陳勇嘉 楊宣訪 王永建

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

動力定位（DP）［1］是指船舶不借助錨泊，僅通過自身安裝的推進(jìn)器來抵抗風(fēng)、浪、流等環(huán)境干擾的影響，實現(xiàn)其在海面上固定位置或預(yù)期航跡的保持。環(huán)境干擾對船舶的影響可以分為由風(fēng)、流和二階波浪導(dǎo)致的低頻運動，和由一階波浪導(dǎo)致的高頻運動。其中高頻運動只引起船舶的周期性振蕩而不會造成船體大范圍偏離平衡位置，為避免能量浪費和推進(jìn)器磨損，而盡量不響應(yīng)一階波浪、噪聲等高頻振蕩干擾信號的作用，這就需要根據(jù)傳感器測量的信息和船舶動力定位控制的數(shù)學(xué)模型估計出船舶的低頻運動狀態(tài)，因此狀態(tài)估計方法在動力定位控制系統(tǒng)的設(shè)計中具有非常重要地位，是動力定位控制系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一［2］。

DP系統(tǒng)從20世紀(jì)60年代開始應(yīng)用在海洋船舶上，采用了陷波濾波器，其結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，但是會產(chǎn)生相位滯后，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。20世紀(jì)80年代后，第二代DP系統(tǒng)中經(jīng)常采用卡爾曼濾波器，該方法的主要缺點是必須將船舶運動的動力學(xué)方程在一些給定的艏搖角度值上線性化，由于系統(tǒng)擁有15個狀態(tài)變量，所以采用上述方法時系統(tǒng)在線計算量大，而且其中的很多協(xié)方差值也很難調(diào)整，不利于實現(xiàn)［3～5］。

為了避免動力定位系統(tǒng)采用上述卡爾曼濾波器時所帶來的問題，本文設(shè)計了一種基于無跡卡爾曼濾波器的改進(jìn)算法對模型中的非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行擬合，用一系列確定樣本來逼近狀態(tài)的后驗概率密度，而不是對非線性函數(shù)進(jìn)行線性化近似，因此對于非線性分布的統(tǒng)計量具有較高的計算精度。該濾波器的有效性通過仿真實驗得到了驗證。

2 基本的數(shù)學(xué)模型

2.1 船舶低頻運動方程

船舶在海洋中的運動有六個自由度，而水面動力定位作業(yè)主要研究船舶的三自由度運動，即縱蕩、橫蕩和艏搖。為描述船舶在水平面的運動，必須建立兩個坐標(biāo)系統(tǒng)［6～7］：慣性坐標(biāo)系和隨船坐標(biāo)系，如圖1所示，定義向量 η=[x，y，ψ ]T表示慣性坐標(biāo)系下船舶的縱蕩、橫蕩位置和艏搖角度，ν=[u，v，r]T表示隨船坐標(biāo)系下船舶的縱蕩、橫蕩速度和艏搖角速度，兩坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系為［8］

式中：轉(zhuǎn)換矩陣

圖1 固定坐標(biāo)系和隨船坐標(biāo)系

由文獻(xiàn)［8］可以得到船舶低速運動情況下的低頻運動方程：

式中：M∈R3×3表示系統(tǒng)慣性矩陣，D∈R3×3為線性水動力阻尼系數(shù)。τ∈R3表示控制力和力矩，b∈R3表示由風(fēng)、浪、流引起的環(huán)境力，wl∈R3為過程噪聲向量。

2.2 高頻運動模型

船舶的高頻運動主要是由于一級波浪擾動引起的，可看作是在縱蕩、橫蕩和艏搖三個方向上附加了阻尼的二階諧波振蕩器：

式中，參數(shù) ki與海況有關(guān)，ζi(i=1，2，3)為相對阻尼系數(shù)，通常取值為 0.05～0.3，w0i(i=1，2，3)為波浪P-M譜中與有義波高相關(guān)的海洋主導(dǎo)角頻率。

將上式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式，可以得到船舶的高頻運動模型：

式中 ξh=[ξx，ξy，ξφ，xh，yh，ψh]T

表示船舶在3個自由度方向上的位置和速度信號；wh為零均值高斯白噪聲，wh=[wxwywφ]；ηh為三維列向量，分別表示高頻運動的縱蕩、橫蕩和艏搖角度；其它系數(shù)為

其中σi(i=1，2，3)為與波浪強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)。

2.3 環(huán)境作用力模型

環(huán)境力通常是指風(fēng)、二階波浪漂力、流對船舶的作用力。環(huán)境力模型由高斯—馬爾科夫過程表示：

式中：b∈R3表示環(huán)境力和力矩；T為包含時間常數(shù)的的三維對角矩陣；Eb∈R3×3為噪聲幅值矩陣；ωb∈R3為零均值高斯白噪聲向量。

2.4 總系統(tǒng)模型

由前面的敘述可得系統(tǒng)的測量模型：

式中：vy∈R3為零均值高斯白噪聲。

根據(jù)上述模型，綜合得到總的動力定位船舶的數(shù)學(xué)模型：

3 非線性估計濾波器的設(shè)計

3.1 基本原理

基于無跡卡爾曼濾波的改進(jìn)算法避免了對非線性系統(tǒng)線性化，而是在估計點附近進(jìn)行UT變換，使用無跡變換來處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題，將先驗狀態(tài)估計的Sigma點應(yīng)用到測量更新中［9］。

3.2 基于無跡卡爾曼濾波的計算步驟［10］

1）初始化：給定系統(tǒng)狀態(tài)的均值xˉ和方差P。

2）計算2n+1個Sigma采樣點，這里的n指的是狀態(tài)的維數(shù)：

3）計算這些采樣點相應(yīng)的權(quán)值

式中，小標(biāo)m為均值，c為協(xié)方差，上標(biāo)為第幾個采樣點。參數(shù)k是一個縮放比例因數(shù)，用來降低總的預(yù)測誤差，a的選取控制了采樣點的分布狀態(tài)，待選參數(shù)β≥0是一個非負(fù)的權(quán)系數(shù)，它可以合并方程中高階項的動差，這樣就可以把高階項的影響包括在內(nèi)。

4）時間更新方程

式中，f(·)表示非線性過程，Qk為過程噪聲在k時刻的方差。

5）根據(jù)一步預(yù)測值，再次使用UT變換，產(chǎn)生新的Sigma點集。

6）測量更新方程

其中，Zk為k時刻的觀測值，H為觀測矩陣，R為測量噪聲的方差，K為卡爾曼增益。

3.3 基于無跡卡爾曼濾波器的設(shè)計

3.2 節(jié)中給出了算法流程，要把該算法應(yīng)用到船舶動力定位系統(tǒng)中，需要確定算法中的時間更新方程和測量更新方程的第一個式子，這兩個式子分別與總模型中的狀態(tài)方程和觀測方程相對應(yīng)，基于無跡卡爾曼的改進(jìn)算法在Matlab（R2013a）/Simu?link中搭建［11］并進(jìn)行仿真實驗。

圖2中，Subsystem子系統(tǒng)是環(huán)境作用力模型，Subsystem1子系統(tǒng)是高頻運動模型，J和J1是S-function模塊。

圖2 船舶動力定位系統(tǒng)Simulink模型

4 仿真與分析

為了驗證算法的有效性，對非線性濾波算法進(jìn)行仿真并與傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法進(jìn)行對比。本文在MATLAB（R2010a）軟件上進(jìn)行仿真實驗，以某動 力 定 位 船 舶 為 例［12］：長 L=175(m)，重m=2.461×104(kg)，慣性矩陣M 和線性阻尼陣 D取值如下：

環(huán)境擾動作用力模型中的時間參數(shù)選為：T=diag(1000 1000 1000)，波浪主頻率、相對阻尼系數(shù)和波浪強(qiáng)度為：w0i=0.9，σi=0.6083，ζi=0.3。

所以高頻運動模型中的系數(shù)矩陣取值為：

仿真時間為1000s，船舶運動和無跡卡爾曼濾波器對船舶縱蕩、橫蕩和艏搖方向位置的濾波效果如圖3～4所示。

圖3 船舶的低頻運動

圖4 船舶的高頻運動

圖5 、圖6和圖7為使用傳統(tǒng)的卡爾曼濾波時，船舶的縱向位移、橫向位移和艏向角的真實值和估計值。圖8、圖9和圖10為使用非線性濾波器時，船舶的縱向位移、橫向位移和艏向角的真實值和估計值。從仿真結(jié)果可以看出，非線性濾波器從附有噪聲和高頻運動分量的綜合輸出中能夠較好地濾除高頻運動部分，圖8～圖10估計值較好地從真實值中估計出，使動力定位船舶能夠得到有效的控制，減少不必要的能量損失。

圖5 縱向位移真實值和估計值

圖6 橫向位移真實值和估計值

圖7 艏搖方向真實值和估計值

圖8 縱向位移真實值和估計值

圖9 橫向位移真實值和估計值

圖10 艏搖方向真實值和估計值

5 結(jié)語

本文針對船舶動力定位控制系統(tǒng)設(shè)計了一種基于無跡卡爾曼濾波器的非線性觀測器，該觀測器的優(yōu)點是摒棄了對非線性函數(shù)線性化的傳統(tǒng)做法，使用無跡變換來處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題。仿真結(jié)果表明，該非線性觀測器可以較好地估計船舶運動的各狀態(tài)值，適用于動力定位系統(tǒng)。

［1］邊信黔，付明玉，王元慧.船舶動力定位［M］.北京：科學(xué)出版社，2011：8-10.

［2］Tomera，Miroslaw.Nonlinear observers design for multi?variable ship motion control［J］.Polish Maritime Re?search，2012，19（S1）：55-56.

［3］Grimble M J，Patton R J，Wise D A．The Design of Dy?namic Ship Positioning Control Systems Using Extended Kalman Filtering Techniques ［C］//Oceans， 2011：488-497.

［4］J LI，G xia.The application of an extended Kalman filter in the dynamic positioning system［C］//International Con?ference on Natural Computation，2016：1945-1946.

［5］何黎明，田作華，施頌椒.動力定位船舶的非線性觀測器設(shè)計［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報，2003，37（6）：964-965.

［6］Bui VP，Ji SW.Nonlinear observer and sliding mode con?trol design for dynamic positioning of a surface vessel［C］// International Conference on Control， 2012：1900-1904.

［7］Du JL，Wang SY，Zhang XK.Nonlinear observer design for ship dynamic positioning system［J］.Ship engineer?ing，2012，34（3）：307-312.

［8］Thori.Fossen，Tristan Perez.Kalman Filtering for Position?ing and Heading Control of Ships and Offshore Rigs［J］.IEEEControl Systems Magazine，2009，29（6）：32-46.

［9］丁浩晗，馮輝等，基于自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波的動力定位估計狀態(tài)［J］.大連海事大學(xué)學(xué)報，2016，42（2）：242-246.

［10］［美］Dan Simon.最優(yōu)狀態(tài)估計—卡爾曼，H∞及非線性濾波［M］.張勇剛，李寧，奔粵陽，譯.北京：國防工業(yè)出版社，2013：334-336.

［11］黃小平，王巖.卡爾曼濾波原理及應(yīng)用—MATLAB仿真［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2015：103-105.

［12］Saelid S，Jenssen N，Balchen J.Design and analysis of a dynamic positioning system based on Kalman filtering and optimal control［J］.Automatic Control IEEE Trans?actions on，1983，28（3）：331-339.