蔡南蓮,陳 豪

(集美大學理學院,福建廈門361021)

1 預備知識

先介紹幾個概念：

(ii)稱隨機變量X是IFR(increasing failure rate),如果X的故障率λ(t)關于t單調(diào)不降．

故障率的概率解釋:當Δt很小時,λ(t)表示部件在t之前正常工作條件下,在[t,t+Δt]中失效的概率．

接下來介紹下面的二維聯(lián)合分布函數(shù)．

設F1(x),F2(x),x>0為非負隨機變量的分布函數(shù),可以構造如下二維聯(lián)合分布函數(shù)

F(x1,x2)=F1(x1)F2(x2)[1+α(1-F1(x1))

(1-F2(x2))],x1,x2>0,-1≤α≤1.

(1)

對應的聯(lián)合生存函數(shù)為

F2(x2)],x1,x2>0,-1≤α≤1.

F(x1,x2)=(1-e-x1)(1-e-x2)

[1+αe-x1-x2],x1,x2>0.

(2)

(1-e-x2)],x1,x2>0.

定義2 (i) 如果(X1,X2)的聯(lián)合分布函數(shù)為式(2),稱(X1,X2)服從二維標準Ⅱ型Gumbel指數(shù)分布;

(ii) 如果(X1,X2)的聯(lián)合分布函數(shù)為式(1),稱(X1,X2)服從廣義的二維Gumbel分布,該分布也稱為FGM copula(Farlie-Gumbel-Morgenstern copula)分布[3]函數(shù)．

二維標準Ⅱ型Gumbel指數(shù)分布由Gumbel提出[4],顯然它是廣義的二維Gumbel分布(即FGM copula分布)的特殊情形．

容易得出,設隨機向量(X1,X2)服從廣義的二維Gumbel分布(2),則當α=0時，(X1,X2)是相互獨立的;當α≠0時，(X1,X2)是不相互獨立的．

近年來,FGM copula分布在風險模型、應用統(tǒng)計中的應用研究引起了國內(nèi)外很多學者的關注．如Tahmasebi等[5]研究了樣本具有FGM copula分布時相伴次序統(tǒng)計量相關的性質;Yan等[6]研究了FGM copula分布的某些老化性質;Jiang等[7]探討了風險模型中,理賠量和理賠時間服從FGM copula分布時破產(chǎn)前最大盈余的分布．

故障率和次序統(tǒng)計量是可靠性理論中的重要概念．最大、最小次序統(tǒng)計量分別對應著并聯(lián)、串聯(lián)系統(tǒng)壽命．近年來,有關故障率和次序統(tǒng)計量的研究引起了國內(nèi)外學者的廣泛關注，很多學者在獨立假設下研究次序統(tǒng)計量.如Boland等[8]探討了相互獨立的不同分布的樣本次序統(tǒng)計量在故障率次序下的隨機比較性質,并得到了兩個獨立具有指數(shù)分布的部件并聯(lián)系統(tǒng)的故障率的上界;Khaledi等[9]研究了多個相互獨立的具有不同的指數(shù)分布的部件的并聯(lián)系統(tǒng)故障率的性質,并得到了多個不同的指數(shù)分布部件并聯(lián)系統(tǒng)故障率的上界,該上界優(yōu)于Boland等[8]得到的;更多的文獻可參見Balakrishnan等[10]的文章,該文綜述了近年來在樣本獨立情形下有關次序統(tǒng)計量的隨機比較性質的研究．

Joo等[11]在相依假設下,研究了兩個部件的并聯(lián)、串聯(lián)系統(tǒng)的故障率性質．他們假設部件壽命的聯(lián)合分布服從二維標準Ⅱ型Gumbel指數(shù)分布(2)時,得出了并聯(lián)系統(tǒng)和串聯(lián)系統(tǒng)壽命的故障率的一些性質．

本文中進一步討論了兩個同邊際分布的部件,其聯(lián)合分布函數(shù)為廣義的二維Gumbel分布(1)時,并聯(lián)系統(tǒng)和串聯(lián)系統(tǒng)壽命的故障率性質,推廣了文獻[11]中的某些結論,得到某些更一般的結果．

本文中均假設隨機變量非負,分布函數(shù)是絕對連續(xù)的,具有概率密度函數(shù);文中提到“單調(diào)增加”均指“單調(diào)不降”,“單調(diào)下降”均指“單調(diào)不增”．

2 串聯(lián)系統(tǒng)的故障率性質

假設(X1,X2)的聯(lián)合分布函數(shù)為式(1),X1,X2有相同的分布函數(shù)為F1(x)及故障率函數(shù)λ1(t).以X1,X2為部件的串聯(lián)系統(tǒng)壽命記為X(1)=min(X1,X2)，則可求得X(1)的生存函數(shù)為

求導得密度函數(shù)為

[1+αF1(t)(-1+2F1(t))],t>0.

所以X(1)的故障率函數(shù)為

(3)

上式恒等變形得

(4)

先介紹下面的引理．

(i) -1≤α<0 時,當0u0時,H(u)單調(diào)增加.

(ii) 0<α≤1 時,當0u0時,H(u)單調(diào)下降．

(u-u1)(u-u0).

(i) -1≤α<0時,u1>1,u-u1<0.當0u0時,H′(u)>0,H(u)單調(diào)增加.(ii) 0<α<1時,u1<0,u-u1>0.當00,故H(u)單調(diào)增加;當u>u0時,H′(u)<0,H(u)單調(diào)下降．

下面討論串聯(lián)系統(tǒng)壽命X(1)的故障率的性質,其中的定理都采用上面的記號．

定理1 串聯(lián)系統(tǒng)壽命X(1)的故障率λ(t,α)滿足:

(i) 0<α≤1時,λ(t,α)≤2λ1(t);

(ii) -1≤α<0時,2λ1(t)≤λ(t,α)≤4λ1(t);

(iii)α=0時,λ(t,α)=2λ1(t).

證明 (i) 0<α≤1時,

代入式(4),(i)得證．

(ii) -1≤α<0時,

代入式(4),(ii)得證．

(iii)α=0代入式(4)即得．

定理2 串聯(lián)系統(tǒng)壽命X(1)的故障率λ(t,α)有如下性質:

(i)λ(t,α)關于α單調(diào)下降,α∈[-1,1];

(ii)α=-1時,設X1是IFR,則X(1)也是IFR.

證明 (i) 由式(4)得

(i)得證．

(ii)α=-1時,由式(4)得:

題設X1是IFR,即λ1(t)關于t單調(diào)增加,從而λ(t,α)關于t單調(diào)增加,(ii)得證．

注1 當部件壽命X1表示均值為1的指數(shù)分布時,定理2的結論就是文獻[11]中定理3.4和定理3.3(i).

(i) -1≤α<0,設λ1(t)滿足0t0,λ1(t)為常數(shù)．則X(1)的故障率λ(t,α)有如下性質:0t0,λ(t,α)關于t單調(diào)下降(λ(t,α)的曲線為倒浴盆曲線)．

(ii) 0<α≤1,設λ1(t)滿足0t0,λ1(t)關于t單調(diào)增加．則X(1)的故障率λ(t,α)也有如下性質:0t0,λ(t,α)關于t單調(diào)增加(即λ(t,α)的曲線為浴盆曲線)．

(iii)α=-1,設X1是IFR,則X(1)也是IFR.

λ(t,α)=2λ1(t)[2-H(F1(t))].

(5)

(i) -1≤α<0,u0=F1(t0).

當0

當t>t0時,u=F1(t)>u0,由引理1(i),H(u)關于u單調(diào)增加,因u=F1(t)關于t單調(diào)增加,故H(F1(t))關于t單調(diào)增加,題設λ1(t)為常數(shù),由式(5)得:λ(t,α)關于t單調(diào)下降．

(ii) 證明方法同(i),略去．

下面的兩個例子說明,存在滿足定理3的條件的分布．

例1 設隨機變量X的生存函數(shù)為

X的故障率

λ(t)關于t∈[0,0.5]單調(diào)增加,當t>0.5為常數(shù).

例2 設隨機變量X的生存函數(shù)為

X的故障率

當t∈[0,1]時,λ(t)為常數(shù),t>1時單調(diào)增加．

由定理3容易得如下的推論．

(i) -1≤α<0,0t0,λ(t,α)關于t單調(diào)下降,此時(λ(t,α)的曲線為倒浴盆曲線．

(ii) 0<α≤1,0t0,λ(t,α)關于t單調(diào)增加,此時λ(t,α)的曲線為浴盆曲線．

(iii) α=-1,X(1)是IFR.

注2 推論1即為文獻[11]中定理3.3(ii).

3 并聯(lián)系統(tǒng)的故障率性質

假設(X1,X2)的聯(lián)合分布函數(shù)為式(1),X1,X2有相同的分布函數(shù)F1(x),密度函數(shù)f(t),故障率函數(shù)λ1(t).以X1,X2為部件的并聯(lián)系統(tǒng)壽命為X(2)=max(X1,X2).求得X(2)的生存函數(shù)為

即

求導得密度函數(shù)

從而X(2)的故障率函數(shù)為

化簡得:

h(t,α)=2λ1(t)

(6)

令

0≤u≤1.

則

(7)

下面討論并聯(lián)系統(tǒng)壽命X(2)的故障率h(t,α)的性質,以下定理都采用上面的記號．

定理4 并聯(lián)系統(tǒng)壽命X(2)的故障率h(t,α)≤4λ1(t).

證明 由式(7),只要證明:0≤u<1時,K(u,α)>0即可．

-1≤α≤1時,K(u,α)的分子為:

3-(1+α)u+αu2=2+(1-u)(1-αu)≥2.

(i) 當0≤α≤1時,K(u,α)的分母為:

2-(1+α)u+2αu2-αu3≥2-(1+α)u+

αu2=1+(u-1)(αu-1)≥1;

(ii) 當-1≤α<0時,K(u,α)的分母為:

2-(1+α)u+2αu2-αu3=(u-1)(αu-1)+

(1+αu2)+(-αu3)>0.

證明 計算得

-u(u-1)(u2-3u+1)=

推論2 (X1,X2)的聯(lián)合生存函數(shù)為式(2),-1≤α1<α2≤1.則并聯(lián)系統(tǒng)壽命X(2)的故障率h(t,α)有如下性質:當0t0,h(t,α1)≥h(t,α2)，其中t0為方程e3t-4e2t+4et-1=0的唯一正根．

注3 推論2就是文獻[11]中定理3.6.

引理2 令0≤u<1,

A(u,α)=(2-(1+α)u+2αu2-αu3)2

則

(i)A(u,α)=(1+α)+8αu(u-1)+u2(1-u)[2α+α2(1-u)];

(ii)A(u,α)=(1+α)+6αu(u-1)-2αu(1-u)2+α2u2(1-u)2.

證明 計算得A(u,α)=1+α-8αu+(10α+α2)u2-(2α+2α2)u3+α2u4,則(i)、(ii)易得．

定理6 對任意-1≤α≤1,設X1是IFR,則并聯(lián)系統(tǒng)壽命X(2)也是IFR.

(1+α)+8αu(u-1)+u2(1-u)[2α+

α2(1-u)]≥(1+α)-2α+0=1-α≥0.

(ii) -1≤α<0,由引理2(ii)得

A(u,α)=(1+α)+6αu(u-1)-

2αu(1-u)2+α2u2(1-u)2≥0.

由于指數(shù)分布的故障率為常數(shù),由定理6可以得出如下的推論．

推論3 設(X1,X2)的聯(lián)合分布函數(shù)為(2),則對任意-1≤α≤1,并聯(lián)系統(tǒng)壽命X(2)是IFR.

注4 推論3即為文獻[11]中定理3.5.

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