朱 琛 唐恒鈞 徐元根

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

強調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活、其他學(xué)科間的關(guān)聯(lián)是新世紀(jì)以來數(shù)學(xué)課程改革的一個重要理念[1]。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)在基本理念中指出：“課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實際，有利于學(xué)生體驗與理解、思考與探索?！盵2]同時，認(rèn)識到數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域與現(xiàn)實生活及其他學(xué)科領(lǐng)域之間的聯(lián)系也是《澳大利亞數(shù)學(xué)課程》《The Australian Curriculum Mathematics》(下簡稱《ACM》)中的理念之一[3]。因此，數(shù)學(xué)教科書應(yīng)如何設(shè)置情境以實現(xiàn)上述理念成為一個值得關(guān)注的問題。

就具體課程領(lǐng)域而言，“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的情境設(shè)置值得更多的關(guān)注與研究。這是因為，概率統(tǒng)計作為處理數(shù)據(jù)、進行決策的有效工具，被廣泛地應(yīng)用于當(dāng)代社會中；中小學(xué)的統(tǒng)計與概率課程在內(nèi)容上也與現(xiàn)實聯(lián)系得更為緊密，常以現(xiàn)實問題為背景，以解決現(xiàn)實問題為目的。因此，對統(tǒng)計與概率課程的情境分析具有重要意義。基于此，本文將對我國和澳大利亞的數(shù)學(xué)教科書中“統(tǒng)計與概率”習(xí)題的情境加以分析，以期為統(tǒng)計與概率課程的設(shè)計和教學(xué)提供借鑒與啟示。

一、研究設(shè)計

1.研究對象

本文以人民教育出版社出版的6冊初中數(shù)學(xué)教科書[4](以下簡稱《數(shù)學(xué)》)和澳大利亞Pearson出版集團出版的4冊《PERSON Mathematics 7-10》[5](以下簡稱《PM》)教科書為文獻分析源。在分析過程中，《數(shù)學(xué)》中的習(xí)題包括在教科書正文中的“練習(xí)”、正文結(jié)束后的“習(xí)題”以及每一章結(jié)束后的“復(fù)習(xí)題”。《PM》中的習(xí)題以“Navigator”的形式出現(xiàn)在正文之后，每一章結(jié)束部分還有“Chapter review”。選取的章節(jié)內(nèi)容見表1。

表1 中澳教材“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的相應(yīng)章節(jié)選取

2.分析框架

本文選取以下三個維度對習(xí)題的情境進行分析：情境來源；情境與習(xí)題的整合程度，即情境的真實性程度；習(xí)題情境與習(xí)題功能的匹配度。

(1)習(xí)題情境的類型?！皵?shù)學(xué)情境”是產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、提出數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的背景、前提、條件和基礎(chǔ)[6]。呂傳漢、汪秉彝將情境取材分為7類[7]：從現(xiàn)實社會人們關(guān)注的問題中取材；從實際生產(chǎn)生活中取材；從數(shù)學(xué)史實、中外名題中取材；從例題、習(xí)題、升學(xué)題、競賽題中取材；從自然科學(xué)中取材；從人文學(xué)科中取材；從地方、民族文化特色中取材。傅贏芳、張維忠從文化相關(guān)性的視角對中英兩國初中數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用題的情境文化性進行了探索和比較，將情境分為5類[8]：與社會生產(chǎn)的聯(lián)系；與社會服務(wù)行業(yè)的聯(lián)系；與社會問題的聯(lián)系；與其他學(xué)科的聯(lián)系；與學(xué)生日常生活的聯(lián)系。PISA根據(jù)情境與學(xué)生實際生活的距離，把問題情境劃分為4類[9]：個人情境；教育與職業(yè)情境；公共情境；科學(xué)情境。比較上述分類可以發(fā)現(xiàn)，傅贏芳等提出的情境分類和PISA的情境分類均更多地關(guān)注了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的關(guān)聯(lián)，而對歷史、文化傳統(tǒng)等關(guān)注不多。呂傳漢等的框架中則關(guān)注到了文化傳統(tǒng)，但對現(xiàn)實生活的分類又有一定的交叉。以上述三個框架為基礎(chǔ)，基于數(shù)學(xué)文化的相關(guān)研究，本文在分析過程中將情境分為5類：個人情境、職業(yè)情境、公共情境、科學(xué)情境、文化情境(如表2)。需要指出的是，為了避免“文化情境”與之前4類情境之間的交叉，這里的文化情境作狹義的理解，即僅指傳統(tǒng)的民族文化、地方文化以及外來文化等數(shù)學(xué)習(xí)題情境。

(2)習(xí)題情境的真實性程度。情境與習(xí)題中的數(shù)學(xué)問題的整合程度是情境設(shè)置中的一個關(guān)鍵問題。 “基于問題的學(xué)習(xí)”(Problem-based Learning，PBL)強調(diào)將問題設(shè)置在具體的、源于或貼近現(xiàn)實生活的真實情境中。在信息爆炸時代，“統(tǒng)計與概率”這一領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，強調(diào)解決實際問題時的應(yīng)用性。因此，再將情境分為真實性情境與非真實性情境(如表3)。真實性情境的分析不只是適合于與學(xué)生生活相關(guān)的幾類情境，其中數(shù)學(xué)史中真實的數(shù)學(xué)實驗、真實的人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計等也屬于真實性情境。

表3 真實性情境與非真實性情境

(3)習(xí)題功能的分類。創(chuàng)設(shè)習(xí)題情境的核心目的是為了更好地實現(xiàn)習(xí)題的功能，因此不同功能定位的習(xí)題對情境的創(chuàng)設(shè)提出了不同的要求?！墩n標(biāo)》將課程目標(biāo)分為知識與技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等四個維度。具體到統(tǒng)計與概率的教學(xué)，則可以包括統(tǒng)計知識與技能、統(tǒng)計思想、統(tǒng)計問題解決和統(tǒng)計情意四個維度，而相比于統(tǒng)計情意隱性并普遍地存在于習(xí)題之中，另三個維度則在習(xí)題中表現(xiàn)得更為顯性?；诖?，筆者將統(tǒng)計與概率習(xí)題按(顯性)功能由低到高分為三類：知識技能型習(xí)題、思想型習(xí)題和問題解決型習(xí)題(如表4)。當(dāng)然一題中常會涉及多種功能，本文在分析過程中只取最高層次的功能。

表4 習(xí)題的功能分類

二、研究結(jié)果

根據(jù)以上框架，對兩國數(shù)學(xué)教科書中“概率與統(tǒng)計”領(lǐng)域的習(xí)題情境進行分析，得到以下研究結(jié)果。

1.習(xí)題情境類型的比較

兩個國家不同類型情境所占比例存在顯著差異(卡方值為18.017，P≈0.003<0.05)(如表5)，其背后呈現(xiàn)著不同的價值取向。

表5 中澳“概率與統(tǒng)計”習(xí)題的情境分類統(tǒng)計

(1)無情境。在人教版《數(shù)學(xué)》“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的習(xí)題中，無情境的習(xí)題占了24.4%，較澳大利亞的習(xí)題占比更低，可見人教版《數(shù)學(xué)》更強調(diào)在具體情境中去解決問題。

(2)個人情境。個人情境包括個人的學(xué)習(xí)活動、家庭活動、同齡群體活動等?？偟膩碚f，在個人情境取材方面，《數(shù)學(xué)》的百分比高于《PM》。更具體地，存在以下差異：首先，《PM》較關(guān)注家庭活動與同齡群體活動，如私家車的品牌、同朋友旅游情況等；《數(shù)學(xué)》更關(guān)注學(xué)習(xí)活動，《數(shù)學(xué)》個人情境中涉及體育成績、期中考試成績、歌唱賽打分等學(xué)習(xí)生活。其次，《PM》習(xí)題的個人情境變換繁多，如寵物的飼養(yǎng)、音樂風(fēng)格、購物時間等，習(xí)題情境的趣味性強，具有多樣性；《數(shù)學(xué)》的情境取材結(jié)合我國實際情況，考慮到城鄉(xiāng)差異，情境取材也更具普遍性與基礎(chǔ)性，如體重調(diào)查、籃球運動等。

(3)職業(yè)情境。習(xí)題中的職業(yè)情境與兩國的文化背景、經(jīng)濟狀況等有著不可分割的聯(lián)系。澳大利亞是世界上放養(yǎng)綿羊數(shù)量和出口羊毛最多的國家且旅游資源豐富，具體的情境設(shè)計有涉及羊毛商品數(shù)量、來澳游客居住的酒店類型等。但總體來說，《PM》中屬于職業(yè)情境的習(xí)題所占比值并不高。中國是一個農(nóng)業(yè)大國，因此會出現(xiàn)與種植業(yè)相關(guān)的情境，如產(chǎn)業(yè)田的面積、小麥產(chǎn)量、瓜果產(chǎn)量等?！稊?shù)學(xué)》中的職業(yè)情境一方面取材于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，另一方面工人檢測產(chǎn)品合格率這一情境也多次出現(xiàn)。

(4)社會情境。在社會情境中，兩國均關(guān)注了體育競技、環(huán)境保護、人口統(tǒng)計等社會問題。例如，澳洲是一個體育運動大國，《PM》將各類體育競技納入習(xí)題情境中。具體地，有關(guān)足球的情境在習(xí)題中出現(xiàn)14次，涉及澳式足球聯(lián)盟(AFL)的情境出現(xiàn)6次，這也契合當(dāng)?shù)毓竦呐d趣?！稊?shù)學(xué)》中關(guān)于體育的情境也結(jié)合本國實際，多是乒乓球賽、籃球賽。在環(huán)境保護上，兩國都同時提供了溫室效應(yīng)、水資源枯竭等情境，以期教育學(xué)生愛護環(huán)境。另外，《PM》還涉及有關(guān)政治的素材，如設(shè)計了選舉總統(tǒng)時選民的投票、政黨投票等內(nèi)容。

(5)科學(xué)情境。由表3可以看出，兩國在習(xí)題情境設(shè)置中均沒有很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。并且兩國的人文學(xué)科類情境的習(xí)題數(shù)量均為0。但與《PM》相比，《數(shù)學(xué)》的習(xí)題情境設(shè)置涉及物理、生物、地理等學(xué)科。例如，《數(shù)學(xué)》九年級(上)復(fù)習(xí)題中有以下問題：已知電流在一定時間段內(nèi)正常通過電子元件的概率是0.5，分別求在一定時間段內(nèi)，A、B之間和C、D之間電流能夠正常通過的概率。上述習(xí)題將數(shù)學(xué)與物理相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用。要拓展學(xué)生的知識面，就應(yīng)將數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科結(jié)合，交叉學(xué)習(xí)，這樣各個領(lǐng)域的知識才能夠相互啟發(fā)、互為補充。

(6)文化情境。澳大利亞是奉行多元文化的移民國家，澳大利亞數(shù)學(xué)課程重視數(shù)學(xué)文化，并關(guān)注傳遞多樣的文化觀念[10]，在課程建設(shè)中極為重視土著文化等非主流文化與學(xué)校課程的融合[11]?！禤M》在“概率與統(tǒng)計”這一領(lǐng)域中，文化情境共計4題，其中涉及土著文化情境的習(xí)題為1題，習(xí)題情境中涉及班級里不同國籍的學(xué)生人數(shù)、不同的瞳孔顏色等為3題。我國義務(wù)教育階段和高中的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都強調(diào)了對數(shù)學(xué)文化的關(guān)注，但在《數(shù)學(xué)》“概率與統(tǒng)計”領(lǐng)域中，文化情境共計1題，且沒有設(shè)置民族文化情境下的習(xí)題。

2.情境的真實性

“實際問題既是概率論與統(tǒng)計學(xué)的來源又是它們的歸宿。”[12]傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往給學(xué)生提供數(shù)據(jù)，直接引導(dǎo)學(xué)生如何整理、呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，忽視數(shù)據(jù)收集的過程。通過對中澳初中學(xué)段“統(tǒng)計與概率”總體目標(biāo)的比較，可以發(fā)現(xiàn)《課標(biāo)》要求第三學(xué)段的學(xué)生能夠收集、整理、描述與分析數(shù)據(jù)，注重知識與技能。

通過對兩國習(xí)題的分析，發(fā)現(xiàn)兩國習(xí)題情境的真實性也有較大差異(卡方值為7.270，P≈0.007<0.05)，詳見表6。

表6 中澳“統(tǒng)計與概率”習(xí)題的情境真實性統(tǒng)計

《數(shù)學(xué)》中習(xí)題的真實性情境占到總習(xí)題數(shù)的7.6%，而《PM》則占到17.5%。除了所占比值有差異，兩國習(xí)題真實性情境的處理方式上也存在著明顯差異。具體地：《PM》中，習(xí)題情境中出現(xiàn)的氣溫、人口等統(tǒng)計往往具體到真實的地點；而《數(shù)學(xué)》中則常以“某地”“某隊”“甲”“乙”等來呈現(xiàn)數(shù)據(jù)。《數(shù)學(xué)》中，每小節(jié)中都留有習(xí)題讓學(xué)生自己進行調(diào)查，如統(tǒng)計同學(xué)們的生日月份、乘坐的交通工具等；而《PM》中，對真實問題進行調(diào)查的習(xí)題的比重較《數(shù)學(xué)》少。

此外，從報刊網(wǎng)頁中提取、分析數(shù)據(jù)進而明晰問題的能力對于學(xué)生來說十分重要?！禤M》中共有9個習(xí)題要求學(xué)生根據(jù)所給報刊信息來解決問題。具體地，要求學(xué)生自己先從給定原始資料中提取數(shù)據(jù)，并通過統(tǒng)計與分析后得出答案，例如，《PM 10-10A》中通過報刊數(shù)據(jù)提供了有關(guān)不同地區(qū)房價的上漲與跌落、房屋售出量等方面的統(tǒng)計信息。

3.習(xí)題情境與習(xí)題功能的匹配情況

結(jié)合第一個維度中對習(xí)題情境的分類討論情況，將5類習(xí)題情境統(tǒng)一計為有情境。對《數(shù)學(xué)》與《PM》中相應(yīng)習(xí)題做了統(tǒng)計之后，得到以下數(shù)據(jù)(見表7)。

表7 情境分類與習(xí)題功能

情境的價值在于使蘊含其中的問題變得更為接近現(xiàn)實，同時對學(xué)生統(tǒng)計素養(yǎng)提出了更高要求。也正因如此，這里的情境與習(xí)題功能的分析中除了有無情境之外，還要關(guān)注情境真實性的變化。從第二個維度來看習(xí)題功能與情境間的匹配性問題(見表8)。

表8 情境真實性與習(xí)題功能

相同之處：從知識技能型習(xí)題到思想型習(xí)題，兩國習(xí)題中有情境習(xí)題的比例都呈上升趨勢。知識技能型習(xí)題一般是對數(shù)學(xué)事實、概念、公式、法則、性質(zhì)的回憶以及對數(shù)學(xué)常規(guī)解題程序的訓(xùn)練，因此對習(xí)題情境的設(shè)置沒有提出高要求；思想型習(xí)題要求更深入地理解概念，能夠?qū)σ褜W(xué)知識靈活運用等。隨著習(xí)題的功能發(fā)生變化，習(xí)題對學(xué)生的要求也發(fā)生了變化。習(xí)題難度上升時，設(shè)置具體情境能夠引起學(xué)生共鳴，因而從知識技能型習(xí)題發(fā)展到思想型習(xí)題，兩國有情境習(xí)題的比例均有所上升。在習(xí)題情境真實性方面，由知識技能型習(xí)題到思想型習(xí)題，再到問題解決型習(xí)題，兩國真實性情境的比例都逐漸上升。對于知識技能型習(xí)題而言，主要考察一些公式、定理的掌握，因此真實性情境的比重最低，這是合理的。當(dāng)解決思想型習(xí)題、問題解決型習(xí)題時，真實性情境的比重逐漸上升，兩國都表現(xiàn)出了這一特點。

不同之處：兩國問題解決型習(xí)題的情境設(shè)置。《數(shù)學(xué)》中，問題解決型習(xí)題中有情境習(xí)題占了94.7%；而《PM》中，數(shù)值為70.3%。問題解決型習(xí)題具有非常規(guī)性，可以是對已學(xué)知識的拓展，建立數(shù)學(xué)模型來解決問題；也可以是數(shù)學(xué)猜想的形成和數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造性運用?！稊?shù)學(xué)》中問題解決型習(xí)題幾乎都是結(jié)合情境來解決問題，《PM》較重視對純粹數(shù)學(xué)知識的探究。但與上述特點相反的是，《PM》問題解決型習(xí)題的真實性情境占比反超《數(shù)學(xué)》，分別占41.9%和15.8%。

三、若干啟示

1.均衡習(xí)題情境的類型

首先，從學(xué)段特殊性這一角度出發(fā)，初中生處于青春期，對新鮮事物充滿好奇。當(dāng)習(xí)題設(shè)置的情境能夠迎合學(xué)生的興趣，抓住學(xué)生的眼球時，學(xué)生愿意去接受習(xí)題中所包含的信息。在個人情境中，密切數(shù)學(xué)與學(xué)生生活經(jīng)驗間的聯(lián)系，促進興趣的提升，降低學(xué)習(xí)難度。初中階段也需要開始更多地關(guān)注社會情境，使學(xué)生從小養(yǎng)成社會公知，開闊國際視野；更關(guān)注科學(xué)情境，使各個領(lǐng)域的知識相互啟發(fā)、互為補充。

其次，需要進一步強化文化情境的建設(shè)。《課標(biāo)》中幾乎沒有提及少數(shù)民族文化，缺少對少數(shù)民族數(shù)學(xué)文化的介紹。隨著我國人口流動越來越頻繁，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)越來越發(fā)達，東西部交流越來越廣泛，在數(shù)學(xué)課程中滲透多元文化的重要性也就越來越顯著。數(shù)學(xué)文化是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育改革的熱門話題。倡導(dǎo)中華文化，杜絕“去中國化”的傾向，更是歷史賦予我們的責(zé)任[13]。在“概率與統(tǒng)計”領(lǐng)域的習(xí)題中加入傳統(tǒng)文化，讓數(shù)學(xué)與中國傳統(tǒng)文化相融合。

2.加強習(xí)題情境的真實性

在《數(shù)學(xué)》中，習(xí)題中常出現(xiàn)含有“某市”“某支球隊”“某人”等情境，數(shù)據(jù)常常是模擬真實情境的人造數(shù)據(jù)。當(dāng)學(xué)生掌握了一定的知識后，應(yīng)該考慮多讓學(xué)生處理真實的數(shù)據(jù)，加入更多的真實性情境的習(xí)題。一是習(xí)題源自真實生活，學(xué)生容易接受；二是解決真實問題，能擴大學(xué)生知識面、強化知識活性；三是真實數(shù)據(jù)的處理，有助于增強統(tǒng)計意識?！稊?shù)學(xué)》可借鑒《PM》中真實性情境的設(shè)置，如節(jié)選報刊中有適量數(shù)據(jù)的部分作為題干，對節(jié)選部分不做加工，只負責(zé)習(xí)題問題的提出。

3.加強習(xí)題情境與習(xí)題功能的匹配性

習(xí)題要能夠結(jié)合情境以自然的方式給出學(xué)習(xí)任務(wù)所要解決的數(shù)學(xué)問題。當(dāng)為了讓學(xué)生掌握一些基礎(chǔ)知識與基本技能時，無情境習(xí)題的出現(xiàn)無可厚非。如果為了培養(yǎng)統(tǒng)計意識，就需要加強真實性情境的建設(shè)，《數(shù)學(xué)》中問題解決型習(xí)題的真實性需要加強?！敖y(tǒng)計與概率”是應(yīng)用性較強的內(nèi)容，在問題解決型習(xí)題中增加真實性情境，是體現(xiàn)其應(yīng)用性的一個著力點。不同的習(xí)題需要不同的情境與之匹配，發(fā)揮習(xí)題應(yīng)有的功能。

總之，中澳兩國在統(tǒng)計與概率習(xí)題情境的設(shè)計上各有特色，但仍需要習(xí)題情境類型的均衡性、習(xí)題情境的真實性以及情境與習(xí)題功能的匹配上作出更多的探索。

[1] 陳碧芬，張維忠，唐恒鈞.“數(shù)學(xué)教學(xué)回歸生活”：回顧與反思[J].全球教育展望，2012，41(1)：86-92.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京： 北京師范大學(xué)出版社， 2012.

[3] ACARA.The Australian Curriculum Mathematics[EB/OL].[2017-03-25].http：//www.australiancurriculum.edu.au/mathematics/aims.

[4] 課程教材研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社， 2013．

[5] COFFER D.Person Mathematic 7-10[M].Melbourne： Person Australia Group Pty Ltd， 2011.

[6] 呂傳漢，汪秉彝.再論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報， 2002， 11(4)： 72-76.

[7] 呂傳漢， 汪秉彝.中小學(xué)教學(xué)的一種基本教學(xué)模式：中小學(xué)“情境—問題”教學(xué)模式[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2005(1)： 86-90.

[8] 傅贏芳， 張維忠.中英初中數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用題的情境文化性[J].外國中小學(xué)教育， 2007(2)： 29-32.

[9] 經(jīng)濟合作與發(fā)展組織(DECD).面向明日世界的學(xué)習(xí)[M].上海：上海教育出版社， 2008.

[10] 唐恒鈞，張維忠.國外數(shù)學(xué)課程中的多元文化觀點及其啟示[J].課程·教材·教法，2014，22(4)：120-123.

[11] 張維忠， 陸吉健.基于文化適切性的澳大利亞民族數(shù)學(xué)課程評介[J].課程·教材·教法，2016，24(2)： 119-124.

[12] 徐傳勝.運用實際問題改進概率統(tǒng)計教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2000，9(4)：91-94.

[13] 張奠宙.讓中華文化在數(shù)學(xué)課堂上閃閃發(fā)光[J].中學(xué)數(shù)刊， 2015(1)： 1-3.