金晶晶

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院 公共教學(xué)部，福建 福州 350007)

20世紀(jì)50、60年代， Ryser H J和Fulkerson D R等數(shù)學(xué)家對(duì)(0，1)-矩陣類U(R,S)(具體定義見(jiàn)第1節(jié)的定義1)進(jìn)行研究并得到許多重要結(jié)論[1,2].U(R,S)的相關(guān)性質(zhì)已廣泛地應(yīng)用于組合圖論和網(wǎng)絡(luò)流理論等領(lǐng)域中[1]. 1980年，著名的圖論專家Brualdi R A定義了U(R,S)上的變換圖G(R,S)[2]，并且提出關(guān)于變換圖的連通性、直徑與哈密爾頓性等問(wèn)題[2]，許多學(xué)者隨之做了進(jìn)一步研究[3-11]. 對(duì)變換圖G(R,S)結(jié)構(gòu)方面的問(wèn)題，Jin J J 自2011年起陸續(xù)研究一類變換圖G(R*,S*)的基本性質(zhì)并刻畫(huà)其結(jié)構(gòu)特征[8-11].

本文所涉及的圖為簡(jiǎn)單圖，未定義的術(shù)語(yǔ)參見(jiàn)文獻(xiàn)[12].

1 變換圖的定義

aij=0或1(i=1,…，m,j=1,…，n),

Brualdi R A定義的G(R,S)為無(wú)向簡(jiǎn)單圖，其頂點(diǎn)集V(G(R,S))=U(R,S)，并且對(duì)任意A,B∈U(R,S),A，B在U(R,S)中相鄰當(dāng)且僅當(dāng)A能經(jīng)過(guò)一個(gè)變換得B.

2 變換圖的張量積圖

定義2 若A是一個(gè)m×n的矩陣，而B(niǎo)是一個(gè)p×q的矩陣，則矩陣的張量積(又稱Kronecker-積)是一個(gè)mp×nq的矩陣[13]：

即，A?B是把A的每個(gè)元素代之以塊aij?B而得. 矩陣的張量積是研究矩陣結(jié)構(gòu)的重要工具. 近30年來(lái)，矩陣的張量積在結(jié)構(gòu)矩陣方程理論和自動(dòng)控制理論研究中得到重要應(yīng)用.

若G(R,S)是U(R,S)上的變換圖，與v∈G(R,S)所對(duì)應(yīng)的矩陣為A∈U(R,S).為方便表示，下面統(tǒng)一用v來(lái)表示其所對(duì)應(yīng)的(0,1)-矩陣A.

3 變換圖的張量積圖的若干性質(zhì)

|V(G)|、|E(G)|和D(G)分別表示圖G的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和直徑. 由定義3和組合數(shù)學(xué)的乘法原理易得下面的定理.

定理2 |V(G1(R1,S1)?G2(R2,S2))|=|V(G1(R1,S1))|×|V(G2(R2,S2))|.

由定理2得，|V(G1(R1,S1)?G2(R2,S2))|≠0當(dāng)且僅當(dāng)|V(G1(R1,S1))|≠0且|V(G2(R2,S2))|≠0.

綜上，|E(G1(R1,S1)?G2(R2,S2))|≠0.

q1q2j1j2

情形2 情形1證明了v*=v?v′時(shí)定理3的必要性成立，下面證明v*=v′?v時(shí)定理3的必要性亦成立.

j1j2q1q2

由定理3立即得：

定理4 |E(G1(R1,S1)?G2(R2,S2))|=max{|E(G1(R1,S1))|,|E(G2(R2,S2))|}.

定理5 |D(G1(R1,S1)?G2(R2,S2))|=max{|D(G1(R1,S1))|,|D(G2(R2,S2))|}.

[1] Brualdi R A. Matrices of zeros and ones with fixed row and column sum vectors[J].Linear Algebra and its Applications, 1980, 33：159-231.

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