摘 要：在新課改的要求下，該設(shè)計本著以學(xué)生為主，主要采用學(xué)生動手探究的方法，在活動中探索新知，結(jié)合多媒體展示，使用幾何畫板畫制橢圓的圖像，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出橢圓公式。

關(guān)鍵詞：探究；發(fā)現(xiàn)；推導(dǎo)

一、 設(shè)計背景

隨著教材、教學(xué)、高考的改革不斷深入，高中數(shù)學(xué)教育對教師的要求已進入了一個新的時期。傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生被動接受教師灌輸?shù)闹R，限制了學(xué)生的思維，也限制了老師的主導(dǎo)作用。那么如何關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，構(gòu)建有效課堂，是我們一線老師需要思考的。站在學(xué)科的高度，從整體和聯(lián)系的觀點，本著高效、創(chuàng)新的理念，我設(shè)計了這節(jié)課。

二、 學(xué)情分析

本節(jié)是北師大版選修2-1第三章圓錐曲線第一節(jié)橢圓的第一課時，是本章的重點內(nèi)容。在高考中也是重點考查內(nèi)容之一。學(xué)生前面已經(jīng)掌握了“圓及其標準方程”的知識，本節(jié)是作為承上啟下的重要內(nèi)容，既類比圓的探索過程，又為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)。

三、 教學(xué)用具

1. 多媒體課件。

在課件中使用幾何畫板向?qū)W生進行動畫展示：（1）籃球在陽光下的投影；（2）畫橢圓的過程。

2. 學(xué)生手動畫圖工具：木板、線、圖釘、白紙。

四、 教學(xué)過程

（一） 課件展示、引入新課

課件展示太陽系運行圖，先讓學(xué)生感受星空的壯麗，觀察行星運行的軌道圖形，認識橢圓，感受橢圓的對稱美。然后讓學(xué)生舉生活中的橢圓，我再用課件展示我所發(fā)現(xiàn)的生活中的橢圓的例子。教師與學(xué)生互動，生活中的實例及多彩的多媒體圖片可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動學(xué)生主動參與的積極性。引出課題，帶領(lǐng)學(xué)生去探索這個美麗的圖形。在這里，從生活中的實例入手，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于生活，又高于生活”的本色。

（二） 動手畫圖、得出結(jié)論

1. 課件展示籃球在陽光下的投影模型動畫，讓學(xué)生感受幾何畫板的魅力，在這個模型中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的定義，并實際動手操作，自己畫橢圓。

2. 學(xué)生實驗：三人一組，每組一塊木板，一根無彈性的繩子，兩顆圖釘。結(jié)合圓的作圖方法和剛才發(fā)現(xiàn)的橢圓的定義，動手畫圖。畫圖的過程中，老師引導(dǎo)學(xué)生固定兩點，用筆尖勾直線，移動筆尖，觀察得到的軌跡是什么圖形。

3. 學(xué)生畫好之后老師也參與其中，使用幾何畫板畫出橢圓，激發(fā)學(xué)生的興趣。然后老師提問：剛才在畫圖的過程中，線的長度一定說明什么？學(xué)生回答：筆尖到兩定點的距離之和為定值。老師使用計算機，利用幾何畫板展示測量，從數(shù)據(jù)上來看看是否和為定值。發(fā)現(xiàn)結(jié)果一致從而引導(dǎo)學(xué)生得到橢圓的定義。在這個過程中，讓學(xué)生從實踐中體會橢圓上的點所滿足的條件，逐漸把圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言。當學(xué)生定義不準確時，不否定學(xué)生，以提問的方式提醒學(xué)生注意定義中的關(guān)鍵詞，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索。例如：距離之和的常數(shù)不大于兩定點之間的距離，會怎樣？讓學(xué)生利用手中的工具，動手操作，通過不斷的移動兩點的距離，畫出扁圓程度不同的橢圓，從而得到結(jié)論：當2a=2c時畫出的是線段；當2a<2c，畫不出圖形；通過這樣的實踐，讓學(xué)生理解條件2a>2c。

（三） 合理建系、推導(dǎo)方程

橢圓標準方程的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點。回憶圓的標準方程的推導(dǎo)過程，總結(jié)步驟：建系→設(shè)點→列式→化簡。類比圓的方程的推導(dǎo)過程，先引導(dǎo)學(xué)生如何建系。在這里，我盡可能的給學(xué)生建系的機會，利用課件展示學(xué)生可能出現(xiàn)的建系情況，發(fā)揮學(xué)生的直覺思維，在比較的過程中發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的建系方法，體會對稱和簡潔美。

建好坐標系（焦點在x軸），學(xué)生可以自主完成設(shè)點、列式，在化簡的過程中，學(xué)生會出現(xiàn)困難的地方是在寫出方程（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a后，需要進行化簡時。有的同學(xué)會出現(xiàn)直接平方的現(xiàn)象，教師應(yīng)鼓勵他繼續(xù)，發(fā)現(xiàn)矛盾：直接平方，左邊會出現(xiàn)更大的根號運算；尋求解決問題的方法：先移項，得到

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2再進行平方，化簡后得到

a2-cx=a（x-c）2+y2，再次平方，根號就沒有了。讓學(xué)生到臺上使用投影儀展示他推導(dǎo)的過程。

除了學(xué)生推導(dǎo)的方法外，我又引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其他的推導(dǎo)方法，解法2：啟發(fā)學(xué)生觀察（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a（1）左邊的式子的特點，將分子有理化，即可得到

（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2cxa（2），然后進一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，將（1）式減（2）式，得到（x-c）2+y2=a-cxa（3），這樣，我們就將兩個根號轉(zhuǎn)化成一個根號了，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想，然后兩邊平方。在這里，進一步拓展學(xué)生的知識面：在數(shù)學(xué)中，（2）式是（1）式的對偶式，在這里用了數(shù)學(xué)里的對偶思想，而（3）式進一步可以得到橢圓的第二定義。在這里主要想培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，發(fā)現(xiàn)式子中的矛盾，并想辦法解決。解法3：由已知等式（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（x-c）2+y2，a，（x+c）2+y2構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為d，則

（x-c）2+y2=a-d（3）（x+c）2+y2=a+d（4），將（3）（4）分別平方相減得

d=cax，即（x+c）2+y2=a+cax，然后兩邊平方整理即可。得到焦點在x軸的標準方程后，同理再得到焦點在y軸的標準方程。

在本節(jié)課的最后由學(xué)生進行反思和評價。由學(xué)生談學(xué)習(xí)本節(jié)課的最大收獲，可以是知識上的，也可以是方法能力上的。

五、 教學(xué)反思

1. 本節(jié)借助幾何畫板的演示功能，使學(xué)生通過點的運動，觀察到橢圓的軌跡的特征。多媒體創(chuàng)設(shè)問題的情境，讓探究式教學(xué)走進課堂，喚醒學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主體能力，讓學(xué)生在參與中學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會合作、學(xué)會創(chuàng)新。

2. 學(xué)生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認識，缺少理性的思考、探索和創(chuàng)新，這與缺乏必要的數(shù)學(xué)思想和方法密切相關(guān)。本節(jié)課從實例出發(fā)，用多媒體結(jié)合本課題設(shè)計了一對動點有規(guī)律的運動作一些理性的探索和研究。

3. 在教材處理上，大膽創(chuàng)新，根據(jù)橢圓定義的特點，結(jié)合學(xué)生的認識能力和思維習(xí)慣在概念的理解上，先突出“和”，在此基礎(chǔ)上再完善“常數(shù)”取值范圍。在標準方程的推導(dǎo)上，并不是直接給出教材中的“建系”方式，而是讓學(xué)生自主地“建系”，通過所得方程的比較，得到標準方程，從中去體會探索的樂趣和數(shù)學(xué)中的對稱美和簡潔美。在對教材中“令a2-c2=b2”的處理并不是生硬地過渡，而是通過課件讓學(xué)生觀察在當M為橢圓短軸端點時（但這一幾何性質(zhì)并不向?qū)W生交待），特征三角形所體現(xiàn)出來的幾何關(guān)系，再做變換。

參考文獻：

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作者簡介：

張海靜，安徽省阜陽市，阜陽市第五中學(xué)。endprint