武杰+黃昭+程適

摘 要 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是講解生活中隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律的課程，旨在提供一種分析與理解自然界隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性工具。作為大學(xué)本科的基礎(chǔ)必修課程，該課程不僅具有較強(qiáng)的理論性，還具有廣泛的實(shí)踐性。因此，在教學(xué)過(guò)程中，如何實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容的有效組織；以何種方式引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，進(jìn)而構(gòu)建自己的知識(shí)體系是本課程老師應(yīng)該深入思考的問(wèn)題。本文作者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)本課程的教學(xué)方法和策略進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞 教學(xué)方法 事例引導(dǎo) 定理證明 邏輯思維

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.11.055

Abstract The probability theory and mathematical statistics is commonly applied to explain the inherent law of random phenomena in our daily life， and its target is providing a tool for statistical analysis and understanding of the nature of random phenomena. As a basic course of the undergraduate students， the curriculum is not only a theoretical course but also a practical course. Therefore， in the process of this course， the corresponding teachers should give a deeply thinking on how to effectively organize the content of the curriculum， and how to help the students to learn about the knowledge and construct their own knowledge system. In this paper， from authors own experience on the teaching of this course， some teaching methods and strategies are discussed.

Keywords Teaching methods； case based guiding； theorem proving； logical thinking

0 引言

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”[1]不僅是一門數(shù)學(xué)類的基礎(chǔ)理論課，還是一門與現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系的方法類課程。它已經(jīng)滲透到計(jì)算機(jī)科學(xué)、工商管理、金融分析、生物醫(yī)學(xué)、工業(yè)工程等高新技術(shù)領(lǐng)域，是經(jīng)濟(jì)、管理、理工科等學(xué)科各專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課程之一。然而，目前的教學(xué)中多數(shù)教師往往側(cè)重對(duì)抽象理論、抽象概念等的講解，忽視了本課程在現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)事物現(xiàn)象發(fā)生規(guī)律的解釋能力以及在管理與決策中的支撐作用。這使得一些學(xué)生對(duì)本課程的重要性認(rèn)識(shí)不足，對(duì)抽象理論概念的認(rèn)識(shí)不清晰，進(jìn)而產(chǎn)生厭學(xué)情緒，不利于本課程教學(xué)的順利開(kāi)展。因此，如何有效地把握課程內(nèi)容，合理地組織課堂教學(xué)活動(dòng)，充分體現(xiàn)本課程的實(shí)用價(jià)值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是本課程教學(xué)的核心問(wèn)題之一。

1 課程教學(xué)方法與策略

1.1 由具體現(xiàn)象引入課程內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生興趣

作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”包含有大量的抽象理論。而鑒于之前高等數(shù)學(xué)的抽象性，多數(shù)同學(xué)認(rèn)為本課程同樣會(huì)很單調(diào)、枯燥，距離現(xiàn)實(shí)生活很遠(yuǎn)，從而產(chǎn)生消極學(xué)習(xí)的懈怠情緒。因此，在教學(xué)的時(shí)候，教師應(yīng)注重營(yíng)造寬松的學(xué)習(xí)氛圍，適當(dāng)降低前期教學(xué)內(nèi)容的復(fù)雜程度，給學(xué)生一種輕松的感覺(jué)[2]。

同時(shí)，由于本課程內(nèi)容所涉及的每一個(gè)概念和問(wèn)題都可以與現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際現(xiàn)象相關(guān)聯(lián)，因此，可以從具體的實(shí)踐活動(dòng)（特別是學(xué)生參與過(guò)或可參與的活動(dòng)）出發(fā)，逐一對(duì)照分析相關(guān)概念與具體活動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)性，使學(xué)生對(duì)抽象概念產(chǎn)生形象化的感知，從而加深對(duì)相關(guān)概念定義的理解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)建立在這些概念定義之上的定理奠定良好的基礎(chǔ)。如在介紹樣本、樣本空間和頻率的概念時(shí)，可以類比擲硬幣的活動(dòng)。由于硬幣最終的面向是具有隨機(jī)性，因此硬幣拋擲一次即為一次“隨機(jī)試驗(yàn)”。而每一次拋擲（隨機(jī)試驗(yàn)）所得到的結(jié)果即為隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)“樣本”，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（如，正面和反面）就構(gòu)成了該試驗(yàn)的“樣本空間”；接著，通過(guò)將記錄中各個(gè)樣本（正面或反面）出現(xiàn)次數(shù)除以總的拋擲次數(shù)，即得到各個(gè)樣本出現(xiàn)的“頻率”；最后，通過(guò)利用“樣本空間”的子集來(lái)描述“隨機(jī)事件”（如，硬幣正面向上這個(gè)事件），實(shí)現(xiàn)對(duì)事件發(fā)生頻率的計(jì)算。

1.2 以遞進(jìn)方式分析事例，引導(dǎo)學(xué)生思考

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，為了更有效地利用現(xiàn)有的理論進(jìn)行推導(dǎo)，往往需要將具體的事件符號(hào)化（如，隨機(jī)變量的引入）。然后，利用一些抽象的定理來(lái)計(jì)算或挖掘具體現(xiàn)象活動(dòng)的特性。因此，定理的學(xué)習(xí)是本課程教學(xué)的主要內(nèi)容之一。然而，由于沒(méi)有形象化的感知體會(huì)，學(xué)生在學(xué)習(xí)定理時(shí)會(huì)感到很吃力，往往只是對(duì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的記憶，并沒(méi)有真正了解定理所揭示的現(xiàn)實(shí)物理意義。而在面對(duì)相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往不知所措，無(wú)法將記憶中的定理應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題的求解過(guò)程中。因此，教師在講解具體定理和定義的時(shí)候，不僅要從具體的事例出發(fā)，層層遞進(jìn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生的思維向?qū)⒁v解的定理或定義上靠攏[3]；還要適當(dāng)?shù)鼗氐骄唧w事例中，讓學(xué)生自動(dòng)建立事例現(xiàn)象與定理應(yīng)用之間的關(guān)聯(lián)性。如在講解貝葉斯公式時(shí)，可以以兩個(gè)都裝有蘋果和桔子的袋子為例：A袋子有mA個(gè)蘋果和nA個(gè)桔子，B袋子有mB個(gè)蘋果和nB個(gè)桔子，若選擇A袋，則取出一個(gè)水果為蘋果的概率是多少？若假設(shè)兩個(gè)袋子沒(méi)有任何區(qū)別，那么從中取得桔子的概率是多少？若取得的水果是桔子，則該水果是從B袋中取得的概率是多少？顯然，第一問(wèn)需要求解一般性的條件概率，第二個(gè)問(wèn)是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上利用全概率公式求解，第三問(wèn)則需要使用前兩問(wèn)的結(jié)果，通過(guò)貝葉斯公式公式進(jìn)行計(jì)算。雖然前兩問(wèn)并不是利用貝葉斯公式求解，但經(jīng)過(guò)這樣逐層地求解操作，學(xué)生可以了解貝葉斯公式的知識(shí)基礎(chǔ)是什么，公式使用中需要哪些要素。同時(shí)，在計(jì)算完成之后，再返回到例子，結(jié)合貝葉斯公式的使用過(guò)程分析一下使用該公式求解的具體問(wèn)題應(yīng)具有什么樣的特性，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)定理公式的理解。endprint

1.3 對(duì)照事例講解概念，加深學(xué)生理解

概念作為知識(shí)的基石，是知識(shí)構(gòu)成的重要組成要素。因此，教師在講解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)著重把基本的概念講解清楚、講透徹。對(duì)于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”來(lái)說(shuō)，它的基本概念往往比較抽象，具有很大的外延性。因此，如何讓學(xué)生理解相關(guān)概念的本質(zhì)是該課程教學(xué)的核心內(nèi)容之一。鑒于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象和人類活動(dòng)的緊密聯(lián)系，教師可以利用具體事例進(jìn)行解釋，通過(guò)同一事例的不同角度分析，強(qiáng)調(diào)相關(guān)概念的多樣化表現(xiàn)形式。如以“一次拋擲兩顆骰子，求得到的兩個(gè)骰子正面的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率”為例來(lái)講解樣本、樣本空間的概念。顯然，如果以兩顆骰子一次拋擲點(diǎn)數(shù)來(lái)定義樣本，則其樣本空間為 ={}，樣本容量為36，故點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為18/36=1/2。如果以每個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)的奇偶性來(lái)定義樣本，則相應(yīng)樣本空間為 ={（奇，偶），（奇，奇），（偶，偶），（偶，奇）}，故其點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為2/4=1/2。從上述例子，學(xué)生可以明白樣本定義的重要性。隨著樣本定義的不同，其所對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同，求解時(shí)所采用的方法也會(huì)不同。

1.4 利用對(duì)比關(guān)聯(lián)前后知識(shí)，建立知識(shí)體系

在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，多數(shù)學(xué)生只是簡(jiǎn)單地按照講課進(jìn)度來(lái)安排自己的學(xué)習(xí)內(nèi)容。對(duì)于已經(jīng)講過(guò)但沒(méi)有深刻理解的知識(shí)內(nèi)容，他們很少會(huì)主動(dòng)回顧復(fù)習(xí)。顯然，如何在以當(dāng)堂內(nèi)容講解為主的前提下，讓學(xué)生積極主動(dòng)地去復(fù)習(xí)之前所學(xué)的內(nèi)容，是本課程教師應(yīng)該注意的問(wèn)題之一。因此，教師在安排講課內(nèi)容時(shí)應(yīng)當(dāng)適當(dāng)安排有關(guān)前后知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容，即在講解某一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，不應(yīng)只著眼于當(dāng)堂知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容的講授，而應(yīng)適當(dāng)?shù)靥霰竟?jié)課所關(guān)注的內(nèi)容，從本課程整體知識(shí)系的角度分析當(dāng)堂內(nèi)容與之前所講授內(nèi)容之間的關(guān)系和異同點(diǎn)。[4]這樣，不僅可以提醒學(xué)生及時(shí)回顧之前所學(xué)知識(shí)，還可以幫助學(xué)生主動(dòng)去構(gòu)建關(guān)于已講授內(nèi)容的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本課程的理解。如，在講解“二元概率分布”時(shí)，通過(guò)回顧“一元概率分布”的特性及內(nèi)容，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)等內(nèi)容的理解，同時(shí)，通過(guò)回顧“隨機(jī)事件”和“條件概率”的內(nèi)容，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“條件概率”計(jì)算方法、“獨(dú)立性”條件等內(nèi)容的理解。這樣，通過(guò)教師上課過(guò)程的知識(shí)回顧與對(duì)比分析，不斷強(qiáng)化學(xué)生自己所搭建的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，不僅可以加深學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的理解和記憶程度，還能有效降低學(xué)生學(xué)期末的復(fù)習(xí)強(qiáng)度。

1.5 重視定理、定義的分析及證明演示

作為數(shù)學(xué)類的基礎(chǔ)課程之一，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”涉及了很多定理，而這些定理是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界客觀規(guī)律的一種抽象描述。它與本課程的基本概念之間存在著非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系，即，多數(shù)定理可利用一定的概念和相應(yīng)的邏輯推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行證明。通常，學(xué)生在學(xué)習(xí)定理的時(shí)候，往往只是簡(jiǎn)單地進(jìn)行記憶，對(duì)定理中所涉及的邏輯性理解不清楚。這就導(dǎo)致了學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，不知道該如何使用定理。因此，教師在講授定理類的知識(shí)時(shí)，應(yīng)盡可能詳細(xì)地給出相應(yīng)的推導(dǎo)過(guò)程，并進(jìn)行分析說(shuō)明。這樣，可以使學(xué)生更清晰地理解定理的由來(lái)及使用條件，加深對(duì)定理的理解，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。同時(shí)，在證明的過(guò)程中，或多或少會(huì)涉及到一些基本知識(shí)點(diǎn)，因此利用定理的推導(dǎo)過(guò)程可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握。

1.6 利用課堂翻轉(zhuǎn)進(jìn)行習(xí)題講解，強(qiáng)化學(xué)生理解

由于課堂教學(xué)時(shí)間的有限性，教師不可能列舉很多相關(guān)的事例進(jìn)行分析說(shuō)明。因此，課后的習(xí)題演練是非常重要的。然而，一些學(xué)生由于課業(yè)任務(wù)量大，對(duì)于課后習(xí)題不重視，往往不經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考，直接參考相關(guān)書(shū)籍進(jìn)行解答。這嚴(yán)重阻礙了學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解。因此，在本課程教學(xué)中適當(dāng)?shù)匕才乓恍┝?xí)題課是非常重要的。在習(xí)題課上，教師不僅要對(duì)習(xí)題中的難點(diǎn)進(jìn)行講解，也要適時(shí)讓學(xué)生展示自己對(duì)問(wèn)題求解的能力。如，在習(xí)題課上，教師先把學(xué)生所遇到的難題進(jìn)行講解。當(dāng)學(xué)生理解明白后，可以采用課堂翻轉(zhuǎn)方式，要求學(xué)生對(duì)同類型難度適宜的題目進(jìn)行上臺(tái)求解演示，進(jìn)而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解。同時(shí)，教師在講解問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意問(wèn)題求解的多樣性，恰當(dāng)?shù)乩貌煌嵌鹊姆治鱿驅(qū)W生展示數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和多彩性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2 結(jié)束語(yǔ)

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”作為大學(xué)本科的必修數(shù)學(xué)課程之一，不僅具有很強(qiáng)的理論性，也是一門與現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系的課程。因此，在本課程的教學(xué)過(guò)程時(shí)，教師應(yīng)注重基本概念的講解，以具體事例的分析為基礎(chǔ)，以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生的思維，通過(guò)不同概念之間的對(duì)比分析，幫助學(xué)生構(gòu)建本課程體系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。此外，教師也要注重教學(xué)內(nèi)容的習(xí)題講解環(huán)節(jié)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，把握好學(xué)生的探索心理，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，為本課程教學(xué)的順利進(jìn)行，課程教學(xué)質(zhì)量的提升提供助力。

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