二年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一單元的內(nèi)容，是以表內(nèi)除法知識(shí)作為基礎(chǔ)來(lái)進(jìn)行教學(xué)的，是表內(nèi)除法知識(shí)的拓展和延伸。學(xué)生對(duì)于算式中最后一個(gè)多出來(lái)的數(shù)字很感興趣，今天我們就一起來(lái)研究一下這多出來(lái)的數(shù)到底是什么。

一、余數(shù)的含義

“有余數(shù)的除法的初步認(rèn)識(shí)”在教材第一節(jié)就直接展示了這樣一個(gè)問題：

把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？每人分3支、4支、5支呢？在小組里分一分，說(shuō)一說(shuō)。

通過學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，大家慢慢懂得，這里的10÷3=3……1可以表示10支鉛筆，每人分3支，可以分給3人，還剩1支。這多出來(lái)的1也就是算式中的余數(shù)。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)了，有的時(shí)候是沒有余數(shù)的，比如10支鉛筆每人分5支，可以分給2人，可以用算式10÷5=2表示，這時(shí)候就不會(huì)出現(xiàn)余數(shù)。那什么時(shí)候會(huì)有余數(shù)，什么時(shí)候沒有余數(shù)呢？

在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當(dāng)不能整除時(shí)，就產(chǎn)生余數(shù)，所以余數(shù)問題在小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要。這些認(rèn)知都不是我們教師生搬硬套給學(xué)生的，而是在學(xué)生的操作中體現(xiàn)的，使學(xué)生通過直觀操作認(rèn)識(shí)到“把一些物體平均分時(shí)，有時(shí)會(huì)有剩余”這一事實(shí)。

二、余數(shù)的性質(zhì)

余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)（a，b，c均為自然數(shù)）：

（1）余數(shù)一定比除數(shù)小。

（2）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)；

（3）如果a，b除以c的余數(shù)相同，那么a與b的差能被c整除。

例如，10和7除以3的余數(shù)都是1，所以10-7能被3整除：（10-7）÷3=1。

（4）a與b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個(gè)和除以c的余數(shù)）。

例如， 28，11除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（28+11）÷5的余數(shù)等于3+1=4：（28+11）÷5=7……4。

注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。

例如， 27，29除以5的余數(shù)分別是2和4，所以（27+29）÷5的余數(shù)等于（2+4）÷5的余數(shù)1，即：（27+29）÷5=11……1。

（5）a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以c的余數(shù)）。

例如，28，11除以5的余數(shù)分別是3和1，所以28乘以11再除以5的余數(shù)等于3×1=3。

注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。

例如，27，29除以5的余數(shù)分別是2和4，所以27乘以29再除以5的余數(shù)等于2乘以4再除以5的余數(shù)3。

小學(xué)階段，我們運(yùn)用較多的是（1）（2）兩個(gè)性質(zhì)。在今后的學(xué)習(xí)中，性質(zhì)（4）（5）可以推廣到多個(gè)自然數(shù)的情形。

三、運(yùn)用有余數(shù)的除法解決問題

在小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用余數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決找規(guī)律的問題。

例如，公園里的彩燈按照“紅、黃、綠、白”的規(guī)律排列，請(qǐng)你算一算，第14只彩燈是什么顏色？第36只彩燈又是什么顏色？

按照“紅、黃、綠、白”每4只彩燈為一組的規(guī)律，我們可以發(fā)現(xiàn)14只彩燈里面一共可以組成這樣的3組，就有：14÷4=3（組）……2（只），余數(shù)2表示第4組中的第2只彩燈，是黃色。第36只彩燈可以組成36÷4=9（組），這里看不到余數(shù)了，說(shuō)明這些彩燈正好組成了9組，第36只彩燈正好是第9組的最后一只，是白色。

有余數(shù)的除法在題型上千變?nèi)f化，但只要能夠清楚地認(rèn)知，明白這最后多出來(lái)的是什么，以及余數(shù)有哪些性質(zhì)，就能輕松解決。

四、關(guān)于余數(shù)的困惑

我們?cè)趯W(xué)習(xí)能整除的除法時(shí)了解到除法有這樣的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。也就是商不變的性質(zhì)，但是在學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法時(shí)產(chǎn)生了疑惑。

例如，10÷4=2……2。

如果將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以2，就變成：（10÷2）÷（4÷2）=2……1。

如果將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以2，就變成：（10×2）÷（4×2）=2……4。

余數(shù)變了！是不是就說(shuō)明有余數(shù)的除法違背了商不變的性質(zhì)呢？

商不變的性質(zhì)是放在蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《用計(jì)算器探索規(guī)律》這一單元中的，這種根據(jù)具體內(nèi)容并要求出余數(shù)的情況，實(shí)際應(yīng)用比較少。其實(shí)像900÷40，1.7÷0.2如果不用商不變的性質(zhì)把被除數(shù)和除數(shù)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，直接進(jìn)行計(jì)算，也就不會(huì)有矛盾產(chǎn)生。平時(shí)用商不變的性質(zhì)都是得到最后的商，也就是用小數(shù)、分?jǐn)?shù)或者四舍五入法取近似值的形式。

對(duì)于這樣的除法算式，我們暫且把它看成一根10米長(zhǎng)的彩帶，每4米一份，可以平均分成2份，還多了2米。

10÷4=2……2，這里的余數(shù)2是剩余的2米彩帶。

經(jīng)過變換之后：

（1）10米長(zhǎng)的彩帶先分成了2份，再將每一份平均分成2份。

（10÷2）÷（4÷2）=2……1，這里的余數(shù)1，是每一份中多出來(lái)的1米。（其實(shí)對(duì)原本10米的彩帶來(lái)說(shuō)總共還是多出來(lái)2米）

（2）先將10米長(zhǎng)的彩帶擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，每8米為一份，可以平均分成這樣的2份，還多4米。

（10×2）÷（4×2）=2……4這么看來(lái)，多出來(lái)的4米就是每條原10米的彩帶都多出的2米之和。

根據(jù)上面的例子來(lái)看，我們可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)有余數(shù)的除法并沒有違背商不變的性質(zhì)。

有余數(shù)的除法是一種“會(huì)變”的、有趣的除法，多出來(lái)的到底是什么？需要我們仔細(xì)去思考判斷，在探索中我們能體會(huì)到數(shù)學(xué)帶來(lái)的樂趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃林鋒.關(guān)注學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)優(yōu)化“數(shù)形結(jié)合”方法：“有余數(shù)除法”教學(xué)實(shí)踐與反思[J].教學(xué)月刊（小學(xué)版）數(shù)學(xué)，2011（6）：152-153.

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