王 攀 陳 強 戴元倫 費慶國 張 鵬 李彥斌

(1東南大學土木工程學院, 南京 210096)(2東南大學空天機械動力學研究所, 南京 211189)(3中國船舶重工集團公司第701研究所, 武漢 430064)(4東南大學機械工程學院, 南京 211189)

統(tǒng)計能量分析[1](statistical energy analysis, SEA)能夠很好地描述系統(tǒng)各組件的平均振動特性,是目前解決高頻環(huán)境中復雜結(jié)構(gòu)動力學問題的有效方法,已成功應用于航空航天、汽車、船舶等領域[2-4].應用統(tǒng)計能量分析對復雜結(jié)構(gòu)進行高頻動響應預示時,其重點在于確定統(tǒng)計能量分析參數(shù)[5],即子系統(tǒng)的模態(tài)密度、子系統(tǒng)的內(nèi)損耗因子、子系統(tǒng)之間的耦合損耗因子.其中,耦合損耗因子表征子系統(tǒng)間的能量傳遞效率,是統(tǒng)計能量分析中的關(guān)鍵參數(shù),其準確的獲取直接影響到結(jié)構(gòu)振動能量的預示精度.

目前,獲取耦合損耗因子的常用方法有試驗方法、波方法[6](wave method)、功率輸入法(power injection method, PIM)等.對于部分工程實際結(jié)構(gòu),其耦合損耗因子常采用試驗來獲取,然而試驗分析具有耗費大、試驗條件與試驗工況有限等缺點.波方法是獲取耦合損耗因子的傳統(tǒng)方法之一,但該方法僅適用于簡單結(jié)構(gòu),如耦合梁、L型耦合板、T型耦合板等[7],對于復雜結(jié)構(gòu)無法給出相應的理論解.PIM是獲取結(jié)構(gòu)耦合損耗因子的經(jīng)典方法之一,國內(nèi)外許多學者均對PIM開展了相關(guān)的研究.Mace等[8]通過有限元(finite element method,FEM)獲取了系統(tǒng)的模態(tài)、質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,進而計算子系統(tǒng)的輸入功率和振動能量,并結(jié)合PIM得到了能量影響系數(shù)矩陣中的各項參數(shù);Bies等[9]利用PIM預示了2個板耦合結(jié)構(gòu)的損耗因子矩陣;Lalor[10]對PIM進行了改進,將損耗因子矩陣分開求解,使得計算更加簡便而且在一定程度上提高了預示精度;張鵬等[11]利用PIM研究了材料物性熱效應對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響;陳強等[12]基于FEM-PIM給出了一種熱環(huán)境下適用于復雜結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計能量分析方法,并研究了熱效應對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響.目前,基于FEM-PIM預示的耦合損耗因子具有較高的精度,但采用該方法預示復雜結(jié)構(gòu)耦合損耗因子時,需要利用結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)和所有節(jié)點的振型計算輸入功率和振動能量,計算效率較低;且隨著結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)數(shù)量的增加,損耗因子矩陣容易出現(xiàn)病態(tài),計算穩(wěn)定性較差.

雙模態(tài)方程法(dual modal formulation, DMF)利用耦合邊的模態(tài)陣型和子系統(tǒng)的其他模態(tài)參數(shù),直接計算得到子系統(tǒng)間的耦合損耗因子,節(jié)省大量的計算時間,提高了計算效率;此外,對于結(jié)構(gòu)阻尼不同的子系統(tǒng),DMF方法也可以預示其子系統(tǒng)間的耦合損耗因子.Maxit等[13]通過對子系統(tǒng)解耦分析,利用DMF方法計算了耦合梁結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子;孔憲仁等[14]利用DMF方法估計了鋁蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子.目前針對DMF方法的相關(guān)研究誤差較大,較難應用于實際工程.

因此,本文基于FEM-DMF方法開展結(jié)構(gòu)耦合損耗因子的預示精度及適用范圍研究.以典型L型耦合板為研究對象,通過與FEM-PIM對比,深入研究了分析頻帶、子系統(tǒng)剛度比和結(jié)構(gòu)阻尼對FEM-DMF方法預示耦合損耗因子精度的影響.以L型耦合加筋板為研究對象,驗證了FEM-DMF方法在復雜結(jié)構(gòu)中的適用性.

1 基于FEM-DMF的耦合損耗因子預示理論

DMF理論最初由Maxit等[15]提出,該方法用虛構(gòu)的邊界將系統(tǒng)切割成如圖1所示的連續(xù)耦合的子系統(tǒng),并對子系統(tǒng)在耦合邊界上的邊界條件進行近似;對于較“剛”子系統(tǒng),假定其在耦合邊界上處于自由狀態(tài),對于較“柔”子系統(tǒng),假定其在耦合邊界上處于固支狀態(tài);用位移模態(tài)描述較“剛”子系統(tǒng),用應力模態(tài)描述較“柔”子系統(tǒng).子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2間的模態(tài)功率流平衡方程可以寫成類似于SEA功率平衡方程的形式,即

(1)

(2)

圖1 連續(xù)耦合子系統(tǒng)示意圖

模態(tài)耦合損耗因子可以通過子系統(tǒng)解耦后的模態(tài)來獲得,其表達式為

(3)

(4)

通過結(jié)合有限元分析方法,子系統(tǒng)之間的耦合邊界會被離散成若干節(jié)點.對于L型耦合板,依據(jù)DMF理論將其分為板1和板2,分析2個板的有限元模態(tài)振型,每個節(jié)點具有6個自由度,但在彎曲情況下,只有節(jié)點力第5個自由度(沿耦合邊方向的彎矩)和節(jié)點位移第5個自由度是不為零.故板1的p模態(tài)和板2的q模態(tài)之間相互作用的計算式被簡化為

(5)

子系統(tǒng)之間的模態(tài)功率流P12為所有單個模態(tài)之間功率流的總和,即

(6)

式中,N1和N2為頻率帶寬內(nèi)的共振模態(tài)階數(shù).

假設任意子系統(tǒng)中,在模態(tài)階數(shù)大于5的頻段內(nèi)所有共振模態(tài)的振動能量相等[16],即

(7)

(8)

將式(6)、(7)和(8)聯(lián)立,得

(9)

式中,η12為子系統(tǒng)1對子系統(tǒng)2的耦合損耗因子,其表達式為

(10)

式中,ωc為1/3倍頻程中心頻率.

本文應用NASTRAN對各子系統(tǒng)進行模態(tài)分析,獲取固有頻率和模態(tài)振型;并基于FEM-DMF方法的理論,采用MATLAB編程實現(xiàn)結(jié)構(gòu)耦合損耗因子預示的數(shù)值計算過程.

2 算例

首先,以L型耦合板為研究對象,分別研究了分析頻帶、子系統(tǒng)剛度比和結(jié)構(gòu)阻尼對耦合損耗因子預示精度的影響;隨后,以L型耦合加筋板為研究對象,研究了FEM-DMF方法在復雜結(jié)構(gòu)耦合損耗因子預示中的適用性.為方便對比計算效率,本文所有計算均在同一臺計算機上進行,其配置為英特爾酷睿i7-4770K處理器、內(nèi)存32GB的臺式電腦,Windows 7(64位)系統(tǒng).

2.1 分析頻帶對耦合損耗因子預示精度影響

由于耦合損耗因子的預示理論中存在著模態(tài)能量均一化假設,故需要對基于FEM-DMF方法預示耦合損耗因子的有效頻率范圍進行研究.

L型耦合板幾何模型如圖2所示.板1和板2的材料屬性均為:彈性模量E=200 GPa,密度ρ=7 800 kg/m3,泊松比v=0.3,阻尼損耗因子η=0.02.由于薄壁結(jié)構(gòu)主要以彎曲模態(tài)為主,因此采用2D板單元建立其有限元模型,單元尺寸為10 mm.結(jié)構(gòu)中的非耦合邊簡支,耦合邊為自由狀態(tài).

圖2 L型耦合板(單位:mm)

為了滿足模態(tài)能量均一化假設[16],即子系統(tǒng)在1/3倍頻程頻帶內(nèi)的模態(tài)階數(shù)需大于5,對各子系統(tǒng)的模態(tài)進行分析,1/3倍頻程頻帶內(nèi)板1和板2的模態(tài)階數(shù)如圖3所示,虛線為板1和板2在研究頻帶內(nèi)模態(tài)階數(shù)均大于5的最低頻率.由圖3可知,在1.6 kHz以上各子系統(tǒng)的模態(tài)階數(shù)均大于5,滿足模態(tài)能量均一化假設,因此由FEM-DMF方法預示該耦合板的耦合損耗因子在1.6 kHz以上更接近真實值.

圖3 1/3倍頻程頻帶內(nèi)板1和板2的模態(tài)數(shù)

將FEM-DMF方法預示的耦合損耗因子與采用FEM-PIM所得結(jié)果進行對比分析,如圖4所示.分析可知,2種方法計算得到的耦合損耗因子變化趨勢基本一致,耦合損耗因子均隨著頻率的升高而逐漸減小;在低于1.25 kHz的頻段內(nèi),基于FEM-DMF方法計算得到的耦合損耗因子誤差較大,這主要是由于L型耦合板在分析頻段內(nèi)模態(tài)階數(shù)小于5,難以滿足模態(tài)能量均一化假設.大于1.6 kHz的頻段,2種方法的計算結(jié)果基本一致,且最大誤差不超過1 dB,這說明對于上述L型耦合板結(jié)構(gòu),

圖4 耦合損耗因子

FEM-DMF方法能夠較好地保證結(jié)構(gòu)耦合損耗因子的預示精度.從計算效率方面看,FEM-DMF方法的運行程序時間約為15 min,而FEM-PIM需要約1.5 h,因而FEM-DMF方法具有更高的計算效率.

2.2 剛度比對耦合損耗因子預示精度影響

FEM-DMF方法是用虛構(gòu)的邊界將系統(tǒng)切割成連續(xù)耦合的子系統(tǒng),并對子系統(tǒng)在耦合邊上的邊界條件進行近似;對于較“剛”子系統(tǒng),假定其在耦合邊界上處于自由狀態(tài);對于較“柔”子系統(tǒng),假定其在耦合邊界上處于固支狀態(tài).當L型耦合板子系統(tǒng)剛度比改變時,子系統(tǒng)在耦合邊上的邊界條件近似精度隨之變化,進而影響耦合損耗因子的預示精度.因此,有必要研究子系統(tǒng)剛度比對耦合損耗因子預示精度的影響.

由于耦合板的材料屬性相同,因此子系統(tǒng)的彎曲剛度比與板厚度比的3次方成正比,本文采用2個板厚度比(h2/h1)來表征子系統(tǒng)剛度比的變化,定義板1和板2的厚度分別為h1和h2,其中板1厚度h1=2 mm.計算子系統(tǒng)剛度比為1.0,3.4,8.0,27.0(板2厚度h2為2,3,4,6 mm)時L型耦合板的耦合損耗因子.由2.1節(jié)可知,FEM-PIM考慮了結(jié)構(gòu)間的強耦合作用,其預示結(jié)果具有較高的精度,因此可采用FEM-PIM驗證FEM-DMF方法預示結(jié)果的準確性.FEM-PIM和FEM-DMF方法的計算結(jié)果如圖5所示,其中，虛線為板1和板2在頻帶內(nèi)模態(tài)階數(shù)均大于5的最低頻率.

分析可知,隨著剛度比增大,由FEM-DMF方法預示的耦合損耗因子逐漸接近FEM-PIM的耦合損耗因子.由此可知,剛度比的變化對FEM-DMF方法預測結(jié)果的準確性有較大影響,隨著剛度比的增大預示結(jié)果更加準確.

為了更加直觀地給出預示精度的臨界值,本文計算多組剛度比下耦合板的耦合損耗因子,圖6為中心頻率為4 000和6 350 Hz頻段內(nèi)結(jié)構(gòu)耦合損耗因子隨著剛度比的變化曲線.分析可知,當剛度比小于8.0時,基于FEM-DMF方法計算得到的耦合損耗因子與FEM-PIM的耦合損耗因子相差較大.這主要是由于FEM-DMF方法是利用解耦后的子系統(tǒng)模態(tài)去描述其振動特性,當2個子系統(tǒng)剛度比接近1時,子系統(tǒng)間的剛度差異無法用位移和應力模態(tài)陣型去描述.而當剛度比大于8.0時,由FEM-DMF方法預示的耦合損耗因子與FEM-PIM的耦合損耗因子基本吻合.因此,剛度比越大,基于FEM-DMF方法的耦合損耗因子預示精度越高.

(b) 剛度比為3.4

(c) 剛度比為8.0

(d) 剛度比為27.0

2.3 結(jié)構(gòu)阻尼對耦合損耗因子預示精度影響

在實際工程中,不同結(jié)構(gòu)通常具有不同的結(jié)構(gòu)阻尼,為研究結(jié)構(gòu)阻尼對耦合損耗因子預示精度的影響,開展L型耦合板在不同結(jié)構(gòu)阻尼下的耦合損耗因子預示研究.圖7(a)、圖6(a)和圖7(b)分別給出了結(jié)構(gòu)阻尼為0.03,0.02和0.01時3 564～4 490 Hz頻帶(中心頻率為4 000 Hz)內(nèi)結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子,并利用FEM-PIM結(jié)果進行驗證.為方便討論分析,當FEM-DMF方法預示的耦合損耗因子與FEM-PIM的耦合損耗因子之間誤差小于1 dB時,定義此時的剛度比δc為滿足耦合損耗因子預示精度的臨界剛度比.

(a) 中心頻率為4 000 Hz

(b) 中心頻率為6 350 Hz

(a) 結(jié)構(gòu)阻尼為0.03

(b) 結(jié)構(gòu)阻尼為0.01

圖7不同結(jié)構(gòu)阻尼下結(jié)構(gòu)耦合損耗因子隨剛度比的變化

計算結(jié)果表明:當結(jié)構(gòu)阻尼為0.03時,臨界剛度比為3;當結(jié)構(gòu)阻尼為0.02時,臨界剛度比為8;當結(jié)構(gòu)阻尼為0.01時,臨界剛度比為9.由此可見,在結(jié)構(gòu)剛度比相同的條件下,FEM-DMF方法的預示精度隨耦合板結(jié)構(gòu)阻尼的增大而提高.

為更直觀地給出L型耦合板的結(jié)構(gòu)阻尼與臨界剛度比之間的關(guān)系,計算結(jié)構(gòu)阻尼分別為0.002,0.005,0.008,0.01,0.02,0.03的臨界剛度比,計算結(jié)果如圖8所示.分析可知,隨著L型耦合板阻尼的增大,滿足耦合損耗因子預示精度的臨界剛度比減小.經(jīng)典的波方法假設,當阻尼損耗因子相對于耦合損耗因子足夠大時,阻尼損耗因子對耦合損耗因子的影響不大.當結(jié)構(gòu)阻尼大于0.01時,結(jié)構(gòu)阻尼與臨界剛度比之間的關(guān)系曲線趨于平緩.結(jié)合圖7(a)、圖6(a)和圖7(b)可以看出,若結(jié)構(gòu)阻尼較大時,結(jié)構(gòu)阻尼的改變對耦合損耗因子的影響較小,且主要發(fā)生在剛度比較小范圍,在剛度比較大時對預示精度影響不大.

圖8 結(jié)構(gòu)阻尼與臨界剛度比之間的關(guān)系曲線

2.4 復雜結(jié)構(gòu)耦合損耗因子預示

為驗證FEM-DMF方法在復雜結(jié)構(gòu)中的適用性,以L型耦合加筋板(2個板夾角為90°)為研究對象,其幾何模型如圖9所示,利用FEM-DMF方法預示其耦合損耗因子.僅對厚度較薄的板1進行加筋處理,加筋方式為橫縱交錯,垂直耦合邊方向筋條間距和平行耦合邊方向筋條間距均為0.1 m.板1和板2的材料屬性與2.1節(jié)L型耦合板相同,筋條材料參數(shù)與平板一致,筋條寬度為0.01 m，厚度為2 mm.

圖9 L型耦合加筋板(單位:mm)

利用FEM-PIM對FEM-DMF方法預示的耦合損耗因子進行驗證和分析,計算結(jié)果如圖10所示,其中虛線為板1和板2在研究頻帶內(nèi)模態(tài)階數(shù)均大于5的最低頻率.

圖10 耦合損耗因子

計算結(jié)果表明:FEM-DMF方法與FEM-PIM預示得到的耦合損耗因子變化趨勢基本一致,在頻率大于1.25 kHz頻段內(nèi),二者的計算結(jié)果相差小于1 dB;在小于1.25 kHz頻段,二者的計算結(jié)果相差較大,這主要是由于結(jié)構(gòu)在頻段內(nèi)模態(tài)階數(shù)小于5,未能滿足模態(tài)能量均一化假設.從計算效率方面來看,FEM-DMF方法的運行程序時間約為15 min,而FEM-PIM需要約2 h.FEM-DMF方法的計算效率提高了87.5%.因此,FEM-DMF方法在其適用范圍內(nèi)能夠高效準確地預示復雜結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子.

3 結(jié)論

1) 在滿足模態(tài)能量均一化假設的頻帶內(nèi),隨著L型耦合板的子系統(tǒng)剛度比和結(jié)構(gòu)阻尼的增大,FEM-DMF方法的預示精度不斷提高.

2) 在滿足模態(tài)能量均一化假設的頻帶內(nèi),隨著L型耦合板阻尼的增大,滿足耦合損耗因子預示精度的臨界剛度比逐漸減小.當結(jié)構(gòu)阻尼為0.01時,臨界剛度比為9,基于FEM-DMF方法預示的耦合損耗因子誤差小于1 dB.

3) 對于L型耦合加筋板,在滿足模態(tài)能量均一化假設的頻帶內(nèi),基于FEM-DMF方法預示的耦合損耗因子誤差小于1 dB.而與FEM-PIM相比,FEM-DMF方法的計算效率提高了87.5%,從而說明FEM-DMF方法在其適用范圍內(nèi)能夠準確高效地預示復雜結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子.

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