方蘇云

【摘 要】“倍的認(rèn)識”是小學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)從“加法結(jié)構(gòu)”到“乘法結(jié)構(gòu)”的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，“倍”是小學(xué)生跨越“量”到“率”的第一步。從經(jīng)歷教材十年前后的變與不變，結(jié)合自身十年前后教學(xué)實(shí)踐的變與不變，重新審視課堂、思辨學(xué)習(xí)方式、重構(gòu)教學(xué)過程，以此達(dá)成“倍的認(rèn)識”概念教學(xué)策略的轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)深度理解“倍”的本質(zhì)內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】倍的認(rèn)識；十年變遷；思辨與重構(gòu)

一、聚焦問題：十年前后“倍的認(rèn)識”教學(xué)現(xiàn)象與困惑

（一）遇見的“倍的認(rèn)識”的教學(xué)現(xiàn)象

筆者在區(qū)級公開教研活動中多次聽“倍的認(rèn)識”一課，教師的教學(xué)流程大致可概括成兩類。

第一類：基于人教版現(xiàn)用教材的主題素材展開

探索新知素材來自現(xiàn)用的人教版教材的情境圖：胡蘿卜2根，紅蘿卜6根，白蘿卜10根，通過逐步討論三者間的幾倍關(guān)系，初步理解“倍”的意義；通過改變物體數(shù)量來加深理解“倍”的意義。

第二類：基于人教版實(shí)驗(yàn)教材的主題素材展開

筆者十年前用人教版實(shí)驗(yàn)教材上的“倍的認(rèn)識”的教學(xué)流程。

筆者將教材的4個(gè)2改成3個(gè)2進(jìn)行初步感知倍，然后進(jìn)入多倍和1倍的理解，運(yùn)用線段圖等找“幾倍”，隨機(jī)滲透“幾倍多幾或少幾”，最后延伸到倍的應(yīng)用。

（二）對比十年前后“倍的認(rèn)識”教學(xué)及困惑

面對上述十年前后的課堂教學(xué)流程的極其“相似性”，筆者困惑了。

1.十年前后課堂學(xué)習(xí)材料的來源基本來自“教師”，是否可以改變

十年前后的課堂教學(xué)中絕大部分學(xué)習(xí)材料來自“教師”的事先預(yù)設(shè)，只在“多倍”理解中有少數(shù)材料來自“學(xué)生”。十年前后材料的情境外衣發(fā)生了變化，但實(shí)質(zhì)是“幾個(gè)多少”，即“多少的幾倍”，那么我們是否可將這個(gè)“干貨”回歸到更簡單質(zhì)樸的數(shù)學(xué)情境中，讓學(xué)生參與“創(chuàng)造”知識的過程，在創(chuàng)造知識的過程中又創(chuàng)造學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。

2.十年前后學(xué)習(xí)方式依然不變，能否可以轉(zhuǎn)變

十年前后的“倍的認(rèn)識”學(xué)習(xí)方式基本不變：都是在教師的啟發(fā)下理解“幾個(gè)多少”就是“多少的幾倍”。在新一輪課程改革中，我們能否尊重學(xué)生的思維差異，創(chuàng)設(shè)“生生互動、生生互利”的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生獲得更大的自由表達(dá)和展示機(jī)會，讓不同的學(xué)生都有任務(wù)可做，發(fā)生真正意義上的“自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)”，在充分動手操作中積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

二、聚焦教材變遷：十年之前和十年之內(nèi)的變與不變

帶著困惑，揣著思辨，筆者又一次翻閱對比了十年前后的教材，以人教版教材為例。

（一）從教材的編排對比中看不變

【十年前教材】

【十年后教材】

從上述對比中可看出，“倍的認(rèn)識”依然包括“倍的概念”“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”和“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”，在概念學(xué)習(xí)后進(jìn)行解決問題的教學(xué)；倍概念教材都呈現(xiàn)三個(gè)量，一個(gè)量為“標(biāo)準(zhǔn)量”，其余兩個(gè)量與“標(biāo)準(zhǔn)量”進(jìn)行比較，從“幾個(gè)多少”引出“多少的幾倍”；在解決問題中教材都呈現(xiàn)示意圖和線段圖來幫助學(xué)生理解題意和探求方法的策略。

（二）從教材的編排對比中看變化

上表中可以清晰地看到，教材內(nèi)容由比較零散到相對集中；形式由擺一擺的具體形象到圈一圈的更為抽象；策略由階段性的過渡到系統(tǒng)性的逐步提升。倍的教學(xué)后移，同時(shí)集中教學(xué)關(guān)于“倍”的數(shù)學(xué)問題，教學(xué)更富邏輯性與結(jié)構(gòu)性。

三、聚焦教學(xué)變遷：十年之前和十年之后重構(gòu)的變與不變

面對上述教材變遷，十年后筆者再次實(shí)踐“倍的認(rèn)識”，在重構(gòu)教學(xué)過程中思辨其中的“變與不變”。

（一）課堂教學(xué)依然不變的

1.學(xué)習(xí)支撐點(diǎn)的不變

綜觀“倍的認(rèn)識”一課教材編排的位置，可以說學(xué)生學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識”的支撐點(diǎn)不變。二、三年級的學(xué)生在過去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積累了很多數(shù)一數(shù)、比一比、圈一圈、畫一畫等活動經(jīng)驗(yàn)，基本具有觀察、比較、操作的能力。

“倍的認(rèn)識”學(xué)習(xí)支撐點(diǎn)

2.教學(xué)內(nèi)容基本不變

從教材的“變與不變”中，我們可以得到啟發(fā)，本節(jié)課教學(xué)中依然借助“幾個(gè)幾”與“倍”的融會貫通，突出“倍”的本質(zhì)——兩個(gè)量的比較關(guān)系，強(qiáng)化概念辨析，深入意義理解。

（二）重構(gòu)教學(xué)過程的變化

1.教學(xué)思路的變化

“倍的認(rèn)識”教學(xué)后移，學(xué)生在乘除法的學(xué)習(xí)過程中，已有了“一份數(shù)”與“幾份數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)積累及擺一擺、畫一畫的動手能力。更有一些學(xué)生已認(rèn)識 “倍”的含義，因此在十年后的教學(xué)重構(gòu)中以此為切入點(diǎn)，能打開另一種教學(xué)思路。

【十年前教學(xué)思路】

【十年后教學(xué)思路】

從思路對比中可看出，十年后所設(shè)想的更注重學(xué)生動手操作實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)積累，充分利用圖例“兩次”來直觀理解“2倍”，并建立“2倍”模型，同時(shí)延伸至簡單乘除法的解決問題；再從“2倍”過渡到“多倍”，通過變式加深理解“標(biāo)準(zhǔn)量”的重要性；最后由“一題”拓展到“一類”強(qiáng)化理解倍的本質(zhì)——兩個(gè)量的比較關(guān)系，使知識結(jié)構(gòu)化；再延伸至“倍數(shù)與因數(shù)”，使知識關(guān)聯(lián)化，解題策略模型化。

2.學(xué)習(xí)材料的變化

一份好的學(xué)習(xí)材料是組織學(xué)生體驗(yàn)概念形成過程的重要載體。在十年前后實(shí)踐中筆者所采用的學(xué)習(xí)材料的來源發(fā)生了變化。

【十年前的教學(xué)材料】

【十年后的教學(xué)素材】

從十年前后所呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料的對比中清晰地看出，十年前的教學(xué)材料絕大部分是教師“給的”，而十年后所用學(xué)習(xí)材料基本來自學(xué)生，尤其是新知探究學(xué)習(xí)過程中幾乎所有的學(xué)習(xí)素材都由學(xué)生創(chuàng)作提供，教師選擇學(xué)習(xí)材料的范圍大大增加，也給教師調(diào)控的能力帶來了極大的挑戰(zhàn)！教師要快速參與學(xué)生間的學(xué)習(xí)，選擇合適的學(xué)習(xí)材料促進(jìn)學(xué)生對“倍”內(nèi)涵的理解。而學(xué)生可根據(jù)自己的學(xué)習(xí)能力獲得不同的學(xué)習(xí)體會和收獲，有了更大的學(xué)習(xí)時(shí)空和創(chuàng)新機(jī)會，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。

3.學(xué)習(xí)方式的變化

“倍”的概念對三年級學(xué)生來說還是比較抽象，有必要在實(shí)踐操作中調(diào)動多種感官參與“創(chuàng)造”知識的過程。

二、三年級學(xué)生是以具體形象思維為主，他們對抽象概念本質(zhì)的領(lǐng)悟，都必須以足夠的直觀材料和充分的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)。對比上面表格及材料，我們不難發(fā)現(xiàn)，十年前給二年級學(xué)生上“倍的認(rèn)識”時(shí)，只有在“再識倍”這個(gè)環(huán)節(jié)中放手讓學(xué)生操作“擺一擺”多倍。除此以外的教學(xué)過程都是由教師“扶”著學(xué)生感知理解“倍的意義”，生生互動較少。而十年后在三年級學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”時(shí)，整節(jié)課學(xué)生都處在“數(shù)一數(shù)、擺一擺、畫一畫，再畫一畫、做一做、分一分”的學(xué)習(xí)中，教師在重點(diǎn)、難點(diǎn)處介入學(xué)習(xí)，師生、生生互動比較多，學(xué)習(xí)方式呈現(xiàn)任務(wù)驅(qū)動化，讓不同的學(xué)生在完成任務(wù)過程中有不同的體悟。

4.拓展演繹的變化

與十年前相比，筆者設(shè)置的練習(xí)更是在“創(chuàng)造”性的“做”中鞏固新知，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

【十年前的拓展方向】

在上面兩幅圖中找倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)學(xué)生回答的情況來確定是否拓展“幾倍多幾”（少幾）”；根據(jù)課堂剩余時(shí)間的多少來確定拓展的量，如剩余時(shí)間多則拓展下面的解決問題，再延伸出線段圖的解題策略。

【十年后的拓展方向】

利用“一行”圓，涂出“幾倍”，延伸至總量中“部分量”間的比較，豐富倍的內(nèi)涵；且答案多元，讓學(xué)生進(jìn)一步感受“標(biāo)準(zhǔn)量”的重要性，不同的學(xué)生積累不同的活動經(jīng)驗(yàn)。讓學(xué)生體驗(yàn)到有序思考的思想及解題策略。

在前一題的影響下，學(xué)生在做左圖時(shí)會進(jìn)行有序思考，在追問中教師整理△的個(gè)數(shù)如右圖，學(xué)生體會到△既可以是標(biāo)準(zhǔn)量，也可以是比較量，再次內(nèi)化“標(biāo)準(zhǔn)量”的聚焦地位，從這“一題”演繹成“一類”題，再次突破“倍”的本質(zhì)。最后，通過分類“△少于○的，△與○相同的，△大于○的”，深刻體會“△與○相同”1倍關(guān)系的特殊性；從而滲透“因數(shù)和倍數(shù)”的概念，理解6的因數(shù)是有限的、6的倍數(shù)是無限的等相關(guān)知識，以探尋概念之間關(guān)聯(lián)性的思維路徑。

四、思考提升：“倍”概念教學(xué)的一般策略

回顧十年“磨”一課的經(jīng)歷，筆者通過聚焦教材、教學(xué)的變與不變，也覓得了“倍”概念教學(xué)策略的變與不變。

（一）“倍”概念教學(xué)的不變策略

1.將“倍”的概念置于現(xiàn)實(shí)背景中去感悟和理解

數(shù)學(xué)概念是抽象的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、系統(tǒng)的，要給學(xué)生提供動態(tài)的、豐富的、全面的感知材料，去充實(shí)學(xué)生的感性材料。

2.“倍”概念的建構(gòu)需要經(jīng)歷多次反復(fù)

建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為，概念的建構(gòu)需要經(jīng)過多次反復(fù)，經(jīng)歷“建構(gòu)—解構(gòu)—重構(gòu)”的過程。

3.注重“倍”概念的鞏固運(yùn)用

概念教學(xué)一般應(yīng)遵循“從生活中來—抽象成數(shù)學(xué)模型—到生活中去”的過程，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，尋找“倍”概念的縱向或橫向聯(lián)系，形成概念系統(tǒng)，使教材中的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成為學(xué)生頭腦中的認(rèn)識結(jié)構(gòu)。

（二）“倍”概念教學(xué)的重構(gòu)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)策略的轉(zhuǎn)變

1.學(xué)習(xí)材料從“教師提供”走向?qū)W生的“創(chuàng)作”

在教學(xué)中教師習(xí)慣性地給學(xué)生提供一些豐富的素材，幫助學(xué)生理解概念內(nèi)涵。但我們可以看到十年前教師給學(xué)生提供的學(xué)習(xí)材料（見圖1），十年后學(xué)生也能創(chuàng)作出類似的素材（見圖2），提供給全班學(xué)習(xí)，并且能結(jié)合自己的動手操作經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解釋，感知“2倍”就是這樣的“2份”。

2.學(xué)習(xí)方式從“指令操作”走向“問題引領(lǐng)，任務(wù)驅(qū)動”

十年前的“倍”通過動畫的演示、動態(tài)的呈現(xiàn)，注重理解“（ ）是（ ）的幾倍”，強(qiáng)調(diào)誰與誰比，是碎片化指令性極強(qiáng)的學(xué)習(xí)方式。十年后，筆者嘗試用“你覺得2倍關(guān)系是怎樣的？”“你覺得2倍關(guān)系可以怎么表示呢？嘗試著擺一擺、畫一畫?！薄澳阋芯繋妆叮蛩阍趺串?？”隨著這三個(gè)大問題的展開，以“2倍”為起點(diǎn)與突破口，建立“2倍”模型，再走向“多倍”的理解，很自然地讓學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動下逐步感知、深入理解概念的內(nèi)涵，把握“倍”概念的本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]葛素兒.基于圖式 情理相融——《倍的認(rèn)識》教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（數(shù)學(xué)版），2017（9）：34-35.

[2]斯苗兒，藍(lán)學(xué)敏，袁曉萍.改進(jìn)材料，讓意義理解更加透徹——“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”一課研究與實(shí)踐歷程[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（10）：29-35.

（浙江省杭州市富陽區(qū)教育研究發(fā)展中心 311400）