傅 勤

(蘇州科技大學 數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009)

數(shù)學分析是數(shù)學類(數(shù)學與應用數(shù)學、信息與計算科學)專業(yè)學生的一門核心基礎(chǔ)課程，探討其教學改革問題具有重要的意義. 關(guān)于該課程的教學改革，已有較多的研究成果[1-4]，文獻[1]通過剖析數(shù)學分析與初等數(shù)學、數(shù)學史、泛函分析等課程之間的內(nèi)在聯(lián)系，就如何改革數(shù)學分析的教學方法，提高學生的學習興趣、創(chuàng)新能力等提出了幾點建議；文獻[2]則探討了如何根據(jù)數(shù)學分析不同類型的教學內(nèi)容采用相應的教學方法, 充分發(fā)揮數(shù)學分析對學生學習能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的作用；文獻[3]從提高學生學習數(shù)學分析課程的興趣等方面對課程進行了改革和探索；文獻[4]則圍繞素質(zhì)教育的要求，給出了對信息與計算科學專業(yè)數(shù)學分析課程教學改革的一些體會，提出了一些建議. 既要重視基礎(chǔ)理論知識教育，又要強調(diào)實際問題應用，這已成為近年來課程教學改革的主要關(guān)注點. 隨著電子計算機的迅速發(fā)展和大數(shù)據(jù)時代的到來，針對一些理論性較強的數(shù)學基礎(chǔ)課程，如何進行相應的教學改革，以適應時代發(fā)展的需求，這是值得思考的問題.

筆者多年來一直從事信息與計算科學專業(yè)數(shù)學分析課程的教學工作，在此，就如何提高課堂教學效果，并結(jié)合專業(yè)特點，將理論知識應用到解決實際問題中去等，談一些做法和設(shè)想，望能起到拋磚引玉的作用.

1 數(shù)學分析課程教學存在的問題

數(shù)學分析作為信息與計算科學專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課程，在教與學這兩個方面，仍有許多不足之處.

(1)學生在學習本課程過程中，遇到的主要難點：一是對同一問題，往往會有多種解決方法，如何選擇最佳方法？二是課程中概念多，定義、定理多，如何加深理解并記住這些概念、定義和定理？在課堂教學過程中，怎樣幫助學生解決這兩個難點(應該也是學習其他課程的難點)，從而提升學生的學習能力，這是值得探討的問題.

(2)作為學生第一學期就學的一門基礎(chǔ)學科，數(shù)學分析缺乏與其他相關(guān)學科的互相“滲透”，這種“滲透”包含了兩層意思：一是其他學科的知識“滲透”到數(shù)學分析中，二是數(shù)學分析的知識“滲透”到其他學科中，即所謂的“輸入”“輸出”關(guān)系. 就教材上的教學內(nèi)容而言，數(shù)學分析學科還是自成一體，從而構(gòu)成了一個封閉系統(tǒng)，這一特點制約了該學科向縱深發(fā)展.

(3)一年一度的大學生數(shù)學建模競賽為數(shù)學分析知識的應用提供了很好的平臺，如何利用這個平臺，尋求理論知識在解決實際問題中的應用，從而激發(fā)學生學習本課程的積極性，就目前而言，這方面做得還不夠.

(4)從教學方法和教學手段看，主要采用“粉筆+黑板”的方式，利用現(xiàn)代教育技術(shù)進行教學的很少. 本課程在應用一些優(yōu)秀的數(shù)學軟件(如Mathematica, Matlab),構(gòu)建數(shù)形結(jié)合、動畫模擬等模式的多媒體教學環(huán)境，并結(jié)合實際問題進行計算機仿真計算等方面，做得還很不夠.

2 教學改革的嘗試

針對上述不足之處，結(jié)合本課程的特點，筆者在實際教學中，做了以下嘗試.

(1)突出重點，注重對比. 備課時理出重點，重要的定理、難點和不同方法的適用情形等，重點部分精講，要求學生完全掌握. 例如，在數(shù)項級數(shù)這一章，關(guān)于正項級數(shù)收斂性的判別有四種方法(比較判別法、比式判別法、根式判別法和積分判別法)，選擇哪種方法判別，這是個難點. 針對這種情況，筆者將十幾道典型的題目寫在黑板上，不進行具體計算，只是讓學生一起討論用哪種方法判別較為合適，通過這種主題討論和題與題之間的對比，得出了每種判別法的適用情況，使學生茅塞頓開. 注重了不同方法的對比，抓住了每個章節(jié)的重點部分，其他部分的學習也就輕而易舉了.

(2)承上啟下，深入淺出. 一方面，每次上課時，先用十分鐘左右的時間對上次課的內(nèi)容做個總結(jié)，然后再講新的內(nèi)容，由此，既總結(jié)復習了前面的內(nèi)容，又順暢了本堂課的新內(nèi)容銜接，收效甚好. 另一方面，注重教學內(nèi)容的承上啟下，盡量將新的概念和方法看成只是在前面所講內(nèi)容上再加一點，由此強調(diào)了學科知識的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性，也避免了學生產(chǎn)生內(nèi)容多而散的感覺. 例如，講反常積分時，重點強調(diào)反常積分就是定積分再加上極限，而極限和定積分為已學內(nèi)容，由此將反常積分這個新內(nèi)容簡化了；講重積分時，重點強調(diào)重積分就是定積分在被積函數(shù)自變量個數(shù)和積分區(qū)域維數(shù)兩方面的擴展，由此引出二重積分、三重積分的概念，并進一步引出n重積分，最后將各類積分(定積分、二重積分、三重積分和n重積分)統(tǒng)一到一個表達式中，深入淺出地講述了積分內(nèi)容，收到了很好的教學效果.

(3)一門學科與相關(guān)學科的互相“滲透”，這是學科發(fā)展的生命力.對數(shù)學分析而言，筆者在實際教學中，注重抓了兩頭：一是“輸入”，即將其他學科的知識點應用到本課程的教學中，如在講三角級數(shù)的正交性時，借助于高等代數(shù)中基、正交基等概念，描述出了傅里葉級數(shù)的構(gòu)建過程；二是“輸出”，即將數(shù)學分析“滲透”到其他學科中去，如在講述傅里葉級數(shù)時，結(jié)合信息與計算科學的專業(yè)特點，進一步介紹了信號傳輸中的傅里葉變換、小波變換等，擴展了學生的知識視野，激發(fā)了學生的學習熱情.

(4)利用好數(shù)學建模這個平臺，結(jié)合課程內(nèi)容講解相應的競賽題，并讓學生練，讓他們體會到理論知識在實際問題中的應用性. 例如，2010年全國大學生數(shù)學建模A題“儲油罐的變位識別與罐容表標定”涉及的知識點就是重積分的應用問題. 利用三重積分分別計算出變位前后儲油罐內(nèi)油的體積，并與罐容表標定刻度進行對接，由此推算出儲油罐的變位角度. 筆者在講解完數(shù)學模型后，讓學生用Mathematica軟件進行仿真計算，并利用仿真圖刻畫出運算結(jié)果誤差的范圍. 實踐說明，這種教學方法提高了學生的學習積極性，比在課堂上反反復復講枯燥的理論強多了.

(5)蘇州科技大學針對信息與計算科學的專業(yè)特點，在數(shù)學分析課程中添加了實驗教學環(huán)節(jié)，目的是讓學生盡早地接觸到與專業(yè)有關(guān)的軟件編程等相關(guān)工作. 筆者利用該課程每學期10課時的實驗教學環(huán)節(jié)，做了以下三方面的工作.

1)指導學生利用Mathematica軟件進行符號運算，如求極限、導數(shù)和積分等. 一方面讓學生驗證和鞏固所學的理論知識；另一方面讓學生感悟到借助于現(xiàn)代工具的重要性，如針對一些復雜的不定積分題，計算機瞬時就能給出解析表達結(jié)果.

2)針對相關(guān)的數(shù)學建模題，在課堂上建好數(shù)學模型后，筆者指導學生到機房進行編程運算.

3)程序運算給人們的感覺往往是：運行鍵一按，結(jié)果就顯示在屏幕上了. 事實上，面對一些復雜系統(tǒng)和數(shù)據(jù)分析的問題，計算機也是算得很“累”的. 筆者主要從事復雜系統(tǒng)和數(shù)據(jù)分析方面的研究工作，經(jīng)常會編一些復雜的程序，其運行時間甚至可達二十多個小時. 筆者就將合適的復雜程序演示給學生看，讓他們知曉實際問題的復雜性和學好基礎(chǔ)知識的重要性(復雜問題也是基礎(chǔ)問題組合而成的).

通過以上實驗教學環(huán)節(jié)的運作，培養(yǎng)了學生的學習能力、創(chuàng)新能力、獨立解決問題的能力和團隊協(xié)作精神，收效甚好.

以上是筆者對本課程教學改革的一些嘗試和想法. 作為課程改革尚有很多工作要做，例如能否將本課程的教學改革方法應用到其他數(shù)學基礎(chǔ)課程上，如高等代數(shù)、解析幾何等，這都有待作進一步地探究. 至于在教學中如何培養(yǎng)學生的綜合能力筆者已在文獻[5]中作了探討.