陳慶然，許義寶，李新華

(安徽大學(xué) 計算智能與信號處理教育部重點實驗室,安徽 合肥 230601)

0 引 言

隨著信息技術(shù)與自動識別技術(shù)的快速發(fā)展，二維碼得到了廣泛應(yīng)用。由于Data Matrix碼具有尺寸小、密度高以及信息量大等特點[1]，因此作為常用的二維碼，以下簡稱DM碼。然而，DM碼圖像在獲取過程中不可避免地會受到很多因素的影響，導(dǎo)致圖像質(zhì)量下降。條碼圖像修復(fù)旨在消除這些因素的影響，恢復(fù)和重構(gòu)出一幅可以準(zhǔn)確識別并解碼的圖像。

當(dāng)前的圖像修復(fù)算法主要有基于偏微分方程(PDE)圖像修復(fù)[2]、基于紋理合成圖像修復(fù)[3]和基于稀疏表示的圖像修復(fù)[4]三大類?；谄⒎址匠痰男迯?fù)算法是將圖像中的已知信息按照某種規(guī)則擴(kuò)散到未知區(qū)域，對小區(qū)域受損的圖像修復(fù)效果較好?；诩y理合成圖像修復(fù)算法[5]是通過將圖像中已知的信息大面積復(fù)制到缺損區(qū)域來進(jìn)行恢復(fù)，該算法沒有得到推廣主要是因為常常會出現(xiàn)誤匹配現(xiàn)象且計算效率低。而基于稀疏表示的圖像修復(fù)算法是利用字典訓(xùn)練與已知圖像內(nèi)的有效信息進(jìn)行稀疏編碼[6-7]，從而達(dá)到圖像的修復(fù)。

對于一些具體的修復(fù)算法，例如Elad等[8]以壓縮感知為基礎(chǔ)，利用形態(tài)分量分析(MAC)算法將圖像分解為卡通層與紋理層兩部分分別進(jìn)行修復(fù)，提高了算法的計算復(fù)雜度。李民等[9]利用樣本圖像的先驗知識，將待修復(fù)圖像本身的信息統(tǒng)一于字典訓(xùn)練，增強(qiáng)了算法的自適應(yīng)性，但是忽略了樣本間的自相關(guān)性。文獻(xiàn)[10-11]是基于DCT字典進(jìn)行圖像修復(fù)，DCT字典算法對邊界信息修復(fù)效果一般。Zhang L等[12]提出利用PCA學(xué)習(xí)將圖像分塊訓(xùn)練，算法的魯棒性較低。Xu等[13]提出了基于結(jié)構(gòu)稀疏的修復(fù)算法，充分考慮了圖像的幾何結(jié)構(gòu)與紋理信息，但是由于基于塊稀疏特性的修復(fù)將圖像的每一個塊獨(dú)立編碼，重構(gòu)時不能獲得準(zhǔn)確的稀疏系數(shù)。

為了克服以上算法的不足，文中提出一種基于組稀疏表示的圖像修復(fù)算法。該算法將圖像塊聚類作為基本單位，采用一次SVD分解與優(yōu)化編碼算法，在提高字典學(xué)習(xí)過程中計算效率的同時，考慮了圖像的局部稀疏性與自相關(guān)性進(jìn)行稀疏編碼，并通過實驗對其進(jìn)行了驗證。

1 總體框架

1.1 目標(biāo)函數(shù)

從數(shù)學(xué)角度分析，圖像的降質(zhì)模型表示為：

y=Hx+n

(1)

其中，x為原始圖像；y為待修復(fù)圖像；n為加性噪聲；H為降質(zhì)矩陣。

圖像恢復(fù)問題是根據(jù)H的不同而發(fā)生變化，如果H是掩碼矩陣，問題為圖像修復(fù)，如果H是隨機(jī)投影矩陣，問題為壓縮感知恢復(fù)，如果H是模糊算子矩陣，問題則為去模糊。文中研究的是一種塊聚類稀疏表示的圖像修復(fù)問題，此時，H中的元素大多為0，因而難以求出H的逆矩陣。也就是說圖像修復(fù)是典型的不可逆問題，正則化則是找出這種問題解的方法之一。具體來說，首先將圖像y分塊再將具有相似結(jié)構(gòu)的塊進(jìn)行聚類稱為組，每一個塊聚類xGk在字典DGk下的編碼過程就是尋找相應(yīng)的稀疏向量αGk，即可獲得重構(gòu)圖像，表示為x≈DGkαGk。于是，在正則化框架下基于組稀疏表示圖像修復(fù)的目標(biāo)函數(shù)為：

(2)

得到αGk以后就可以獲得原始圖像x。可以看出，恢復(fù)出原始圖像的前提是獲得字典原子與對應(yīng)的稀疏系數(shù)。

1.2 快速自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)

字典DGk的定義需要滿足，能夠很準(zhǔn)確地表示每一組xGk的同時希望xGk在字典DGk的表示下系數(shù)αG越稀疏越好。

普通的學(xué)習(xí)字典DGk可以通過下式學(xué)習(xí)得到：

(3)

其中，p為0或1。

但是這種方法學(xué)習(xí)到的字典計算復(fù)雜度高、效率較低。于是文中提出將塊聚類的估計qGk進(jìn)行一次奇異值分解(singular value decomposition,SVD)后，快速得到自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典。

(4)

其中，γrGk=[γrGk?1,γrGk?2,…,γrGk?m]。

1.3 分離迭代算法

分離迭代正則化[14]作為一種新的迭代正則化方法，廣泛應(yīng)用于圖像去模糊[15]、圖像分割[16]與壓縮感知[17]等問題，它是解決L1范數(shù)優(yōu)化問題的最有效算法之一。利用分離迭代框架求解目標(biāo)函數(shù)，首先引入一個變量q，將式(2)轉(zhuǎn)化為與其等價的等式：

(5)

其中，通過正則化參數(shù)λ平衡稀疏表示系數(shù)αG的稀疏性與精度。

調(diào)用分離迭代算法得到：

(6)

其中，將最上面的式子取梯度后令結(jié)果為0，可以求得組估計q=(HTH+sI)-1w，其中w=HTy+s(DGαG+b)，I代表與之匹配的單位矩陣。

2 優(yōu)化梯度算法

基于塊聚類的稀疏表示L0最小化圖像修復(fù)模型如式(2)，由于L0范數(shù)最小化以直接求解，因此通常的做法是求解其最優(yōu)的近似解，即轉(zhuǎn)化為L1范數(shù)最小化。在一定條件下可以將L0范數(shù)優(yōu)化問題與L1最小化問題的解等價，式(2)等價為：

(7)

根據(jù)式(6)，在q已知的情況下求αG，即：

(8)

對式(8)做一些變形，令z=DGαG，可得：

(9)

ε}=1

(10)

根據(jù)此定理，可得式(9)在迭代后滿足：

(11)

另Γ=kλ/s，此時式(9)可以變形為：

(12)

顯然，求出式(12)的最優(yōu)解即為修復(fù)過程中需要不斷更新的稀疏系數(shù)。下面關(guān)于范數(shù)最小值的求解進(jìn)行討論。與其他存在的算法求解方式不同，將它轉(zhuǎn)化為一般的一元函數(shù)的方程求解極小值，令

(13)

從范數(shù)的角度分析，可以展開等價于：

為使y(αGk)獲得的解最優(yōu)，首先對y(αGk)中的αGk進(jìn)行一階求導(dǎo)，然后令其導(dǎo)數(shù)等于0時解出αGk的值。下面對y(αGk)′=αGk-γGrk+Γ?|αGk|求導(dǎo)可得y(αGk)'=αGk-γGrk+Γ?|αGk|，y(αGk)′與y(αGk)′已知。令y(αGk)'等于0滿足最小化條件，可得αGk-γGrk+Γ?|αGk|=0。其中H表示取次梯度，進(jìn)一步展開可得：

(14)

進(jìn)行計算后αGk=max(|γGk|-Γ,0)°sign(γGk)，其中H代表絕對值算子，H代表向量對應(yīng)元素的點乘運(yùn)算，sign表示取符號函數(shù)。

至此，字典與稀疏系數(shù)都得到了求解。實際上，得到了最高效的字典原子與最稀疏的稀疏系數(shù)，從而使得整個修復(fù)算法更具魯棒性。下面給出塊聚類稀疏表示的圖像修復(fù)整體算法步驟：

(1)輸入待修復(fù)的灰度圖像y(若輸入圖像為彩色圖像，則提取出彩色圖像的亮度信息作為輸入)和掩碼矩陣H；

(2)初始化q0=y,λ,k=240,s；

(3)根據(jù)q=(HTH+sI)-1w計算q；

(4)令Γ=kλ/s,用于計算稀疏系數(shù)；

(6)根據(jù)式(14)計算x=DGαG，可以得出修復(fù)后的圖像x=DGαG。

3 實驗結(jié)果與分析

通過仿真實驗來驗證該算法的可行性，利用文獻(xiàn)[18-19]的算法與文中算法進(jìn)行對比，實現(xiàn)對不同受損的樣本DM碼圖像進(jìn)行修復(fù)。圖像大小為256×256像素，以重疊4像素的間隔取出圖像大小為7×7的塊，構(gòu)建每組的搜索窗口的大小為L×L即40×40。采用修復(fù)后圖像的峰值信噪比(PSNR)與結(jié)構(gòu)相似性(SSIM)作為初步衡量圖像修復(fù)效果，SSIM的值越大(最大為1)且PSNR越大，說明修復(fù)效果越好。最后對修復(fù)之后的DM圖像進(jìn)行解碼測試，可以正確解碼的條碼圖像滿足真正修復(fù)的效果。

實驗分為兩組：第一組對于劃痕的DM碼圖像進(jìn)行修復(fù)，分別給出文中算法與文獻(xiàn)[18-19]算法的DM碼的修復(fù)效果圖，如圖1和圖2所示。

圖1 樣本1原始圖與掩碼1破壞圖

圖2 被掩碼1破壞的圖像修復(fù)結(jié)果

圖3為文中算法修復(fù)的識別結(jié)果，可以準(zhǔn)確解碼為CNA10C22GX74218LS8F0A00。

圖3 文中算法修復(fù)的識別結(jié)果

第二組對于被遮擋的DM碼圖像進(jìn)行修復(fù)，表1分別給出了三種算法修復(fù)的實驗數(shù)據(jù)。

表1 掩碼2破壞的三種算法修復(fù)的實驗數(shù)據(jù)

文獻(xiàn)[19]中算法的修復(fù)結(jié)果圖針對性不強(qiáng)，修復(fù)結(jié)果產(chǎn)生局部模糊，有時不能徹底去除掩碼,使得圖像質(zhì)量較差，修復(fù)的圖像不能夠正確解碼，如圖4所示。

由上述實驗數(shù)據(jù)對比可知，對于不同掩碼破壞的圖像，文中算法修復(fù)的結(jié)果的PSNR與SSIM的值相比其他兩種算法都有提高，并且在保證高的PSNR的同時滿足了識別功能，可見該算法的穩(wěn)定性與有效性。

圖4 文獻(xiàn)[19]算法修復(fù)的識別結(jié)果

4 結(jié)束語

提出了一種基于塊聚類稀疏表示的DM碼圖像修復(fù)算法，將圖像塊之間的稀疏性與自相關(guān)性有效結(jié)合在一起，在實際應(yīng)用中，塊聚類稀疏表示算法是解決稀疏與冗余表示的很好的選擇。在改進(jìn)稀疏編碼算法方面，L1范數(shù)被采用作為解決L0范數(shù)優(yōu)化問題，并且巧妙地運(yùn)用一次SVD分解來設(shè)計快速學(xué)習(xí)字典，降低了學(xué)習(xí)字典的計算復(fù)雜性。另外，采用分離迭代與優(yōu)化梯度算法求解組稀疏表示的正則化問題，提高了整體算法的計算效率。對比實驗中可以看出該算法相比其他算法的優(yōu)勢所在，算法的移植性較好且修復(fù)后圖像大大提高了識別率，為工業(yè)應(yīng)用提供了新的思路。未來的研究可以將算法提升到三維視頻的修復(fù)。

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