潘紅娟

數(shù)學(xué)拓展性課程，正以其激發(fā)數(shù)學(xué)興趣、關(guān)注活動經(jīng)驗和落實“核心素養(yǎng)”之取向，為廣大教師認(rèn)同、接受、踐行并探索。的確，拓展性課程，不僅代表了國際課程發(fā)展的趨勢，更是突破了原有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性課程結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)與抽象，代之以豐富而開放的學(xué)習(xí)目標(biāo)、方式與內(nèi)容，成為學(xué)生積極情感體驗、基本素養(yǎng)落實和整體能力發(fā)展的有效載體。

但是，筆者在當(dāng)前的課例研究中發(fā)現(xiàn)，不少教師在“追求趣味”“尋求整合”“凸顯拓展”的同時，于學(xué)科定位上卻稍顯乏力，以至于將數(shù)學(xué)拓展課等同于“繪本課”“活動課”“游戲課”。作為特定學(xué)科的拓展課，必然有其學(xué)科的氣質(zhì)與追求。數(shù)學(xué)拓展課，究竟該選擇怎樣的內(nèi)容？教學(xué)中應(yīng)注意什么？如何突出數(shù)學(xué)味和思維取向？我們不妨以《漂亮的三角形》與《棋盤中的奧秘》兩節(jié)課為例，探討這一課型的價值取向與教學(xué)策略。

一、目標(biāo)：突破知識本位，但仍應(yīng)立足數(shù)學(xué)認(rèn)知與思維發(fā)展

數(shù)學(xué)拓展性課程，其教育價值遠(yuǎn)高于知識技能方面的所得。數(shù)學(xué)拓展性課程不僅強(qiáng)調(diào)知識結(jié)果的單純獲取、記憶與固化，以及技能的掌握與嫻熟，還定位于提高興趣、提升能力、積累經(jīng)驗、發(fā)展思維。那么，著眼于整體素養(yǎng)的高位目標(biāo)，是不是可以不用依托于數(shù)學(xué)認(rèn)知呢？顯然不是。目標(biāo)定位上，我們依然應(yīng)該追求“整體發(fā)展”與“學(xué)科認(rèn)知”兩者的和諧生長，而不是脫離于數(shù)學(xué)認(rèn)知與思維提升的虛空發(fā)展。

以《漂亮的三角形》一課為例，教師不囿于三角形知識的獲取，而是以繪本閱讀為活動貫穿，將閱讀興趣的激發(fā)、閱讀方法的指導(dǎo)、信息獲取能力的培養(yǎng)、交流表達(dá)與創(chuàng)新能力的提升等方面作為過程性目標(biāo)加以重視。同時，我們看到其數(shù)學(xué)認(rèn)知線也十分清晰：1.體驗三角形的穩(wěn)定性；2.基于三角形的基本特征進(jìn)行判斷與分類；3.通過三角形的拼組體會密鋪；4.多邊形的初步滲透，等等。尤其是“三角形的判斷與分類”環(huán)節(jié)中，教師提供了外延豐富的各類三角形素材，引導(dǎo)學(xué)生始終圍繞三角形的概念內(nèi)涵進(jìn)行辨析，從而幫助學(xué)生建構(gòu)完善的三角形概念。學(xué)生明確，只要符合“三條邊、三個角”的特征，即使形狀、方向、大小變了，仍然是三角形。在不同的三角形分類中，引導(dǎo)學(xué)生描述“有一個直角”“三個角都相等”“有兩個角相等、兩條邊相等”，銜接于經(jīng)驗，但又凸顯本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)，為今后學(xué)習(xí)“直角三角形”“等邊三角形”“等腰三角形”等相關(guān)概念做了極好的鋪墊。因此，我們說，閱讀過程中，一方面著眼于培養(yǎng)閱讀興趣、閱讀能力、表達(dá)能力、空間想象；另一方面，將活動與交流立足于數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，滲透、理解與掌握才可謂細(xì)膩、深刻、扎實。

同樣，《棋盤中的奧秘》一課，教師對“必勝點(diǎn)”的掌握、是否對弈獲勝，并不作為教學(xué)的著力點(diǎn)，而是力圖在引導(dǎo)學(xué)生不斷經(jīng)歷出錯、反思、調(diào)整的過程，最終實現(xiàn)學(xué)生在“倒推策略”（從結(jié)果開始思考起）“反思意識”“推理能力”等可持續(xù)的方法、能力、意識等方面的培養(yǎng)，才是真正的目標(biāo)所在。當(dāng)然，如果以游戲體驗、經(jīng)歷感受為由，而忽視全體學(xué)生的理解與跟進(jìn)，也會使學(xué)生走入策略理解膚淺、推理能力發(fā)展不力的境地。因此，教學(xué)中，教師依托精巧材料，促進(jìn)環(huán)節(jié)目標(biāo)層層推進(jìn)。環(huán)節(jié)一：回顧微課內(nèi)容，理解游戲規(guī)則，定義必勝點(diǎn)；環(huán)節(jié)二：“8×8”棋盤中進(jìn)一步理解規(guī)則，探究必勝策略，體驗嘗試倒推；環(huán)節(jié)三：問題變式，“5×5”棋盤中鞏固倒推策略，經(jīng)歷完整推理；環(huán)節(jié)四：繼續(xù)變式，“8×8-5×5”棋盤中引發(fā)認(rèn)知沖突，體驗策略的適用性與推理思考的嚴(yán)謹(jǐn)性?？梢?，只有將發(fā)展性目標(biāo)進(jìn)行細(xì)化與分解，策略的內(nèi)化與應(yīng)用、思維方法與能力的培養(yǎng)才不會成為一句空話。

二、任務(wù)：關(guān)注趣味互動，但仍應(yīng)具有復(fù)雜思維的挑戰(zhàn)與空間

如果將拓展性數(shù)學(xué)任務(wù)與一般的數(shù)學(xué)任務(wù)進(jìn)行比較，我們可以從情境性、不確定性、任務(wù)的復(fù)雜性等維度加以區(qū)分。一般的數(shù)學(xué)任務(wù)，教師直接發(fā)出指令，告知學(xué)生解決問題的要求與方法，且一個任務(wù)專注于特定的知識技能；而拓展性數(shù)學(xué)任務(wù)，倡導(dǎo)在情境中隱含數(shù)學(xué)的知識與方法，問題和解決辦法具有一定的空間，任務(wù)具有一定的復(fù)雜性和足夠的挑戰(zhàn)性。

從《漂亮的三角形》《棋盤中的奧秘》兩節(jié)課看，拓展性任務(wù)的特征十分明顯。如《棋盤中的奧秘》一課，“教師和學(xué)生在8×8的棋盤上玩游戲，在棋盤的右下角放一顆棋子，以它為起點(diǎn)，兩人輪流在這個棋盤上下棋，規(guī)定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，先占領(lǐng)左上角者獲勝。問教師下到哪個點(diǎn)時就一定能贏？”這無疑就是一個好的拓展性任務(wù)。

一方面，這是學(xué)生感興趣的任務(wù)。走棋子游戲的問題情境，學(xué)生十分熟悉，但在自定義的規(guī)則下，又使得游戲具有了某種不可知的神秘性，從實際教學(xué)看，每位學(xué)生對這一游戲及問題的研究都興趣盎然、積極參與。

另一方面，任務(wù)極具復(fù)雜性與挑戰(zhàn)性。筆者以為，低水平的認(rèn)知任務(wù)，不可能有高水平的參與，如果教學(xué)目標(biāo)要突破知識本位，著力于提高學(xué)生思考、推理、解決問題的能力，那么問題就應(yīng)該具有讓學(xué)生參與更復(fù)雜思維活動的潛力。棋盤游戲，這顯然是一個富含數(shù)學(xué)策略與邏輯推理的好練習(xí)。學(xué)生嘗試解決問題時，沒有直接可利用的知識、方法與公式，所有的學(xué)生都經(jīng)歷“盲目對弈——出錯調(diào)整——相互啟發(fā)——頓悟要點(diǎn)——運(yùn)用策略”的過程。從“毫無方法”“疑惑不解”到“豁然開朗”，學(xué)生真正經(jīng)歷了自主摸索的過程。值得借鑒的是，探索過程中，教師為學(xué)生提供了可操作的棋盤與材料，提供同桌對弈的充分體驗，正是基于實踐，學(xué)生對于“如何獲勝”“哪些點(diǎn)是獲勝的重要點(diǎn)”“如何利用倒推尋找必勝點(diǎn)”才有了最為真切的體驗。

三、過程：拉長探索過程，但仍應(yīng)倡導(dǎo)必要導(dǎo)學(xué)與順勢引領(lǐng)

好的探究過程，必然具有一定的思維含量，一節(jié)拓展課是否具有思維含量，取決于兩個要素：一方面，是否有足夠的獨(dú)立思考的時間；另一方面，是否有基于獨(dú)立思考之上的有效思維的碰撞。這兩個方面都有賴于教師有效的“導(dǎo)學(xué)”?！皩?dǎo)”在引發(fā)獨(dú)立思考的任務(wù)設(shè)計、“導(dǎo)”在促進(jìn)討論交流的問題引領(lǐng)，“導(dǎo)”在關(guān)鍵思考處的畫龍點(diǎn)睛。

首先，想要激活學(xué)生思考，關(guān)鍵在于必須樹立以“學(xué)習(xí)者”為中心的意識，必須有引導(dǎo)參與的任務(wù)驅(qū)動，教師應(yīng)該善于設(shè)置讓學(xué)習(xí)者感到值得思考與行動的參與點(diǎn)。例如在《漂亮的三角形》一課中，教師引用繪本以故事性取勝，但如何將繪本故事的靜態(tài)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生可思考、可探究的活動，則需要教師有效設(shè)計。問題1：“推一推四邊形，發(fā)現(xiàn)了什么？對角加一根木板，再推一推，有什么感覺？”；問題2：“你可以用三張正方形紙創(chuàng)造出三角形嗎？”問題3：“找到了三種不同的三角形，用很多個這樣的三角形，能拼成更大的圖形嗎？”“作品二中，能找到多少個三角形？”從紛繁的故事情節(jié)中提取出具有數(shù)學(xué)特性的材料，轉(zhuǎn)化成可供學(xué)生思考與活動的問題，這難道不是教師有力導(dǎo)學(xué)的成果嗎？教師在過程展開中所做的，正是：操作活動數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)材料邏輯化、數(shù)學(xué)知識實踐化。

其次，教師能為學(xué)習(xí)者提供及時交流、誘發(fā)碰撞的機(jī)會。《棋盤中的奧秘》一課，大任務(wù)大空間下，教師如何循著學(xué)生的思路在關(guān)鍵處進(jìn)行設(shè)問、點(diǎn)撥、引導(dǎo)？

我們來看：

“看了微課，哪位同學(xué)能告訴我，紅紅為什么會贏？”——引出“必勝點(diǎn)”；

“想要下到這個必勝點(diǎn)？又要下到哪些點(diǎn)呢？”——引向“倒推”思路；

“請找到這個點(diǎn)（錯誤點(diǎn)）的同學(xué)來說說是怎么想的”——經(jīng)歷“推理”，明確“錯誤”；

“還發(fā)現(xiàn)哪些必勝點(diǎn)？說說為什么”（生：這個點(diǎn)是必勝點(diǎn)，因為如果對方……那么我就……，如果對方……那么我就……）——指向“邏輯推理能力培養(yǎng)”；

“你不是已經(jīng)找到必勝點(diǎn)了嗎？為什么還會輸？”（變式棋盤中）——指向“思維嚴(yán)謹(jǐn)”；

……

大任務(wù)下，這樣的師生對話與思維碰撞充滿了課堂，教師或質(zhì)疑、或點(diǎn)撥、或反問、或設(shè)梯，無不顯示出教師很強(qiáng)的導(dǎo)學(xué)能力與導(dǎo)學(xué)藝術(shù)。

或許，材料的精心提取與活動轉(zhuǎn)化，適宜的思維逗留與思考設(shè)置，必要的調(diào)控導(dǎo)學(xué)與順勢引領(lǐng)，就是成就充滿思維含量的“數(shù)學(xué)拓展性課堂”不可或缺的因素。