張勁松

【摘要】中法數(shù)學教育具有很多共性，也存在很多個性的地方，相互借鑒是必由之路.特別是新一輪以AI為代表的新技術(shù)革命的到來，數(shù)學的基礎性、工具性作用日益凸顯.通過教育學習數(shù)學，進而掌握數(shù)學，運用數(shù)學精確的定量描述和嚴密的邏輯推理，為科技奠定必要的基礎，或者直接作為科技的工具，從幕后到臺前直接為社會創(chuàng)造價值.法國把“抽象”的數(shù)學與AI兩者緊密聯(lián)系起來，而AI是繼蒸汽機、計算機、互聯(lián)網(wǎng)之后的又一次科技革命.這無疑為我們提了醒：數(shù)學大有用武之地.

【關鍵詞】數(shù)學;教育;AI;中法數(shù)學教育

引子：不得不說的背景

2018年1月，法國總統(tǒng)馬克龍訪華.期間，法國著名數(shù)學家、2010年菲爾茲獎獲得者、法國巴黎高師教授，亨利·龐加萊研究所所長維拉尼先生主持中法人工智能合作論壇.論壇討論中法之間、科學和工業(yè)之間、數(shù)學和應用之間的多種可能聯(lián)系.維拉尼先生邀請了在“抽象”層面進行人工智能研究的高層次數(shù)學家.論壇闡釋數(shù)學對于人工智能發(fā)展的重要性，而非解釋數(shù)學技巧.

中法數(shù)學教育具有很多共性，也存在很多個性的地方，相互借鑒是必由之路.特別是新一輪以AI為代表的新技術(shù)革命的到來，數(shù)學的基礎性、工具性作用日益凸顯.通過教育學習數(shù)學，進而掌握數(shù)學，運用數(shù)學精確的定量描述和嚴密的邏輯推理，為科技奠定必要的基礎，或者直接作為科技的工具，從幕后到臺前直接為社會創(chuàng)造價值.法國把“抽象”的數(shù)學與AI兩者緊密聯(lián)系起來，而AI是繼蒸汽機、計算機、互聯(lián)網(wǎng)之后的又一次科技革命.這無疑為我們提了醒：數(shù)學大有用武之地.1 我印象中的法國數(shù)學教育

2013-2017年，筆者有幸參加了兩次中法中學生數(shù)學交流活動，這是中法兩國政府間重要的人文交流項目.維拉尼先生作為首屆中法中學生數(shù)學交流活動的法國形象大使，對活動給予了美好的祝福.兩次活動期間我與法國同行進行交流和研討，對法國數(shù)學教育有些點滴了解.

中國和法國都是數(shù)學大國、文化大國、科技大國，在歷史上都創(chuàng)造了燦爛的文明和輝煌的文化.中國傳統(tǒng)數(shù)學的實用算法特色與法國近現(xiàn)代數(shù)學的嚴謹相得益彰，趙爽、劉徽、祖沖之、秦九韶與笛卡兒、費馬、韋達、伽羅華、帕斯卡、柯西、龐加萊等都是蜚聲世界的數(shù)學大師.

中法數(shù)學教育交流源遠流長，特別是近現(xiàn)代交往頻繁.毋庸置疑，16-20世紀，法國是世界數(shù)學的中心，法國數(shù)學家及其成就奠定了眾多現(xiàn)代數(shù)學的理論基礎，使得現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展有了根深蒂固的基石，他們創(chuàng)立了很多數(shù)學分支科學;法國涌現(xiàn)了眾多被認為是數(shù)學界諾貝爾獎——菲爾茲獎獲得者;法國布爾巴基學派“結(jié)構(gòu)”的觀點及實踐對現(xiàn)代數(shù)學產(chǎn)生了深遠影響;我國著名數(shù)學大師陳省身、吳文俊早年在法國讀書求學，他們?yōu)橹袊鴶?shù)學教育事業(yè)的發(fā)展做出了卓越貢獻.

上個世紀50年代數(shù)學教育領域的“新數(shù)”運動，法國是為數(shù)不多成功的國家，成功的主要原因是法國具有扎實的數(shù)學基礎、優(yōu)秀的數(shù)學師資以及對數(shù)學科學的正確認識.

中法數(shù)學教育具有很多共性，如全國統(tǒng)一的教學大綱（課程標準）、高效的課堂教學、專業(yè)的師資、完善的教研（或督學）制度，這些是高質(zhì)量數(shù)學教育的重要保障;由于國情不同、發(fā)展差異，也存在很多個性的地方，如我們的課程內(nèi)容深、選拔性考試要求高、學生學習時間長、訓練強度大，法國課程內(nèi)容廣、重視現(xiàn)代數(shù)學、強調(diào)精英教育等等.

1.1法國基礎教育概況

法國的教育體制與我國相似.法國小學五年、初中四年;高中分為普通高中、技術(shù)高中和職業(yè)高中三類，其中普通高中和技術(shù)高中約占50%，職業(yè)高中約占50%;普通高中和技術(shù)高中學制3年，職業(yè)高中學制2-4年.普通高中和技術(shù)高中會考成績合格者，可以申請進入普通大學學習;但要進入重點大學學習，需要上2年的大學預科班，然后申請;高一不分科，高二開始分為：文學、經(jīng)濟和社會、自然科學等三類.法國的數(shù)學教學大綱由法國國民教育部組織數(shù)學教師、數(shù)學家和數(shù)學教育工作者共同制定，教學大綱確定周課時、學年課時，教學大綱5-7年修訂一次，出版單位根據(jù)教學大綱進行教材編寫，教材由學校自主決定選用，無教材審查制度.

1.1.1訪問Janson De Saily和Jacques Decour兩所學校

2013年12月，我訪問了巴黎的兩所學校：Janson De Saily和Jacques Decour，兩所學校都是規(guī)模很大的公立學校.現(xiàn)場觀摩了五節(jié)數(shù)學課：十年級的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，九年級的正整數(shù)指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪、一元一次不等式的解法，初中的中文數(shù)學課（中文國際班），十二年級理科班（大學預科）的導數(shù).每堂課的時間都是55分鐘.觀摩五節(jié)課后總的感受是：課堂教學氛圍與我們類似，教室非常樸素;教師要求非常嚴格，教師板書過程規(guī)范;學生筆記清晰，作業(yè)書寫規(guī)范，學生沒有教輔資料;整體教學要求低于我們;注重知識內(nèi)容的聯(lián)系與綜合;強調(diào)圖形計算器等工具的使用.

1.1.2訪問路易大帝高中

2017年1月，我訪問了路易大帝高中和巴黎狄德羅大學（第七大學）.就課堂教學、師資機制以及教學大綱制訂、教材出版選用等情況進行了交流.

路易大帝高中和亨利四世高中是巴黎僅有的兩所自主招生的高中，其他高中基本按學區(qū)就近入學.路易大帝高中是極其典型的精英學校，十二年級后70%的學生進入大學預科，整個法國平均是12%;進入大學預科是進入重點大學的必要條件，進入預科后通過多次考試有30%的學生進入重點大學，剩下的70%進入普通大學.十二年級后直接申請普通大學，不需要預科.

在路易大帝高中，我聽了十二年級的一堂課.這個班里有36位學生，27位女生、9位男生.內(nèi)容是關于無窮級數(shù)收斂的，我們高三年級沒有這些內(nèi)容，大學數(shù)學專業(yè)有，但也到了大一第二個學期.聽完課后，我們與法國國民教育部數(shù)學總督學Erick Roser、學校校長、任課教師進行了交流.

●關于數(shù)學教學時間.7-11年級的學生每周4小時數(shù)學課，12年級8小時的數(shù)學課.

●法國的師資機制.要申請學校教師職位，首先參加國民教育部組織的資格考試，然后再填寫個人經(jīng)歷、家庭狀況、個人意向等信息;由國民教育部人力資源部門進行考察評分，確定錄用情況，接受教師工會監(jiān)督;學校校長無權(quán)直接選擇錄用教師.

學校教師主要按教育經(jīng)歷、資歷分為11級，沒有論文發(fā)表、課題研究等考核，主要是完成每周18小時的教學工作（數(shù)學）.同一職級教師在法國全境薪水、待遇完全相同，沒有任何差異.

教師業(yè)務提高完全是個人動力，沒有各種教研、培訓等事情.對老師的考核分兩部分：學校的日常行為考核，當?shù)貙W科督學的業(yè)務考核.業(yè)務考核教學能力和專業(yè)水平，有規(guī)范的報告體例，但沒有詳細的量化表格.學科督學是法國教育的一大特色，國民教育部大的學科督學很多，事情很多，權(quán)力很大，學科教師極其敬畏學科督學.學科督學類似國內(nèi)的視導、教研，但比視導教研員厲害，因為他們是名符其實的判官，其職能更像是數(shù)學教育局長.

●精英教育和大眾教育的關系.路易大帝高中是極其典型的精英學校.精英教育和大眾教育不矛盾，相輔相成.教育公平、教育均衡不是取平均數(shù).人人接受良好的教育，不同的人通過教育有不同的發(fā)展，才是公平、均衡的真諦.否則，數(shù)以億計的高素質(zhì)勞動者，千萬計的專門人才，一大批拔尖創(chuàng)新人才何以落實？！

1.1.3訪問巴黎狄德羅大學

巴黎狄德羅大學（又稱第七大學），是一所理工、醫(yī)學、人文、藝術(shù)門類齊全的非常著名的綜合性大學.在狄德羅大學，我們訪問了數(shù)學系及IREM的Prof Rene Cori和Prof Michele Artigue.一搭眼覺得面熟，肯定在數(shù)學教育類期刊見過.對方介紹時，Prof Michele Artigue是ICMI（國際數(shù)學教育委員會）執(zhí)委，在2016年漢堡第14屆國際數(shù)學教育大會上獲得F·克萊茵獎，她長期從事數(shù)學教育研究，與我國北京師范大學、華東師范大學從事數(shù)學教育的很多同行都有聯(lián)系和合作.

狄德羅大學數(shù)學系及IREM承擔了國民教育部的很多項目，他們參與了法國數(shù)學教學大綱的制訂，更重要的是他們組織實施師資培訓工作.他們認為，師資培訓極其重要，但實施很難.因為在法國，師資培訓不是政府行為，不是強制的，完全是教師自愿.由于諸多因素的限制，教師參與度極其有限，盡管她們的IREM參與國民教育部的教師資格考試工作，以及自身具有教師資格認證職能.在法國，教師的錄用寧缺毋濫，不達到標準不行.一旦錄用了，教師就是公務員，工作很穩(wěn)定，所以上升的動力不大.他們說，在法國最優(yōu)秀的高中畢業(yè)生都去了商學院、醫(yī)學院，錄用的教師很少有一流大學畢業(yè)的.我們說，這可能是全球的通病.如何把最一流的大學畢業(yè)生吸引到學校，是各國政府需要做的大工程.他們引以為豪的是她們數(shù)學系及IREM的圖書館，里面有很多數(shù)學教材及數(shù)學教育類書籍.

1.2IHP（Institute Henri Poincare）和法國教授眼中的數(shù)學教學

在法國期間，我們的工作是在亨利·龐加萊研究所（Institute Henri Poincare）進行的.亨利·龐加萊是蜚聲世界的數(shù)學家，被稱為繼高斯之后數(shù)學史上最后一位全才，這個研究所就是以他的名字命名的.

我們想當然地認為，IHP類似中科院數(shù)學所，國家層面的數(shù)學科研機構(gòu).經(jīng)與對接方Martin教授交流，稍微了解了IHP的性質(zhì)，但還有很多疑惑.Martin教授說法國高等教育體系極其復雜，很難說清楚.從Martin教授的談話中，結(jié)合我們的理解，可能是這樣：大學教授在大學主要是教學，在大學拿工資;做課題、項目要到大學外的研究所注冊，注冊的門坎不高，只要有博士學位、在大學從事教學即可;注冊通過后，可到研究所從事相關研究，研究所提供辦公場所、經(jīng)費支持，但不拿工資;研究所公布相關研究課題和項目內(nèi)容.這和國內(nèi)體制極其不同，很難想象一個北師大的數(shù)學教授，教學之余能跑到中科院數(shù)學所再從事研究工作.

法國數(shù)學教授眼中的法國、中國數(shù)學教學情況是什么？對于這個問題，Martin教授的反應是法國的數(shù)學教育與自己的期望有差距.他說中國好，唯一的依據(jù)是中國學生的PISA和IMO出色的成績.這種理由意料之中，情理之中.我說這只是一個窗口，看到的只是一部分，甚至一個點.不過，絕大多數(shù)人對外部世界的了解，何嘗不如此啊？！看到的只是海平面上的冰山.

說到法國近現(xiàn)代數(shù)學及數(shù)學家，如笛卡兒、費馬、韋達、伽羅華、帕斯卡、柯西、拉格朗日、拉普拉斯、龐加萊、勒讓德、雅克比、泊松、傅里葉、嘉當?shù)?，Martin教授有強烈的民族自豪感.他說，一戰(zhàn)前，毫無疑問，法國是世界數(shù)學的中心;一戰(zhàn)后，成了德國.戰(zhàn)爭犧牲了很多有才華的年輕人，這是極大的損失.

2 數(shù)學、教育與科技

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學.精確的定量描述，嚴密的邏輯推理是數(shù)學的兩大特征.對現(xiàn)實世界中的對象用數(shù)、式、方程、函數(shù)以及圖形（或圖象）描述后，為了更好地認識這些對象，我們引進了運算，形成了運算律.我們需要根據(jù)法則和運算律進行運算，幫助學生理解算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題.推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式.邏輯推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算.通過運算和推理，體會數(shù)學內(nèi)在的邏輯力量，用主觀認識客觀，培養(yǎng)理性思維，認識數(shù)學的價值.定量描述和邏輯推理的前提是數(shù)學模型的建立.數(shù)學模型的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識.

對比中法數(shù)學課程（16歲之前）的內(nèi)容及要求，一個明顯的感受是，中國的容量大、要求高，如絕對值的概念、一元二次方程的求根公式等.從教學和學習的時間看，中國遠遠長于法國;而且中國學生訓練強度很大.從代數(shù)與幾何的呈現(xiàn)來看，法國對數(shù)論的知識內(nèi)容要求較高，對圖形的推理論證要求較低.雖然中國學生在IMO和PISA中都取得了優(yōu)異的成績，但“分數(shù)高”是不是就等價于“優(yōu)秀”，這是我們需要認真思考的問題.

從發(fā)展的角度看，我們強調(diào)大眾教育，法國重視精英教育，12年級后法國的教育是典型的精英教育，上大學預科的學生學習的數(shù)學知識范圍、容量和難度明顯高于我國.之所以這樣，原因是多方面的，諸如經(jīng)濟發(fā)展的程度、文化的差異、國家的傳統(tǒng)等等，如果需要借鑒的話，不是簡單的取舍，照搬，需要綜合考慮.

雖然有差異，但是數(shù)學學科的育人價值是相同的，那就是通過概念、判斷、推理等邏輯思考，以及比較、分析、綜合、抽象和概括等認識方法，培養(yǎng)學生的理性思維.只有加強理性思維，才能更好地認識數(shù)學的科學、應用和文化價值;才能使學生在學習數(shù)學的基礎上掌握數(shù)學.學習數(shù)學是現(xiàn)代社會每個公民的生存需要，而掌握數(shù)學則是每個公民科學素養(yǎng)的重要指標.

通過教育學習數(shù)學，進而掌握數(shù)學，運用數(shù)學精確的定量描述和嚴密的邏輯推理，為科技奠定必要的基礎，或者直接作為科技的工具，從幕后到臺前直接為社會創(chuàng)造價值.法國把“抽象”的數(shù)學與AI兩者緊密聯(lián)系起來，而AI是繼蒸汽機、計算機、互聯(lián)網(wǎng)之后的又一次科技革命.這無疑為我們提了醒：數(shù)學大有用武之地.

我們欣喜地看到，2018年1月頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》設置了眾多選修課程：為在數(shù)理類，經(jīng)濟、社會、部分理工類，人文類，體育、藝術(shù)類，拓展、生活、地方、大學先修類方面需要不同發(fā)展的學生提供政策保障.這些近現(xiàn)代數(shù)學內(nèi)容是新技術(shù)，特別是AI發(fā)展的基礎.無論是教育理念，還是課程內(nèi)容設置，我們要努力趕上，在新一輪科技革命中占有一席之地.

后記

2018年2月，在維拉尼的積極推動下，法國國民教育部提出了改進數(shù)學教育的21條建議（附后見附件），建議加強法國學校中的數(shù)學教學.此舉有助于彌補一方面數(shù)學天才輩出、另一方面普通民眾素質(zhì)平平之間的鴻溝.

法國一直是當之無愧的世界級數(shù)學大國，但在數(shù)學精英和普通民眾之間，事實上存在著巨大的鴻溝.在法國生活過的人都不難發(fā)現(xiàn)一個怪異現(xiàn)象，即雖然數(shù)學天才輩出，但法國人的日常計算能力都不算太好，普通學生的數(shù)學能力也平平，和中國學生相比并無優(yōu)勢. 這種現(xiàn)象很大程度上歸咎于師資力量薄弱，由于高智商的數(shù)學天才努力向上流動，進入科研、金融等領域，不愿做中小學教師，結(jié)果導致中小學大部分數(shù)學教師不得不降低標準錄用，由此影響了基礎階段的數(shù)學教學.鑒于此，維拉尼接受國民教育部的委托，同法國國民教育部數(shù)學督學特雷西安（Charles Torossian）共同起草了這份報告，研究如何改善數(shù)學教學.

在這份報告中，兩位作者對目前法國的數(shù)學教學極為不滿，稱之為“災難性”的現(xiàn)狀.維拉尼表示，經(jīng)過調(diào)研，他發(fā)現(xiàn)情況比原先預想的更嚴重.

報告提醒說，在學生的整個求學生涯中，數(shù)學占有特殊重要的位置，對升學也有重要影響.而掌握好數(shù)學，對學生來說符號效應遠遠超過實際效用，它可以讓學生進入標準更高、更苛刻的研究領域.但報告注意到，數(shù)學在教學體系中的支配性地位，導致無論是學生還是家長都對這門科目有種廣泛的貶低心理，從七歲的孩子開始，大家就說“數(shù)學真無聊”.

這份報告羅列了21點建議，特別強調(diào)改善對數(shù)學教師的培訓.其中包括從2018年開始，為各級學校的數(shù)學老師開設一個初始培訓項目;并對初高中階段的數(shù)學教師提供持續(xù)跟進的培訓等等. 而針對學生的數(shù)學能力，報告提出希望在所有學校配備基本教學設施，由專人指導來輔助教學;通過增強重復性訓練，讓各個年齡段的學生培養(yǎng)出更嫻熟的計算能力;針對高中生開發(fā)新的教學主題和方法，激發(fā)他們對數(shù)學的熱情.這份報告特別把新加坡的數(shù)學教學作為值得學習的楷模，呼吁從學生的直觀感受入手培養(yǎng)對數(shù)學的認識，并逐漸過渡到抽象思維.

附

法國21條重振法國基礎教育數(shù)學教學水平的建議：

一、小學初級教育

1.對師范大學開設培養(yǎng)小學老師的專門課程.

2.在REP+（困難地區(qū)）小學1到3年級把數(shù)學作為重點學科.

3.在小學1到3年級對顯性教育法的效果通過實驗做出科學評論.

4.在學校安裝教具.

二、數(shù)學：一種有效工具，娛樂方式，一個目標

5.從小通過計算、實驗、口頭描述，對現(xiàn)象抽象化培養(yǎng)孩子數(shù)學能力.

6.再次規(guī)劃/平衡數(shù)學課，使其更有條理，注重學生筆記，重視數(shù)學證明，使用顯性教育法.

7.開展校外組織與學校的交流.

8.加強數(shù)學與其他學科之間的交流.

9.給高中學生提供“補課書”.

10.在“學校項目”里強調(diào)數(shù)學和計算機學習的重要性.

三、數(shù)字與計算

11.從小學一年級練習四則運算.

12.提高心算能力.

13.分階段提高計算能力.

四、師資培訓

14.培養(yǎng)小學老師數(shù)學教學水平，在學區(qū)設置專人幫助有問題的老師.

15.在學校內(nèi)部鼓勵彼此幫助，互相聽課.

16.在五個學校里實驗性建立“數(shù)學實驗室”，與大學建立合作關系.

五、規(guī)劃與檢查

17.把數(shù)學作為國家重點工程.

18.在教育部設立一個專職崗位，由數(shù)學家擔任，確保21條建議的實施.

19.對師資力量做關于男女平等的培訓.

20.由專家制定適用教科書名單.

21.逐步建立并統(tǒng)一教學資源.