☉安徽省固鎮(zhèn)縣第一中學(xué) 劉小樹(shù)

在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)，我們一些學(xué)生并沒(méi)有真正理解解析幾何研究問(wèn)題的方法與思路，忽視對(duì)其本身屬性的分析，而是盲目地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，認(rèn)為只要算得準(zhǔn)確、快速就一定能夠得分，甚至一些老師也片面地強(qiáng)調(diào)解析幾何運(yùn)算的重要性.尤其涉及到直線與圓錐曲線的問(wèn)題更為突出，導(dǎo)致運(yùn)算量大，越做越茫然，偏離問(wèn)題的本質(zhì).［1］本文中一位教師以一道質(zhì)檢考試題為例，從橢圓的幾何性質(zhì)出發(fā)進(jìn)行剖析，如果能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步理解并感悟幾何的思維本質(zhì)，走出處理解析幾何的誤區(qū)，引起一些思維上的觸動(dòng)，筆者就很欣慰了.例題 已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），右頂點(diǎn)A且|AF|=1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）若動(dòng)直線l：y=kx+m橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，且與直線x=4交于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在一個(gè)定點(diǎn)M（t，0）使得 M→P· M→Q=0？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

解析：（1）易求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

學(xué)生解法：一般學(xué)生會(huì)設(shè)P（x0，y0），Q（4，s），M（t，0），則+=1，（4-t，s）=0.③ 三個(gè)式子聯(lián)立起來(lái)我們的學(xué)生會(huì)認(rèn)為只要運(yùn)算好就能夠解好本題，其實(shí)本題里引入量很多，即使去聯(lián)立不知道往哪個(gè)方向去做，一頭霧水，于是就歸結(jié)為解析幾何算不出來(lái).這是一種機(jī)械的學(xué)習(xí)思維方式，完全脫離了橢圓的基本幾何性質(zhì).

答案就在問(wèn)題當(dāng)中，細(xì)心的會(huì)發(fā)現(xiàn)題中x=4是橢圓的右準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)F（1，0），我們一方面在注意題中直線與橢圓相切及橢圓的準(zhǔn)線，另一方面思考定點(diǎn)有沒(méi)有可能是橢圓的焦點(diǎn)？

筆者下課建議這位教師從以下幾個(gè)方面入手分析：

1.由特殊到一般.由于橢圓是確定的，而變化的是直線，直線相對(duì)橢圓位置又是確定的（相切），只不過(guò)直線由參數(shù)k，m確定，綜合考慮k，m可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量.無(wú)論怎么變化，若滿足=0，則可能M（t，0）是確定的點(diǎn)，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的k，m=0，就是恒成立問(wèn)題，為了確定是否為一個(gè)定點(diǎn)，不妨取直線l：y=kx+m，為兩條特殊直線觀察是否為定點(diǎn)，如y=，x-2y+4=0（.根據(jù)橢圓的切線，若切點(diǎn)為（x，y），切線為

00=1）若為定點(diǎn)，再次證明結(jié)論.

2.橢圓的幾何性質(zhì)決定了直線與橢圓的關(guān)系類似于直線與圓的位置關(guān)系，圓的重要幾何性質(zhì)是圓心與半徑，而橢圓呢？除了長(zhǎng)短軸類比于圓的半徑外，焦點(diǎn)類比于圓的圓心.很多的問(wèn)題都和它們息息相關(guān).那定點(diǎn)會(huì)不會(huì)是焦點(diǎn)呢？為了提高解題效率，使用相關(guān)的點(diǎn)法的思想，把=1，y=kx+m聯(lián)立Δ=0解得P點(diǎn)坐標(biāo)為易得Q（4，4k+m），代入=0整理得到m（t2-4t+3）+4k（t-1）=0.由k，m的任意性知即t=1.從而得到定點(diǎn)M（1，0），恰好為橢圓的焦點(diǎn).

3.這位教師的講解到此為止，筆者總感覺(jué)缺點(diǎn)什么或者說(shuō)意猶未盡.如果對(duì)于本題淺嘗輒止，就錯(cuò)失挖掘數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值和意義，那么就沒(méi)有抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì).由思路2不難發(fā)現(xiàn)直線在變化過(guò)程中有不變量的就是0，而x=4為橢圓的右準(zhǔn)線，定點(diǎn)恰好為焦點(diǎn).這是個(gè)例嗎？提出對(duì)于一般的橢圓C：+=1（a＞b＞0），是否也有=0，定點(diǎn)恰好為焦點(diǎn)？先猜后證，證明如=0，整理得m（b2c-a2t+ct2）+k（a2b2-a4+a2ct）=0.

由k，m的任意性知們就得到這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論.居高臨下，一窺這個(gè)命題的全貌.

這位教師又在另一個(gè)班級(jí)評(píng)講，效果很好.

圓錐曲線定性，定量性命題很多都有一般性的結(jié)論，對(duì)幾何對(duì)象的特征解析越透徹，代數(shù)運(yùn)算越簡(jiǎn)單，結(jié)論就越明朗.事實(shí)上，雙曲線、拋物線都有類似的結(jié)論，有興趣的讀者可以嘗試一下，從而更深刻認(rèn)識(shí)到圓錐曲線的共性，對(duì)進(jìn)一步研究解析幾何大有裨益.如果我們教師在教學(xué)過(guò)程中不僅善于對(duì)特殊命題能夠推導(dǎo)，而且要能夠看到一般性的結(jié)論，那么做到舉一反三，真正教會(huì)學(xué)生們學(xué)會(huì)思考，我們的高中數(shù)學(xué)教學(xué)就是有生命的.中國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)會(huì)理事章建躍博士曾說(shuō)過(guò)：“課堂教學(xué)中，如果我們的教學(xué)不能夠打動(dòng)學(xué)生，學(xué)生對(duì)我們的講解無(wú)動(dòng)于衷，那么他們就不可能有心領(lǐng)神會(huì)的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能是無(wú)功而返.”［2］僅靠就題論題、就題講題，學(xué)生很難做到舉一反三.數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，并不是讓學(xué)生記住多少知識(shí)，而重要的是能夠使他們領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法及人生哲理，如果數(shù)學(xué)教學(xué)始終以發(fā)現(xiàn)、解決、再發(fā)現(xiàn)、再解決，牽動(dòng)學(xué)生的思維，使他們親歷問(wèn)題探究過(guò)程，深刻領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法，在掌握知識(shí)的同時(shí)質(zhì)疑，批判、探究、反思、創(chuàng)新，從而獲得知識(shí)的力量，感受知識(shí)發(fā)展的迂回曲折，有利于批判性思維的培養(yǎng)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

面對(duì)高考全國(guó)卷，題型靈活多變，加上解析幾何本身所具有的研究難度，我們的教師如果不能在平時(shí)教學(xué)中全面地把握好研究圓錐曲線的特點(diǎn)，看透命題者的意圖，并不斷滲透在日常的教學(xué)中，而讓學(xué)生們高考中取得優(yōu)異的成績(jī)，那么還將會(huì)有很長(zhǎng)的路要走.筆者希望廣大教師直面教學(xué)中的問(wèn)題，因?yàn)橹挥姓嫜芯坎艜?huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì).

1.楊冬香.走出解析幾何學(xué)習(xí)的誤區(qū)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（5上旬）.

2.章建躍.關(guān)注學(xué)生的感受最重要［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（5）.J