呂阿尉

（河間市第一中學(xué) 河北 河間 062450）

1 引言

高中數(shù)學(xué)中很多板塊、題目等都運(yùn)用到了分類討論思想。多媒體的優(yōu)勢(shì)運(yùn)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用注入了活力，本文根據(jù)分類討論最常用到的點(diǎn)做了以下分析。

2 分類思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用

分段函數(shù)一般需要將函數(shù)在不同取值范圍內(nèi)的情況進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，而且分段函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中也是常常會(huì)用到的，本文就以一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中用到的的例子進(jìn)行分析。例1：某公司準(zhǔn)備給參加公司活動(dòng)的顧客發(fā)放愛心回饋大禮包，預(yù)計(jì)能來參加公司活動(dòng)的有15～25人左右，該公司準(zhǔn)備在A和B兩家公司進(jìn)行選擇采購(gòu)大禮包，其產(chǎn)品都是一致的，A公司和B公司給出的單價(jià)都是1500元/份，同時(shí)，A公司表示可以給打八五折的折扣，而B公司則表示，可以在打九折的基礎(chǔ)上，多贈(zèng)送公司一份同樣的大禮包，那么，該公司選擇在A公司還是B公司進(jìn)行選購(gòu)產(chǎn)品更加實(shí)惠呢？

解答：針對(duì)這個(gè)問題，我們可以先設(shè)出變量，將實(shí)際能參加活動(dòng)的人數(shù)設(shè)為未知數(shù)x，而將在變量x下，實(shí)際需要支付A公司的禮品費(fèi)用為Y1，實(shí)際需要支付B公司的禮品費(fèi)用為Y2；

那么Y1=1500X*0.85=1275X；Y2=1500（X-1）*0.9

（1） 當(dāng) Y1=Y2時(shí)， 即 1275X=1500（X-1）*0.9，X=18，即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)為18人時(shí)，在A公司或者B公司采購(gòu)產(chǎn)品的費(fèi)用是一樣的；

（2）當(dāng)Y1＞Y2時(shí)，即1275X＞1500（X-1）*0.9，X＜18，即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)15＜x＜18人時(shí)，在B公司采購(gòu)產(chǎn)品的費(fèi)用更低；

（3）當(dāng)Y1＜Y2時(shí)，即1275X＜1500（X-1）*0.9，X＞18，即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)18＜x＜25人時(shí)，在B公司采購(gòu)產(chǎn)品的費(fèi)用更低；

3 分類思想在分析絕對(duì)值方面的應(yīng)用

含有絕對(duì)值的等式或者不等式，由于要討論絕對(duì)值符號(hào)里面的內(nèi)容什么時(shí)候?yàn)檎龜?shù)什么時(shí)候?yàn)樨?fù)數(shù)，以方便去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，所以往往這類問題一般都要用到分類討論。下面舉例加以說明：

例2：一個(gè)很簡(jiǎn)單的運(yùn)算，│x-3│＜3x中x的取值范圍？解答的時(shí)候就要用到分類討論：

（1）當(dāng)x＞3時(shí)，那么│x-3│＞0，可以直接去掉絕對(duì)值符合，即原公式變?yōu)閤-3＜3x的解，公式變形為-2x-3＜0的解，為x＞-3/2，但是由于這個(gè)等式是在x＞3的前提下討論的，所以當(dāng)x＞3時(shí)，│x-3│＜3x公式的取值范圍就是x＞3；

（2）當(dāng)x=0時(shí)，0＜0，無解；

（3）當(dāng)x＜3時(shí)，│x-3│絕對(duì)值里面原本是負(fù)數(shù)，就應(yīng)該加負(fù)號(hào)去絕對(duì)值，即變?yōu)?x+3，就是當(dāng)x＜3時(shí)，求-x+3＜3x中x的取值范圍，可得到解3/4＜x＜3；

（4）綜合上述中（1）（2）和（3）的討論，x最終的取值范圍就是x≥3/4且x≠3，解答完畢。

4 分類思想在函數(shù)圖形中的應(yīng)用

很多函數(shù)問題的解答中都要用到分類討論的思想，引入分類討論可以將函數(shù)問題解答起來更加簡(jiǎn)單，思路更加清晰。舉一個(gè)常見的例子，例3：圓形x2+y2=4與直線y=Kx+4有幾個(gè)交點(diǎn)？解答：首先明確x2+y2=4是原點(diǎn)在定點(diǎn)，半徑為2的圓形，y=Kx+4很明顯直線經(jīng)過（0，4）這個(gè)點(diǎn)，

（1）當(dāng)K=0，那么直線就是y=4，與圓沒有任何交點(diǎn)。

（2）當(dāng)k＜0，那么函數(shù)y=Kx+4是遞減函數(shù)，先討論當(dāng)圓與直線相切時(shí)候，此時(shí)圓和直線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么通過畫圖計(jì)算，圓半徑是2，經(jīng)過（0，4）點(diǎn)，而且圓和直線相切為直角，那么直線與圓的切點(diǎn)處半徑，以及Y軸構(gòu)成的直角三角形頂角是30度，那么假設(shè)直線與x軸的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為z，根據(jù)直角三角形兩邊平方和等于第三邊平方和，z2+42=（2z）2，得出此時(shí)直線與X軸交點(diǎn)為（4√3，0）那么根據(jù)函數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)（4√3，0）和（0，4），可以得出直線方程k=-√3/3，由此可以得出：

①當(dāng)k＜-√3/3時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)k=-√3/3，直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)-√3＜k＜0，直線與圓無交點(diǎn)。

（3）當(dāng)k＞0，通過對(duì)（2）的分析可知，當(dāng)k＞0時(shí)，是與k＜0時(shí)，關(guān)于Y軸對(duì)稱的，所以通過相同的解題方法可以得出：

①當(dāng)k＞√3/3時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)k=√3/3，直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)0＜k＜√3/3，直線與圓無交點(diǎn)。

所以綜上所述：k=√3/3或者k=-√3/3時(shí)，圓與直線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k＞√3/3或k＜-√3/3時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)-√3/3＜k＜√3/3，直線與圓無交點(diǎn)。分類討論在對(duì)于函數(shù)圖形之間的交差問題、交點(diǎn)問題、位置問題、圖形本身大小等問題中會(huì)經(jīng)常用到。再比如我們學(xué)習(xí)討論圓的幾種位置關(guān)系的時(shí)候，就可以用到分類討論，比如通過圓與圓之間的半徑長(zhǎng)度以及頂點(diǎn)位置等，可以大致的將圓的位置分為內(nèi)涵、內(nèi)切、相交、外切、外含等情況。

5 分類討論在概率問題中也經(jīng)常用到

概率問題中有一些需要求的問題也是有多個(gè)組成部分構(gòu)成的，需要用到分類討論的原理。例4：一個(gè)盒子里放著寫有編號(hào)的1、2、3、4、5、6、7、8、9，九個(gè)小球，從中任意挑選2個(gè)，那么選出來的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率是多少？

解答：從題目可以分析，如果取出來兩個(gè)奇數(shù)，那么奇數(shù)和奇數(shù)的成績(jī)還是奇數(shù)，如果取出來兩個(gè)偶數(shù)，偶數(shù)與偶數(shù)的成績(jī)是偶數(shù)，如果取出來的是一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，兩者相乘的結(jié)果是偶數(shù)。所以此處要知道兩數(shù)之積是偶數(shù)的概率，就要分類將取出來的是兩個(gè)偶數(shù)以及取出來的是一奇一偶的概率相加。在9個(gè)小球之中隨意抽取兩個(gè)球的話，概率是，而抽出兩個(gè)偶數(shù)的概率是取出一奇一偶的概率*所以最后求出的概率是

6 其他應(yīng)用

在一些數(shù)學(xué)比較綜合類的大題中，也經(jīng)常會(huì)涉及到分類討論，這往往是由于公式的限制、參數(shù)值在變化、條件不唯一、需要某些數(shù)學(xué)運(yùn)算以確定函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性討論等引起的需要分類進(jìn)行討論，所以高中數(shù)學(xué)中對(duì)于分類討論這一板塊必須要引起我們足夠的重視。

[1]王小慈.對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入方法與技巧的思考[J].成才之路，2016年11期.

[2]王格林.談中學(xué)數(shù)學(xué)新課的導(dǎo)入方法[J].課程教材教學(xué)研究.中教研究，2014年12期.