朱桂鳳，孫朝仁

（江蘇省連云港市鳳凰學(xué)校；江蘇省連云港市教育科學(xué)研究所）

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的工具性科學(xué)，其發(fā)生與發(fā)展突出了“情境教育論”特征的可取析原則（人的思想是情境性的），包括原型使用、直觀監(jiān)控、建?；貧w，以及審美補償?shù)乃伎荚瓌t，而這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)性質(zhì)的基本原則，正是當下數(shù)學(xué)實驗得以前沿發(fā)展的動作目標機制，其研究前景廣闊、意義重大，是數(shù)學(xué)實驗研究進入新時期的標志性事件.

基于約翰·比格斯（John Biggs）教授提出的SOLO（structure of the observed learning outcome，可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)）評價理論框架，即學(xué)生對某一具體問題反應(yīng)的分析，對學(xué)生解決問題時所達到的思維水平進行由低到高的五個基本結(jié)構(gòu)層次的等級劃分：前結(jié)構(gòu)水平、單點結(jié)構(gòu)水平、多點結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、拓展抽象結(jié)構(gòu)水平.數(shù)學(xué)實驗研究組把問題情境蘊含的數(shù)學(xué)問題分為單式結(jié)構(gòu)、多元結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和移情關(guān)系結(jié)構(gòu)，涉及原型、直觀、建模，以及審美等認知原則，這些結(jié)構(gòu)關(guān)系的定性建設(shè)有助于數(shù)學(xué)實驗核心素養(yǎng)成分適位取析，有助于后續(xù)課堂素養(yǎng)教學(xué)產(chǎn)生式形成，有助于數(shù)學(xué)實驗素養(yǎng)力一般原則的科學(xué)建立.

一、原型使用原則

在數(shù)學(xué)實驗素養(yǎng)形成范疇，原型特指專家頭腦中觀念的、內(nèi)潛的、簡縮的經(jīng)驗，這些高度簡約的經(jīng)驗是心理模型的外部化，是數(shù)學(xué)實驗研究的目標產(chǎn)物，有助于數(shù)學(xué)基本套路、基本方法的形成.可以說，原型使用的過程就是專家頭腦內(nèi)部的思維操作過程，包括原型定向、原型操作和原型內(nèi)化三個維度.換句話說，“做數(shù)學(xué)”就是定向原型；“想數(shù)學(xué)”就是操作原型；“說數(shù)學(xué)”就是內(nèi)化原型.就這一理解來說，原型使用的原則就是讓學(xué)生在具體情境中，經(jīng)歷概念抽象，形成概念理解模型，并在使用和解釋概念中，形成方法套路，有助于對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的把握.例如，一個有素養(yǎng)的人，就是當其置身于特定情境的時候，有滿足情境所需要的“恰當性、充分性或態(tài)度”，概念原型使用的過程也是如此，涵蓋素養(yǎng)的“做”、素養(yǎng)的“思考”和素養(yǎng)的“表達”.

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中的內(nèi)容來看，模型思想就是心理原型的可替代概念，包括從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，屬于原型定向行為；用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，屬于原型操作行為；求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，屬于原型內(nèi)化行為.為此，在數(shù)學(xué)實驗形成素養(yǎng)范疇，以突出單式思維結(jié)構(gòu)為特征，要做好三個層面的認知工作：一是設(shè)計適合的問題情境，落實原型定向目標；二是通過“做數(shù)學(xué)”，構(gòu)建原型操作意義；三是通過“想數(shù)學(xué)”，落實原型內(nèi)化目標，實現(xiàn)原型使用的目標原則，落實原型素養(yǎng)建設(shè)意義.

不妨以“無理數(shù)”的概念課為思考窗口，顯化原型使用的一般原則，有助于數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的建構(gòu)與層級.該節(jié)課具體實施流程如下：（1）讓學(xué)生任意畫出兩個面積為100 cm2的正方形并剪下來，再分別沿對角線剪開，得到四個完全一樣的等腰直角三角形，再拼成一個大的正方形；（2）讓學(xué)生猜想拼成的大正方形的邊長a可能是什么數(shù)，并說明理由.借助數(shù)軸，呈現(xiàn)該正方形邊長表示數(shù)的點，以及該數(shù)的特征，引進無理數(shù)概念；（3）讓學(xué)生通過內(nèi)模仿，在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)-a的點，感受無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示；（4）讓學(xué)生設(shè)計在數(shù)軸上畫出表示π和-π這兩個無理數(shù)的點，并思考常見的無理數(shù)還可以有怎樣的形式模型.

在問題情境的研究范疇，情境認知論從發(fā)展核心素養(yǎng)的目標出發(fā)，確定心理學(xué)研究的重點在于如何使個體接受外界輸入的刺激（或信息），對信息進行加工的輸出行為.原型定向的過程就是外界信息得以輸入的過程，加工信息的過程就是操作原型的過程，輸出行為就是原型使用與解釋的過程，關(guān)乎概念的使用與解釋.如果說，“畫—剪—拼”的行為是問題情境的思維蓄勢，那么“猜想—符號化—具體化—形式化”行為則是原型操作的表現(xiàn)，“內(nèi)模仿—類化—再設(shè)計—產(chǎn)生式”行為則是原型內(nèi)化的表現(xiàn)；如果說，情境為概念發(fā)生提供了客觀條件，那么“做數(shù)學(xué)”則為概念屬性的獲得提供了行為認知支撐，“表達數(shù)學(xué)”則為概念的使用與解釋提供了不可或缺的素養(yǎng)條件.因此，在數(shù)學(xué)實驗素養(yǎng)教育范疇，原型使用的原則就是基于情境、抽象概念、使用概念和解釋概念，落實模型應(yīng)用意識目標.

二、直觀監(jiān)控原則

在數(shù)學(xué)實驗認知論范疇，直觀是初中階段學(xué)生認知數(shù)學(xué)的主要方式，是通過對客觀事物屬性的直接接觸而獲得的感性認識.在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的.在數(shù)學(xué)學(xué)科中，對于結(jié)果的預(yù)測和對于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀.例如，基本圖形的邊、角要素、兩點確定一條直線的基本事實等都是“看”出來的或“數(shù)”出來的一樣，不需要邏輯證明.在數(shù)學(xué)實驗情境研究范疇，直觀監(jiān)控就是通過直觀的“做”獲得感性猜想，通過直觀的“想”獲得理性認識，通過元認知的直觀監(jiān)控行為及時地將感性認識上升到理性認識水平，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的完形把握和多元結(jié)構(gòu)思維范式的形成.

從《標準》來看，數(shù)學(xué)實驗研究領(lǐng)域的幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測事項結(jié)果.例如，在日常實驗教學(xué)中，常常有一些學(xué)生能正確地確認答案，但卻不能解釋答案成立的依據(jù)，這或許就是直觀的教育力量.當然，這里的幾何直觀是直觀的概念成分，是初中段學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的思維起點，有助于學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，形成創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.在一定層面上，可以說數(shù)學(xué)實驗是一門系統(tǒng)性質(zhì)的直觀科學(xué)，在可能的情況下，要讓學(xué)生在“動手—做數(shù)學(xué)”的過程中，伴隨能力可及的反問監(jiān)控（例如，你是怎么想的？這樣思考的依據(jù)是什么？接下來還需要做哪些工作？等等），落實“知其然，且知其所以然”的素養(yǎng)認知目標.為此，教師在直觀監(jiān)控實驗教學(xué)的過程中，要遵循三個基本原則：一是設(shè)計的問題情境要直觀，便于思維監(jiān)控的層次性操作；二是問題反應(yīng)塊要具有直觀性，便于反問監(jiān)控的隨機發(fā)生；三是數(shù)學(xué)思考要直觀，便于直覺思維選擇功能的發(fā)揮，進而實現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的經(jīng)驗課程意義.

不妨以“用字母表示數(shù)”章頭實驗為研究窗口，落實直觀監(jiān)控數(shù)學(xué)實驗教育原則，具體研究路徑如下：（1）讓學(xué)生指出月歷中相鄰數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)關(guān)系，以及選擇用字母表示數(shù)的方法，并嘗試表示；（2）在設(shè)計月歷游戲的過程中，通過學(xué)生的設(shè)計成果發(fā)展代數(shù)思維的直觀性.學(xué)生設(shè)計的成果有：框出橫行連續(xù)的四個數(shù)，如何用字母表示數(shù)？框出豎列連續(xù)的四個數(shù)呢？如何表示“2×2”型和“3×3”型矩形框中數(shù)字的數(shù)學(xué)關(guān)系，等等；（3）讓學(xué)生在問題設(shè)計與問題解決中發(fā)展元認知監(jiān)控意識.例如，小明一家外出旅游5天，這5天的日期之和是20，小明幾號回家？其中元認知監(jiān)控意識可以為：日期之和怎樣確定符合目的性？5天之間的數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系是什么？等等；（4）讓學(xué)生設(shè)計同類型的數(shù)學(xué)實驗問題，在問題解決中使學(xué)生積累用字母表示數(shù)的能力素養(yǎng)，落實數(shù)學(xué)實驗多元結(jié)構(gòu)性的直觀認知目標.

在數(shù)學(xué)實驗素養(yǎng)教育范疇，《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》一書從直觀監(jiān)控的原則出發(fā)，認證數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程需要經(jīng)歷準備（實驗設(shè)計）、醞釀（操作思考）、頓悟（類比猜想）、整理階段（驗證、使用與解釋）等多元思維結(jié)構(gòu)行為.在雅克·阿達瑪看來，無意識不僅要擔當起構(gòu)造各種各樣思想組合的復(fù)雜任務(wù)，而且還要根據(jù)我們的審美原則去做最細微、最本質(zhì)的選擇.結(jié)合“用字母表示數(shù)”一課的實施過程來看，用字母表示數(shù)是算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡環(huán)節(jié)，是研究算術(shù)思維與代數(shù)思維的分水嶺，反映直觀監(jiān)控知覺素養(yǎng)水平的本體意義.在這里，實驗研究組把研究數(shù)學(xué)關(guān)系、嘗試表示的直觀行為看作是情境素養(yǎng)教育的起點，把設(shè)計月歷游戲的行為看作是反問監(jiān)控隨機發(fā)生的具體表現(xiàn)，而“問題設(shè)計—問題解決”則是數(shù)學(xué)思考得以有序落地的外在表現(xiàn)，設(shè)計同類實驗方案是數(shù)學(xué)實驗思維得以延伸發(fā)展的可實現(xiàn)載體，有助于數(shù)學(xué)實驗素養(yǎng)層級的可實現(xiàn)目標及其一般原則.

三、建模回歸原則

數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)解模是數(shù)學(xué)實驗研究的兩個不同思維方向，前者是概念模型化行為，后者是還原概念模型行為，兩者是哲學(xué)研究的兩個方面，涉及抽象與具體的邏輯關(guān)系.在學(xué)科認知論范疇，數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的概念、原型和思維方法描述現(xiàn)實世界中具有數(shù)學(xué)規(guī)律性的事物.換句話說，依據(jù)學(xué)生的已有經(jīng)驗，尊重學(xué)生的年齡特征，讓學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程就是建模與解模的一個框架范式.當然，數(shù)學(xué)建模都依賴于學(xué)科情境（數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系，如通過整式乘法運算引進因式分解算理等關(guān)系行為）和生活情境（概念的幾何背景或概念的先行組織行為）的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，并在應(yīng)用模型解決現(xiàn)實問題中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)實驗不可替代的工具性作用.

在數(shù)學(xué)實驗應(yīng)用意識范疇，《標準》從建?；貧w的意義出發(fā)，強調(diào)應(yīng)用意識素養(yǎng)層級的積極意義.一方面，其內(nèi)涵是有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，解決現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題，反映數(shù)學(xué)服務(wù)生活的工具作用；另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的可實驗問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)實驗的方法予以解決.顯然，這里的行為動詞“抽象”就是實驗建模的執(zhí)行動作，而“解釋”“解決”行為則是“還原數(shù)學(xué)”“回歸數(shù)學(xué)”的表現(xiàn)形式.就這一理解來看，在整個數(shù)學(xué)教育過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.為此，數(shù)學(xué)實驗在建?；貧w層面有以下工作要做：一是提供先行組織材料，為抽象建模提供承擔載體；二是搭建思維支架，落實建模過程；三是在思維發(fā)展區(qū)設(shè)置應(yīng)用問題，驗證模型及使用模型解釋現(xiàn)實問題的能力.

不妨以“火柴棒拼圖”這一微實驗為例，基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)取析，落實模型化建設(shè)的結(jié)構(gòu)思想，揭示數(shù)學(xué)實驗在初中數(shù)學(xué)教育中的發(fā)展意義.具體實驗建模線索如下：（1）讓學(xué)生用火柴棒任意拼出1個基本圖形（三角形或四邊形），研究拼2個正方形和20個正方形各至多需要多少根火柴棒？各至少需要多少根火柴棒？拼一拼并猜想、驗證你的結(jié)論；（2）讓學(xué)生猜想用20根火柴棒至多能拼多少個正方形？200根呢？（3）讓學(xué)生猜想拼n個正方形至少需要多少根火柴（結(jié)果為3n+4），說明理由，并通過拼圖驗證結(jié)論的合理性；（4）讓學(xué)生設(shè)計用火柴棒任意拼三角形的方案，并猜想拼n個三角形至少需要多少根火柴棒？用100根火柴棒至多能拼多少個三角形？并驗證設(shè)計方案的合規(guī)定性.

建模的過程，就是把復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程.觀察和研究實驗對象固有的特征和內(nèi)部規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立數(shù)量關(guān)系模型，從而用數(shù)學(xué)理論方法進行分析解決.這里從“拼正方形”活動抽象出數(shù)量關(guān)系（3n+4），形成的模型框架（3n+4）可以看作是先行組織行為的外在表現(xiàn)；使用模型、驗證模型和解釋模型的行為是搭建思維支架的具體例子，反映數(shù)學(xué)實驗的還原功能與解模過程，落地實驗回歸的本體意義.而把設(shè)計“用火柴棒拼三角形”方案看作是在最近思維發(fā)展區(qū)設(shè)計問題的可靠表現(xiàn)，并以此投射數(shù)學(xué)實驗的建模作用和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)意識的進一步發(fā)展，有助于數(shù)學(xué)建模關(guān)系的回歸與可實現(xiàn)意義.換而言之，也就是建模回歸為數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)關(guān)系的建立提供了不可或缺的經(jīng)驗和應(yīng)用力量.

四、審美補償原則

在數(shù)學(xué)實驗實施策略范疇，審美補償是將客觀經(jīng)驗上升到共性理論的必備思維環(huán)節(jié)，是以學(xué)習(xí)者的認知活動行為為研究對象的二次認知活動，反映一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的層次屬性，涉及移情關(guān)系結(jié)構(gòu)（審美況下的結(jié)構(gòu)性知識遷移）的內(nèi)部力量.就數(shù)學(xué)實驗的補償原則來看，審美認知活動是對主體認知行為一種必不可少的思維補償，涉及“你正在做什么的情緒”“做的怎樣的情緒”“為什么這樣做的心理狀態(tài)”“還可以怎樣做的思維選擇”等.一般來說，人的審美活動的對象是外在的、具體的，有如做某個具體的數(shù)學(xué)實驗，做的怎樣，完成情況怎樣，還需要做什么等要素成分可指出、可表達、可解釋；而審美補償?shù)膶ο笫莾?nèi)在的、抽象的，是對主體自身正在進行的認知活動的二次審美，反映數(shù)學(xué)實驗的知識經(jīng)驗得以系統(tǒng)化的普遍手段.進一步來說，審美補償包括審美知識（認知知識、任務(wù)知識和策略知識）、審美體驗（認知體驗、情感體驗）和審美監(jiān)控（計劃—監(jiān)控—調(diào)節(jié)）.由于初中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)審美更多的傾向于策略認知，因此審美補償突出了以審美策略為主流的信息加工行為.

有心理學(xué)家證明，人的學(xué)習(xí)83%通過視覺，11%通過聽覺，3.5%通過嗅覺，1.5%通過觸覺，1%通過味覺.這些感官學(xué)習(xí)行為及效能是對審美認知的一種元認知性質(zhì)的補償，有助于學(xué)習(xí)個體創(chuàng)新意識行為習(xí)慣的養(yǎng)成.《標準》從審美補償原則出發(fā)，對創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)審美教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在教與學(xué)的過程之中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新審美的基礎(chǔ)；學(xué)會思考是創(chuàng)新審美的核心；歸納概括所得到的猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新審美的重要方法.創(chuàng)新審美意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿初中數(shù)學(xué)教育的始終.可以這樣說，數(shù)學(xué)教育的根本目的是服務(wù)于生活審美，突出創(chuàng)造能力的培養(yǎng)機制.為此，數(shù)學(xué)實驗在審美補償層面需要遵循三個原則：一是“問題組塊”本身合學(xué)生的審美目的，實現(xiàn)興趣認知；二是借助“提出問題思維塊”，發(fā)展學(xué)生的審美創(chuàng)新意識水平和半審美創(chuàng)新能力；三是通過“元認知監(jiān)控反應(yīng)塊”，促進學(xué)生審美補償能力的發(fā)展，以及反哺能力的生長.

不妨以“代數(shù)式的值”為實驗研究的載體，落實審美補償?shù)膶W(xué)習(xí)原則.具體活動實施線索如下：（1）讓學(xué)生通過火柴棒趣拼小魚，在實際拼圖過程中，研究拼小魚的條數(shù)與火柴棒的根數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，可以通過數(shù)火柴棒根數(shù)和小魚的條數(shù)來建立數(shù)量關(guān)系及其內(nèi)部的數(shù)學(xué)規(guī)律，落實審美補償?shù)乃枷朐瓌t，即思考過程中伴隨著層次性反問（用同樣的方式拼1條、2條、3條、10條、100條小魚各需多少根火柴棒？拼n條呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？你是如何猜到的？說說你的理由）；（2）讓學(xué)生猜想用602根火柴棒用同樣的方式可以拼多少條小魚？你能再提出一個類似的逆向思考的數(shù)學(xué)問題嗎？由此你認為在由特殊到一般再到特殊的審美思考過程中，如何得到代數(shù)式的值？在具體求值的過程中，應(yīng)該注意哪些易錯問題？（3）讓學(xué)生任意寫一個含有一個字母的一次二項式，并給定其中所含字母的不同值，在運算程序的指向下求出代數(shù)式的值，通過對有代表性的代數(shù)式及其結(jié)果的選擇組合與展示，以表格形式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)研究結(jié)果.通過觀察表格，依據(jù)數(shù)據(jù)走向，確立代數(shù)式值的發(fā)展走向，落實感官審美補償?shù)闹苯觾r值目的.

批判性與創(chuàng)造性是澳大利亞數(shù)學(xué)課程七大通用能力之一，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題解決方案的探索、歸納、反思和評價中.在數(shù)學(xué)實驗審美補償研究范疇，批判審美補償發(fā)生的動力體系是數(shù)學(xué)逆向思考的結(jié)果狀態(tài)；而創(chuàng)造是數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的執(zhí)行狀態(tài)，反映數(shù)學(xué)實驗審美補償?shù)牧α?如果把探索歸納看作是數(shù)學(xué)實驗審美的審美行為，反思評價則是實驗審美的補償行為，關(guān)乎移情關(guān)系結(jié)構(gòu)水平的建立.當然，就實驗審美的三個步驟來說，內(nèi)模仿是歸納性質(zhì)的審美補償，移情是反思性質(zhì)的審美補償，而心理距離則是評價性質(zhì)的審美補償.就“代數(shù)式的值”一課的學(xué)習(xí)方式來說，以拼小魚為承擔載體建構(gòu)一般意義上的代數(shù)式范式，在“特殊—一般—特殊”思想方法參與下，引進代數(shù)式的值的概念.這種問題組塊符合學(xué)生的審美目的，有助于其認知情緒的正向發(fā)展.對于“探索—歸納—逆向思考—提出問題”，可以理解為創(chuàng)新意識行為得以發(fā)揮，有助于學(xué)生創(chuàng)新方法及其審美批判能力的提升；對于“寫條件式—統(tǒng)整表格—數(shù)據(jù)走勢”，可以解釋為審美補償?shù)娜芙鉅顟B(tài)，突出學(xué)會思考與教會思考創(chuàng)新目標的實現(xiàn)，實現(xiàn)了關(guān)鍵能力、審美習(xí)慣落地的數(shù)學(xué)實驗課程素養(yǎng)性目標.