湯瑞瑞， 張菊平

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引 言

性傳染病(Sexually-Transmitted-Disease, STD)是指經(jīng)性接觸傳播疾病的統(tǒng)稱， 由于傳播速度快， 影響范圍廣， 已成為常見的公共衛(wèi)生問題之一[1,2]. 目前， STD在普通人群中的患病率為0.067%， 而STD高危人群的患病率為5%～62.8%[2]， 因此， 研究STD高危人群對疾病的傳播與控制具有重要意義[2-5].

近年來， 疫苗作為有效控制策略之一， 被廣泛用于減少STD的傳播[6]. 已有的理論模型常考慮疫苗接種的“成本”， 既考慮疫苗接種成本也考慮副作用[6-10]， 而個體根據(jù)疫苗的“成本-效益”來決定否接種[9,10]. 文獻(xiàn)[6]中建立了帶有自愿接種免疫博弈的STD傳播模型；文獻(xiàn)[8]中用馬爾科夫隨機(jī)過程和博弈論評估個體利益和群體之間的博弈， 并將其應(yīng)用到一類簡單疫苗接種博弈中；文獻(xiàn)[10] 建立了一類非線性傳染病模型， 并利用光滑反映函數(shù)描述模型中易感人群如何在面臨被感染危險、 接種收益和接種風(fēng)險在內(nèi)的接種總體成本之間博弈.

本文結(jié)合實際情況， 將STD中的易感人群分為高危人群與低危人群， 建立了針對高危人群帶有自愿接種博弈的SIV性傳染病傳播動力學(xué)模型， 并給出了基本再生數(shù)， 分析了平衡點的存在性與穩(wěn)定性.

1 帶有自愿免疫博弈的SIV模型

1.1 SIV模型的建立

將總?cè)丝贜(t)分為四類: 高危易感者、 低危易感者、 染病者和免疫者， 分別用Sh(t)，Sl(t)，I(t) 和V(t)表示t時刻這四類人群的人口數(shù)， 則N(t)=Sh(t)+Sl(t)+I(t)+V(t). 假設(shè)新進(jìn)入者都是低危易感者， 用Λ表示. 疾病的傳播過程如圖 1 所示.

圖 1 疾病傳播流程圖Fig.1 Flow chart of disease transmission

圖 1 中a表示自然死亡率系數(shù)；f表示免疫接種率系數(shù)；u表示免疫失效率系數(shù)；m1表示高危易感者向低危易感者的轉(zhuǎn)換率系數(shù)；m2表示低危易感者向高危易感者的轉(zhuǎn)換率系數(shù)；βh表示高危易感者每次接觸傳染的概率；βl表示低危易感者每次接觸傳染的概率；b表示因病死亡率系數(shù). 以上參數(shù)都是非負(fù)的. 根據(jù)流程圖 1， 可以建立動力學(xué)方程

(1)

系統(tǒng)的可行域為

1.2 自愿免疫的博弈

個體接種疫苗不僅可產(chǎn)生抗體， 抵抗疾病， 即為接種的效益， 同時需要承擔(dān)接種疫苗實際支付的貨幣及疫苗的副作用， 即接種的“成本”， 故個體接種的決策依賴于接種的“成本”與效益. 如果個體能夠自己決定是否接種， 則可以用博弈論來描述個體接種決策的理性行為. 當(dāng)疫苗的“成本”高于其效益時， 個體作出避免接種的理性決策；反之， 個體做出接種的決策. 用Δω表示效益與“成本”的差值， 即總效益.

首先考慮接種的效益， 當(dāng)疾病傳染率較大時， 易感個體接種疫苗會有較大的獲利， 即個體接種的效益與被傳染的概率βhI成正相關(guān). 同時， 接種的效益也依賴于染病者的痛苦程度及STD因病死亡率. 染病者的痛苦程度越大， 個體接種的效益越大；因病死亡率越大， 疫苗接種預(yù)期效益就越大. 用p表示個體預(yù)期的與疾病相關(guān)的痛苦，ε表示染病者對因病死亡的恐懼(意識). 因此， 易感者預(yù)期接種的效益可表示為βhI(bε+p). 其次， 個體接種疫苗需要承擔(dān)疫苗的“成本”， 用c表示， 則個體預(yù)期接種疫苗的總效益為

Δω=βhI(bε+p)-c.(2)

基于實際情形考慮， 當(dāng)Δω<0時， 個體做出避免接種的決策， 此時個體選擇接種的概率較小， 且Δω→-∞時接種率幾乎為0；當(dāng)Δω=0時， 個體有一半的概率做出接種的決策；當(dāng)Δω>0時， 個體做出接種的決策， 且Δω→+∞時接種率幾乎為1. 個體接種疫苗的概率隨著Δω的增加而增加， 故采用Logistic方程來描述個體自愿接種免疫的理性決策， 即

(3)

2 SIV模型的分析

2.1 無病平衡點和基本再生數(shù)的關(guān)系

V0=A1φm2,

這里

根據(jù)基本再生數(shù)的定義， 得

βl[aφ+(1+erc)(m1+a)(μ+a)]].

定理1 當(dāng)R0<1時， 無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時，E0不穩(wěn)定.

證明系統(tǒng)(1)在無病平衡點E0處的雅克比矩陣為

(5)

雅克比矩陣JE0所對應(yīng)的特征方程為

λ(μ+2a+m1+m2+f0)+(μ+a)(m1+

m2+a)+(m2+a)f0]=0.(6)

λ2+λ(μ+2a+m1+m2+f0)+

(μ+a)(m1+m2+a)+(m2+a)f0=0.(7)

由方程(7)的判別式及根和系數(shù)的關(guān)系得方程有兩個負(fù)的實根. 因此， 若使所有特征根均為負(fù)， 當(dāng)且僅當(dāng)特征根λ2<0即可， 而λ2<0?R0<1，λ2>0?R0>1.

綜上， 當(dāng)R0<1時， 無病平衡點E0局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時，E0不穩(wěn)定.

2.2 正平衡點的存在性及穩(wěn)定性

下面求解系統(tǒng)(1)的正平衡點.

而x滿足方程

a1x2ex+a2xex+a3ex+a4x2+a5x+a6=0,(8)

這里

a2=βlΛβh(μ+a)-aβlφ(b+a)-

(μ+a)(b+a)(aβl+aβh+βhm2+βlm1),

a3=r(bε+p)[aφβh(βlΛ-(b+a)(a+m2))+

Λβh(μ+a)(m2βh+m1βl+aβl)-

aβh(μ+a)(b+a)(a+m1+m2)],

a4=a1erc,

a5=a2erc+aφβl(b+a)erc,

a6=a3erc+aφβhr(bε+p)erc[(b+

a)(a+m2)-Λβl].(9)

由式(8)和式(9)整理可得，x滿足

a1x2+a2x+a3=

即x是方程(11)與方程(12)的交點

y1(x)=a1x2+a2x+a3,(11)

y2(x)=

當(dāng)R0=1時， 有y1(0)=y2(0)， 此時該平衡點為無病平衡點.

下面判斷在系統(tǒng)(1)的可行域內(nèi)函數(shù)y1(x)與y2(x)是否存在交點. 首先給出它們各自的導(dǎo)函數(shù)， 為

(13)

其中,A=-aφercβl(b+a),B=-aφercrβh(bε+p)[(b+a)(a+m2)-Λβl].

綜上， 當(dāng)R0>1時， 系統(tǒng)(1)存在正平衡點E1.

3 數(shù)值模擬

首先確定模型的參數(shù)， 如表 1 所示. 對于Λ， 2016年以前中國每年新增人口數(shù)相對穩(wěn)定， 自2016年1月 1日開放二胎政策以來中國每年新增人口數(shù)變動比較大， 故以2016年以前的中國每年新增人口數(shù)為低危易感者數(shù)量.

表 1 模型中參數(shù)的取值范圍

考慮系統(tǒng)(1)中博弈參數(shù)對各個變量的影響. 圖 2 表示是系統(tǒng)(1)中Sh，I，V隨c的變化情況. 隨著c的增加， 個體接種成本增加， 基于博弈理論的“成本-效益”分析， 個體選擇接種的概率降低. 因此， 染病者的數(shù)量應(yīng)該增加. 但是， 圖 2 顯示當(dāng)c較小時， 隨著c的增加高危人群和染病者的數(shù)量逐漸減小， 接種者的數(shù)量反而增加. 因為由接種率系數(shù)f可知， 當(dāng)c→0時，f主要隨I的變化而變化， 而在c→0時染病者的數(shù)量相對較大. 也就是說， 當(dāng)疾病流行規(guī)模較大時， 個體對于接種缺乏理性的判斷， 這與我們的實際情況相吻合. 當(dāng)染病者的數(shù)量降到最低點之后， 隨著c的增加， 染病者的數(shù)量也逐漸增加， 此時個體對于疫苗接種遵循“成本-效益”博弈. 綜上， 個體對于疫苗接種的理性決策與疾病傳播規(guī)模以及疫苗接種“成本”有關(guān)， 這兩類信息在疾病流行規(guī)模較大時產(chǎn)生相反的效果. 同時由圖 2(a) 和(b) 可知STD中的高危人群對疾病的傳播與控制起決定性作用.

圖 2 c對Sh ，I，V的影響關(guān)系圖Fig.2 Curves of effects of c on Sh，I，V

為了了解最大免疫率系數(shù)φ及個體對成本差異的敏感性r對疾病傳播的影響， 分別做了2幅模擬圖， 如圖 3 所示.

圖3(a)顯示，I隨著最大免疫率系數(shù)的增加基本保持不變， 表明了僅增強(qiáng)高危人群的接種預(yù)防意識不足以降低疾病的傳播；Sh隨著最大免疫率系數(shù)的增加呈下降趨勢，V隨著最大免疫率系數(shù)的增加呈上升趨勢， 表明增強(qiáng)高危人群的接種預(yù)防意識可降低疾病潛在的爆發(fā)風(fēng)險. 圖3(b)顯示了個體對成本差異的敏感性r對疾病傳播的影響. 可知當(dāng)個體對成本差異不敏感時， 接種者對于疫苗的“成本-效益”的估計不準(zhǔn)確； 反之， 個體對成本差異越敏感， 接種者對于疫苗的“成本-效益”的估計就越準(zhǔn)確. 由圖3(b) 可知,Sh隨著個體對成本差異敏感性的增加呈上升趨勢，V隨著個體對成本差異敏感性的增加呈下降趨勢， 表明當(dāng)高危人群對于疫苗“成本-效益”的估計變得準(zhǔn)確時， 隱藏著較大的疾病爆發(fā)風(fēng)險. 也就是說,當(dāng)個體了解大量的疫情信息時反而不利于疾病的控制.

圖 3 φ,r分別對Sh，I，V的影響關(guān)系圖Fig.3 Curves of influence of φ,r on Sh,I,V respectively

4 結(jié) 論

本文主要討論了性傳染病高危人群自愿接種博弈的ShSlIV傳染病模型. 首先， 采用Logistic方程給出了帶有博弈的接種率系數(shù)；其次， 理論分析了無病平衡點和正平衡點的存在性， 并證明了R0<1時無病平衡點E0呈局部漸近穩(wěn)定性.

實驗結(jié)果顯示， 個體對于STD接種的理性決策基于STD蔓延速度及疫苗的“成本”， 這兩類信息在STD蔓延較快時產(chǎn)生相反的效果， 不同于文獻(xiàn)中所得出的結(jié)論. 因此政府機(jī)構(gòu)可以根據(jù)STD的流行規(guī)模(或高危人群的流行規(guī)模)及疫苗的“成本”來采取有效控制STD流行的策略. 當(dāng)高危人群對于疫苗的成本和效益的估計變得更準(zhǔn)確(或更敏感)或?qū)膊☆A(yù)防意識較弱時， 此時隱藏著較大的疾病爆發(fā)風(fēng)險， 這在文獻(xiàn)中沒有說明. 最重要的是， 對于疫情傳播信息的擴(kuò)散， 政府應(yīng)該有一個合理的調(diào)控， 因為對于一般的個體， 了解過多的STD疫情信息反而不利于STD的控制.

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