張震，潘暉，繆偉彬

（1.上海電力學(xué)院自動化工程學(xué)院，上海 200090；2.上海新華控制技術(shù)集團(tuán)科技有限公司，上海 200241）

0 引言

現(xiàn)實(shí)世界中，許多動態(tài)系統(tǒng)一般為分?jǐn)?shù)階模型，用分?jǐn)?shù)階模型描述效果要比整數(shù)階更加精確。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展，近年來，人們不僅僅從理論上研究分?jǐn)?shù)階，而且越來越多的領(lǐng)域開始應(yīng)用分?jǐn)?shù)階，例如，自動化、電信、機(jī)械、建筑等行業(yè)[1-2]。隨著對控制優(yōu)化精度的追求，對分?jǐn)?shù)階控制的研究已成必然，但對電站控制系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階應(yīng)用研究較少。電站控制系統(tǒng)涉及設(shè)備多、系統(tǒng)龐大、生產(chǎn)過程較為復(fù)雜，所以保持生產(chǎn)穩(wěn)定高效地運(yùn)行十分必要。

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器是由I.Podlubny[3]提出的，是對普通整數(shù)階PID控制器的拓展，相比而言增加了兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，擴(kuò)大了參數(shù)整定的范圍。目前已有學(xué)者對參數(shù)整定與優(yōu)化進(jìn)行了一定的研究，如，薛定宇等人研究了基于最優(yōu)性能指標(biāo)的參數(shù)整定[4]，相位裕量和幅值裕量同樣也可用于設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階控制器[5]，隨機(jī)搜索算法[6]、極點(diǎn)階數(shù)搜索法[7]等均可應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)整定及優(yōu)化。上述研究所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階控制器都能取得良好的控制效果和魯棒性。

本文嘗試將分?jǐn)?shù)階PID控制器應(yīng)用于電站控制領(lǐng)域。目前有很多分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法需要計(jì)算各種時(shí)域和頻域的性能指標(biāo)，對于參數(shù)調(diào)優(yōu)的過程，這是一個(gè)復(fù)雜且結(jié)果難以令人滿意的過程。單純形法是一種在求解線性規(guī)劃問題的方法，雖然理論趨于完善，但計(jì)算過程和迭代次數(shù)較為繁瑣。人工魚群算法作為群體智能優(yōu)化算法的一種，已成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一。因其魯棒性好、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢，在多個(gè)領(lǐng)域已取得較好的效果。隨著對研究的加深，人工魚群算法必然會應(yīng)用至更多的領(lǐng)域。本文擬采用人工魚群算法對分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)進(jìn)行整定及優(yōu)化，在全局搜索中既保證收斂速度又無需其他約束條件，并將其應(yīng)用于具有分?jǐn)?shù)階模型的電站超臨界機(jī)組燃料量與中間點(diǎn)壓力的熱工過程控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。

1 人工魚群算法

1.1 人工魚群算法簡介

人工魚群算法是群智能優(yōu)化算法的一種，于2002年由李曉磊等[8]提出的一種隨機(jī)全局優(yōu)化算法。一般情況下水域中營養(yǎng)物質(zhì)含量越高的地方魚的生存數(shù)量越多，故該算法是根據(jù)模擬魚的覓食、聚群及追尾行為來實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)的。該算法具有避免局部最優(yōu)的能力，無需目標(biāo)函數(shù)的特殊信息，故具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力和較強(qiáng)的魯棒性。

1.2 目標(biāo)函數(shù)的選取

在控制過程中，通?？梢圆捎谜`差積分指標(biāo)作為衡量控制系統(tǒng)性能好壞的指標(biāo)。目前常用的誤差性能指標(biāo)有ISE、ITSE、IAE及ITAE，依照不同的性能指標(biāo)進(jìn)行控制器參數(shù)整定時(shí)，最終得到的控制效果是不同的。其中IAE指標(biāo)可以抑制較小偏差，ISE側(cè)重于抑制較大的偏差，ITAE可以減少調(diào)節(jié)時(shí)間，而ITSE在控制較大動態(tài)偏差的同時(shí)還可以縮短調(diào)節(jié)時(shí)間。

對于不同的目標(biāo)準(zhǔn)則，優(yōu)化的控制參數(shù)結(jié)果不同，效果也不一樣。為獲得更優(yōu)的控制器參數(shù)，本文采用廣義誤差絕對值乘時(shí)間積分（GITAE）準(zhǔn)則[9]作為目標(biāo)函數(shù)。GITAE準(zhǔn)則將誤差變化率加入其中，可獲得更優(yōu)的響應(yīng)曲線并提高幅值穩(wěn)定裕度，如式（1）所示。

其中，e為誤差函數(shù)，為誤差變化率，τ為延時(shí)，TE為對象響應(yīng)的特征時(shí)間。

1.3 人工魚群算法的流程

人工魚群算法主要是通過魚群的三種行為來進(jìn)行優(yōu)化的：

覓食行為：個(gè)體魚Xi在當(dāng)前的感知范圍V內(nèi)隨機(jī)搜索一個(gè)狀態(tài)Xj，通過食物濃度判斷是否符合前進(jìn)方向。符合則進(jìn)步如下式（2），Step為最大移動步長，V為魚群的感知范圍，反之若長時(shí)間未找到移動方向則最終選擇隨機(jī)移動Xv。

聚群行為：搜索當(dāng)前鄰域內(nèi)的魚群數(shù)目n，確定當(dāng)前中心位置Xa，若當(dāng)前食物數(shù)量較多且在魚群的擁擠程度Delta內(nèi)則向Xa移動，否則執(zhí)行覓食行為。

追尾行為：搜索當(dāng)前鄰域內(nèi)的食物數(shù)量最多的人工魚Xmax，通過在Xmax處的魚群擁擠程度Delta來決定是否前進(jìn)，否則繼續(xù)執(zhí)行覓食行為。

依據(jù)以上行為狀態(tài)選擇及定義的目標(biāo)函數(shù)變化情況，魚群會在符合條件要求的區(qū)域內(nèi)聚集，并將優(yōu)化過程中最優(yōu)人工魚狀態(tài)保存在公告板內(nèi)。具體的人工魚群算法流程如圖1所示。

圖1 人工魚群算法流程圖

2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階相關(guān)理論

目前，常見的分?jǐn)?shù)階微積分定義主要有三種，分別是 Grünwald-Letnikov(G-L)定義、Cauchy積分定義和Riemann-Liouville（R-L）定義。其中應(yīng)用最為廣泛的是G-L定義。

其中，α為分?jǐn)?shù)階微積分的階次為二項(xiàng)式系數(shù)；h為步長為分?jǐn)?shù)階微積分算子，其定義為：

根據(jù)G-L公式可以計(jì)算出較為精確的分?jǐn)?shù)階微積分，但是在控制系統(tǒng)研究中存在一定的局限性。在實(shí)際的應(yīng)用中，一般很難直接計(jì)算分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)方程的數(shù)值解，因此需要通過采用濾波器的算法去逼近濾波器。目前應(yīng)用在分?jǐn)?shù)階微積分的濾波器近似算法有連分式近似、Charef近似與Oustaloup近似等。一般的Oustaloup算法在頻段兩端處表現(xiàn)效果較差，故本文采用改進(jìn)的Oustaloup濾波器方法[10]將分?jǐn)?shù)階模型近似以便設(shè)計(jì)傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器，依舊選定擬合頻率段為，則基本的分?jǐn)?shù)階算子模型為：

其濾波器的零極點(diǎn)表達(dá)式為：

其中，α為分?jǐn)?shù)階的階次；N為濾波器的階次；b、d為可調(diào)參數(shù)，一般可以分別取10、9。

2.2 分?jǐn)?shù)階PID控制器

目前常見的分?jǐn)?shù)階控制器主要有TID控制[11]、CRONE控制器[12]、PIλDμ控制器和超前滯后補(bǔ)償器[13]。PIλDμ控制器與傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器不同之處是多了兩個(gè)可調(diào)參數(shù)積分階次λ和微分階次μ，使得可選擇的范圍更加廣闊，理論上能夠提高控制的精度，但同時(shí)增加了參數(shù)整定的難度。類比傳統(tǒng)PID控制器，其傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

如上式（7）所示，雖然分?jǐn)?shù)階PID控制器需要整定五個(gè)參數(shù)，但是可借鑒傳統(tǒng)PID整定的方法。J.F.Leu采用ISE性能指標(biāo)整定出PIλDμ控制器參數(shù)[14]，Z-N整定法同樣可應(yīng)用于設(shè)計(jì)PIλDμ控制器[15]，陳陽泉教授采用魯棒PID自整定方法進(jìn)而確定了PIλDμ控制器的參數(shù)[16]。本文則采用人工魚群算法尋優(yōu)PIλDμ控制器的參數(shù)。

2.3 基于人工魚群算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

在進(jìn)行人工魚群算法整定參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到分?jǐn)?shù)階PID控制器的控制效果，整定參數(shù)的時(shí)間也必須考慮到。人工魚群算法雖然可避免局部極值的產(chǎn)生，但由于人工魚的數(shù)量和視野的隨機(jī)性，存在加大搜索時(shí)間的可能性。為增強(qiáng)算法的運(yùn)行效率，避免不必要的時(shí)間浪費(fèi)，本文通過限制人工魚種群的初始位置，減少迭代次數(shù)，適當(dāng)增加魚群的視野避免魚群在局部極值出搜索造成的時(shí)間浪費(fèi)。

基于人工魚群算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)步驟如下：

Step1：初始種群設(shè)定：若人工魚的初始位置隨機(jī)產(chǎn)生，將會影響搜索時(shí)間和迭代次數(shù)。為避免種群在局部極值的時(shí)間浪費(fèi)，根據(jù)單純形法尋優(yōu)的參數(shù)確定人工魚種群的初始位置。

Step2：目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)：目標(biāo)函數(shù)是基于人工魚群算法設(shè)計(jì)的控制器效果的依據(jù)，直接影響控制器的性能。本文采用廣義誤差絕對值乘時(shí)間積分（GITAE）準(zhǔn)則作為目標(biāo)函數(shù),如式（1）。

Step3：人工魚群參數(shù)設(shè)定：根據(jù)實(shí)際情況的經(jīng)驗(yàn)確定魚群的規(guī)模、迭代次數(shù)、人工魚的感知范圍、擁擠程度的門限、覓食行為的試探次數(shù)以及決策變量。

Step4：運(yùn)行人工魚群算法，執(zhí)行覓食、聚群和追尾行為，經(jīng)過迭代得出近似最優(yōu)解，反復(fù)修正最后得到最優(yōu)解。

3 電站應(yīng)用

本文選取電站熱工控制系統(tǒng)，以超臨界機(jī)組中燃料量與中間點(diǎn)壓力之間的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)[17]為研究對象進(jìn)行應(yīng)用研究，即式（8）。為驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階PID控制器的性能，選取傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器和分?jǐn)?shù)階PID控制器進(jìn)行分析對比。

若直接對分?jǐn)?shù)階對象設(shè)計(jì)控制器較為困難，故需要將分?jǐn)?shù)階對象近似并進(jìn)行降階處理。本文采用改進(jìn)的Oustaloup算法對分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行近似，利用次最優(yōu)模型降階算法[18]，通過在JISE目標(biāo)函數(shù)引入新的誤差信號h(t)=w(t)e(t)，定義出新的ISE指標(biāo)即式（9）。

因?yàn)榻惦A模型含有時(shí)間延遲項(xiàng)，所以對延遲項(xiàng)采用Pade近似。最終可以得出其降階模型。

根據(jù)降階模型式（10）采用Wang-Juang-Chan算法[19]，即下式（11），設(shè)計(jì)出最優(yōu)ITAE準(zhǔn)則的整數(shù)階PID控制器。

為了考察人工魚群算法的性能，基于最優(yōu)GITAE誤差準(zhǔn)則，通過單純形法直接搜索最優(yōu)值，得到分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器。

本文采用GITAE誤差準(zhǔn)則作為目標(biāo)函數(shù)，通過人工魚群算法尋取其最小值來得到分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的五個(gè)參數(shù)。設(shè)置迭代次數(shù)K=50，魚群規(guī)模N=50，人工魚的感知范圍V=0.5，擁擠程度的判斷門限D(zhuǎn)elta=0.3，覓食行為的試探次數(shù)L=30，并設(shè)置好決策變量的上下限。將魚群的初值設(shè)置為通過單純形法優(yōu)化的參數(shù)，可以加快搜索速度，避免浪費(fèi)搜索時(shí)間。

最終得到分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的五個(gè)參數(shù)，故控制器傳遞函數(shù)為：

經(jīng)過仿真得到G()s在上述三種控制器下的階躍響應(yīng)如圖2所示。從圖中可以看出，分?jǐn)?shù)階控制器控制效果要比整數(shù)階PID控制器好，可以有效抑制超調(diào)量的產(chǎn)生。

從表中可以看出，無論從調(diào)節(jié)時(shí)間還是超調(diào)量來看，分?jǐn)?shù)階PID控制較整數(shù)階PID控制器效果要好。很顯然，應(yīng)用人工魚群算法尋優(yōu)的控制系統(tǒng)參數(shù)要優(yōu)于常規(guī)方法，能夠在保持調(diào)節(jié)時(shí)間的同時(shí)不產(chǎn)生超調(diào)量。

圖2 不同控制器下的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

如表1所示，將三種控制器的性能指標(biāo)進(jìn)行對比。

表1 各種算法性能指標(biāo)對比表

4 結(jié)語

本文針對分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)提出了一種利用人工魚群設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器的有效方法。采用新的誤差目標(biāo)準(zhǔn)則，并應(yīng)用至電站熱工控制系統(tǒng)。雖然應(yīng)用分?jǐn)?shù)階PID控制器使得參數(shù)整定增加了難度，但人工魚群算法用于搜索最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID控制的參數(shù)，采用GI?TAE性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)得到的控制器參數(shù)能達(dá)到令人滿意的效果。仿真研究結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階PID控制器較整數(shù)階PID控制器效果更加出色，在保證調(diào)節(jié)時(shí)間的同時(shí)能夠抑制超調(diào)量的產(chǎn)生。

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