劉志偉 范 軼

(電子科技大學英才實驗學院 四川 成都 611731)

王瑩媛

(電子科技大學電子工程學院 四川 成都 611731)

吳明和 鄔劭軼 滕保華

(電子科技大學物理電子學院 四川 成都 611731)

1 引言

光柵作為重要的分光元件和光譜儀器的核心元件，在計量學、天文學、集成光學、光通信、原子能等方面具有廣泛的應用.達曼光柵就是一種利用空間坐標調(diào)制的位相光柵，通過特殊的孔徑函數(shù)的衍射光柵產(chǎn)生一維或者二維的均勻光束，從而實現(xiàn)等強度的陣列光束[1].通?？梢杂脵C械刻劃的方法制作圓環(huán)型的達曼光柵，來實現(xiàn)對稱的等強度光強分布的圓環(huán)型衍射場[2]，從而在圖像編碼、全息照相以及X光層析成像等領域，起著不可或缺的重要作用.但是與直縫光柵相比，圓環(huán)型光柵的制作難度很大，因此圓環(huán)型達曼光柵遠沒有像直縫光柵那樣得到深入的研究[3～6].

本文首先介紹圓環(huán)型達曼光柵的基本性質(zhì)，然后設計一種三圓環(huán)型達曼光柵，并解析推導該圓環(huán)型達曼光柵的光強分布，從而根據(jù)相關參數(shù)分析產(chǎn)生缺級現(xiàn)象的條件.

2 圓環(huán)型達曼光柵的基本性質(zhì)

通常圓環(huán)型達曼光柵根據(jù)下列4個參數(shù)進行設計[5]：

(1)圓環(huán)型達曼光柵的階，即衍射面上等強度的衍射光環(huán)的環(huán)數(shù).

(2)圓環(huán)型達曼光柵的環(huán)數(shù)，即光柵相位和(或)幅度改變的環(huán)數(shù).

(3)圓環(huán)型達曼光柵的衍射效率，即

其中Ii是均勻環(huán)形衍射場第i環(huán)的光強峰值，Itotal為所有衍射光強的總和.

(4)圓環(huán)型達曼光柵的均勻度，即

其中Iav為平均光強，定義為

可以看出，對圓環(huán)型達曼光柵比較重要的兩個參數(shù)是圓環(huán)型達曼光柵的階與環(huán)數(shù)，因為它們是決定在衍射面上產(chǎn)生若干等強度衍射光環(huán)的關鍵參數(shù).實際上，圓環(huán)型達曼光柵可以產(chǎn)生若干等強度的衍射光環(huán)，就是設計光柵的階與環(huán)數(shù)導致光強重新分布的結果.與此同時，圓環(huán)型達曼光柵對光強重新分布的另一個結果就是可能產(chǎn)生明顯的缺級現(xiàn)象.缺級現(xiàn)象同樣是光學研究領域中的一個重要現(xiàn)象，比如圓環(huán)型達曼光柵在光學圖像編碼上的重要應用[3]，就是利用了其中的缺級現(xiàn)象.

3 三圓環(huán)型達曼光柵的設計及光強公式

為了方便起見，本文將圓環(huán)型達曼光柵的環(huán)數(shù)限定為三環(huán)，通過調(diào)整參數(shù)即可在不同的衍射環(huán)處產(chǎn)生缺級現(xiàn)象.設達曼光柵每個環(huán)的寬度d全部相同，但中間圓環(huán)的位置可變，即可從靠近最外面圓環(huán)向內(nèi)移動，不透光為2個環(huán)，透光為3個環(huán).按照歸一化計算，最大外圍半徑為1.由于每個環(huán)的寬度已經(jīng)確定，現(xiàn)只需確定外圍不透光的環(huán)的寬度即可以確定該三圓環(huán)光柵，設其為γ.三圓環(huán)達曼光柵的平面示意圖如圖1(a)所示，入射面光強度隨半徑變化的一維圖如圖1(b)所示，特定參數(shù)下的衍射圖案如圖1(c)所示，可以看出存在明顯的缺級現(xiàn)象.

圖1 三環(huán)達曼光柵

對于圓環(huán)光柵，其衍射場的振幅公式為[5]

(1)

這里J1(p)為一階貝塞爾函數(shù)，p為衍射場面上歸一化半徑，即

表示在透明介質(zhì)上形成的多個同心環(huán)帶的位相分布,而ρ為衍射面上實際半徑，f為透鏡的焦距，R則是圓環(huán)達曼光柵的外半徑，λ為波長.φ0是環(huán)帶的二值位相，取0，π.{rj}是圓環(huán)達曼光柵歸一化的半徑參數(shù)，并且r0=0，rN=1.通常通過改變{rj}，以產(chǎn)生需要的衍射場.

于是可以得到本文設計的三圓環(huán)型達曼光柵的遠場衍射場振幅公式

(2)

考慮到r1=d，r2=1-2d-γ，r3=1-d-γ，r4=1-d，最終獲得三圓環(huán)型達曼光柵的遠場衍射場的振幅和光強為

U(p,d,γ) =

(3)

I=U2(p,d,γ)

(4)

4 各參數(shù)對三圓環(huán)型達曼光柵衍射的影響及缺級

根據(jù)式(4)可以直接計算參數(shù)(γ，d)對衍射光強度的影響.在分析圓環(huán)型達曼光柵時，以前的工作中多是給出了數(shù)值解[2]，但是本文給出的式(4)是一個解析表達式，將使對衍射光強的分析更加方便和具體.

圖2給出了歸一化條件下不同γ與d值的光強分布.

圖2 半徑方向上的衍射光強度隨γ與d的變化情況

通過分析圖像可看出，隨著γ的增大，光能量逐漸向外分布，即通過控制γ的大小，可使光強分布達到所需要的衍射場分布；隨著縫寬d的增大，能量集中到零級，衍射效果逐漸減弱；若縫寬d增大但同時γ減小，則逐漸近似為一個圓孔衍射，即此時主要能量將集中在零級，這與圓孔衍射的結論是相同的.

由于衍射光強分布隨著d與γ的變化而改變，所以對適當?shù)膮?shù)(γ，d)，可以出現(xiàn)在光強分布中的缺級現(xiàn)象.比如圖3(a)是控制d不變，通過改變γ得到的光強分布圖.可以看出當γ為0.18時，第3級是一條亮環(huán)，而當γ變?yōu)?.12時，則在第3級為明顯的缺級.而圖3(b)為控制γ不變，通過改變縫寬d得到的光強分布圖.可以看出，當d從0.03變化至0.2時，第3級衍射圖案從亮環(huán)變化至缺級再變化為亮環(huán)，即在d= 0.14時第3級出現(xiàn)明顯的缺級.

圖3 參數(shù)γ與d變化時，顯示缺級現(xiàn)象的衍射光強度圖

5 結論

本文設計了一種三圓環(huán)型達曼光柵，得出了該三圓環(huán)型達曼光柵的衍射場公式，從而探究了三圓環(huán)型達曼光柵的衍射場強隨參數(shù)變化而重新分布的情況，并分析了其中的缺級現(xiàn)象.本文的解析公式和數(shù)值計算表明，圓環(huán)達曼光柵不僅可以使衍射光強重新分布，而且能在某些位置產(chǎn)生明顯的缺級衍射現(xiàn)象，從而使學生對波動光學中光柵及光柵衍射有了更深入的認識.

1 J. Turunen and F. Wyrowski, eds.. Diffractive Optics for Industrial and Commercial Applications. Berlin: Akademia-Verlag, 1997:165～185

2 Zhou Changhe,JiaJia,Liu Liren. Circular Dammann grating. Optics Letters,2003:2174～2176

3 KBDoh，K Dobson，TC Poon，PS Chung. Optical image coding with a circular Dammann grating.Applied Optics, 2009, 48(1):134

4 趙帥,鐘寶漩.圓環(huán)達曼光柵.激光與光電子學進展. 2007, 44(2):24～24

5 賈佳,周常河,劉立人.圓環(huán)形達曼光柵. 激光與光電子學進展, 2003, 40(12):41～45

6 楊沁玉，丁可，陸愛江，等. 大學物理中關于光的干涉、衍射及光柵教學問題的討論. 物理通報,2010(8):10～12