安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 郭要紅 (郵編：241000)

本刊2018年第2期有獎(jiǎng)解題擂臺(116)如下：

題 已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，用初等求差法證明：

a3b+b3c+c3a≥a2b2+b2c2+c2a2．

1 評注

評注人收到攻擂解答4份，其中2份來稿是正確的，按來稿的時(shí)間順序，作者依次是：楊續(xù)亮(安徽省岳西縣湯池中學(xué)，246620，2018年4月19 日)，宋慶(江西永修縣一中，330304,2018年5月14日)，本擂題的獲獎(jiǎng)?wù)呤菞罾m(xù)亮老師.

2 擂題的否定

擂題(116)是不成立的，反例如下.

反例1 (楊續(xù)亮老師提供)

若令a=1,b=2,c→0，則2+8c+c3≥4+4c2+c2?2>4，不可能.

反例2 (宋慶老師提供)

當(dāng)a=4,b=6,c=1時(shí),604<628，不等式不成立.

3 錯(cuò)證的原因

在兩份認(rèn)為擂題正確的來稿中，其證明的開始均“不妨設(shè)a≥b≥c”，這是證明錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因. 注意到欲證不等式是輪換對稱式，只能設(shè)a是a、b、c中最大者或設(shè)a是a、b、c中最小者.

4.修正

若考慮擂題的條件，可將擂題修改為：

命題 若a、b、c是一個(gè)三角形的三邊，用初等求差法證明：

a3b+b3c+c3a≥a2b2+b2c2+c2a2．

上述命題是成立的，事實(shí)上它等價(jià)于第二十四屆(1983)國際數(shù)學(xué)奧林匹克題6(美國提供).這可能也是擂題產(chǎn)生的源泉.

證明 因?yàn)橛C不等式是輪換對稱式，設(shè)a是a、b、c中最大者，則

a3b+b3c+c3a-(a2b2+b2c2+c2a2)

=a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)

=a(b-c)2b+c-a+b(a-b)(a-c)(a+b-c).

顯然上式是非負(fù)的，從而原式成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，即這三角形為正三角形時(shí)等號成立.