易少強，何世平，王杰

海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院，湖北武漢430033

0 引 言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，振動、噪聲和沖擊的控制日益成為一個復(fù)雜而迫切的問題［1］。為此，各國學(xué)者一直致力于機械系統(tǒng)的減振降噪。其中，基于墊高層的設(shè)計理念，是在傳統(tǒng)約束型阻尼結(jié)構(gòu)的基層與阻尼層之間加上墊高層，其能杠桿放大阻尼層的剪切變形，改善結(jié)構(gòu)的損耗因子。墊高層材料可以采用蜂窩狀或蓬松的硬泡沫，該材料能顯著降低結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量，因此被廣泛應(yīng)用于航空航天和交通運輸?shù)阮I(lǐng)域的減振降噪工程中。

隨著對約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)研究的不斷深入，國內(nèi)外學(xué)者在動力學(xué)建模、參數(shù)分析以及優(yōu)化設(shè)計等方面取得了許多成果。Falugi［2］對約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的減振機理進行了分析，并進行了實驗驗證。Rogers等［3］對約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)試樣梁進行了參數(shù)研究，結(jié)果表明，在墊高層厚度增加20%的情況下，振動響應(yīng)的幅值降低16.4%。Huang等［4］對約束型墊高阻尼梁進行了振動實驗，證明使用微孔泡沫作為墊高層可以將振幅降低80%。Chaudry等［5］分別利用傳遞函數(shù)法和有限元法建立了約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程，同時，通過對分段和未分段約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)進行頻率響應(yīng)分析，驗證了理論模型的有效性。燕碧娟等［6］針對農(nóng)業(yè)機械中的管狀過渡阻尼結(jié)構(gòu)，使用ANSYS子問題逼近法進行了參量優(yōu)化。隨后，燕碧娟等［7］利用分布參數(shù)傳遞函數(shù)法對層間過渡約束阻尼懸臂板進行動力學(xué)響應(yīng)特征分析，探討了過渡層參數(shù)對動力學(xué)特性的影響。

約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)在理論和工程應(yīng)用方面越來越成熟，然而結(jié)構(gòu)振動級的要求也越來越嚴(yán)格，為使約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)各項性能指標(biāo)達到最佳，需要對其動力學(xué)性能進行優(yōu)化。傳統(tǒng)的優(yōu)化策略往往是針對連續(xù)域變量，獲得的最優(yōu)解的實用性有待商榷，特別是當(dāng)擁有最優(yōu)解屬性的材料不容易獲得或難以研制出來時，該優(yōu)化結(jié)果對實際工程的指導(dǎo)意義不大。為此，本文擬通過改進通用性和有效性較佳的粒子群算法，來對約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)連續(xù)域變量（結(jié)構(gòu)厚度）和離散域變量（材料類型）進行優(yōu)化設(shè)計，以期將獲得的最優(yōu)解直接用于指導(dǎo)約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的設(shè)計。

1 約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型

1.1 基本假設(shè)條件

約束型墊高阻尼板的物理模型如圖1所示，包含約束層、阻尼層、墊高層和基層，其中H1，H2，H3和H4分別表示基層、墊高層、阻尼層和約束層上表面到基層中面的距離?；谌缦录僭O(shè)條件對其進行動力學(xué)分析［8］：

1）阻尼結(jié)構(gòu)服從小變形理論，且同一截面任一點具有相同的橫向位移。

2）各層之間無相對滑移，層間位移保持連續(xù)性。

3）墊高層和阻尼層主要發(fā)生剪切變形。

4）基層和約束層的幾何關(guān)系滿足Kirchhoff假設(shè)，其剪切效應(yīng)小。

5）忽略各層轉(zhuǎn)動慣量的影響。

1.2 本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)薄板彎曲理論，可以得到各層板內(nèi)任一點的位移：

式中：h2和h3分別為墊高層與阻尼層厚度；u，v，w分別為基層和中面沿x，y，z方向的位移；U，V，W為各結(jié)構(gòu)層內(nèi)任一點沿x，y，z方向的位移；αx和αy分別為墊高層沿x軸和y軸方向的剪切變形；βx和βy分別為阻尼層沿x軸和y軸方向的剪切變形。

在微小位移和微小變形情況下，根據(jù)應(yīng)變—位移關(guān)系，可以得到各層板內(nèi)任一點的應(yīng)變：

式中：εx和εy分別為沿x軸和y軸方向的應(yīng)變；γxy為切應(yīng)變。根據(jù)廣義胡克定律，可以得到各層的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系：

式中：σx和σy分別為沿x軸和y軸方向的應(yīng)力；τxy為切應(yīng)力；E為彈性模量；υ為泊松比。

1.3 能量方程

根據(jù)薄板彎曲理論和能量原理，可得約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)勢能的表達式為：

式中：UE為拉伸變形和彎曲變形貢獻的勢能；UG為剪切變形貢獻的勢能；G2為墊高層剪切模量；G3為阻尼層剪切模量；Δ為單元的位移向量；KE為發(fā)生拉伸和彎曲變形單元的剛度矩陣；KG為發(fā)生剪切變形單元的剛度矩陣。約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的剛度矩陣的表達式為

約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)動能的表達式為：

式中：Tu為拉伸變形貢獻的動能；Tw為彎曲變形貢獻的動能；ρi為各層密度；Mu為發(fā)生拉伸變形單元的質(zhì)量矩陣；Mw為發(fā)生彎曲變形單元的質(zhì)量矩陣。約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)剛度矩陣的表達式為

根據(jù)Hamilton變分原理，得到約束型墊高阻尼板的動力學(xué)方程為

式中：為加速度；X為位移向量；F為外部激勵載荷向量。

利用模態(tài)應(yīng)變能法求解時，將自由振動解代入式（12），得到特征方程：

式中，ω*為角頻率復(fù)數(shù)形式的特征值。

求解式（13），得到約束型墊高阻尼板各階模態(tài)頻率和損耗因子：

2 約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化

2.1 粒子群算法

粒子群算法是由 Kennedy等［9］和Eberhart等［10］于1995年提出的一種仿生優(yōu)化計算方法。算法通過模擬自然界生物群體行為，將每個潛在解比擬為某個群體中的個體，這些個體被稱為“粒子”。粒子之間存在信息交流和協(xié)作機制，使整個群體有序地向可能解方向演化，直至找到最優(yōu)解。

設(shè)D維目標(biāo)搜索空間中，種群粒子個數(shù)為N，其中第i個粒子的位置和速度分別為x=在每次迭代尋優(yōu)過程中，根據(jù)適應(yīng)度值的大小評價各粒子的優(yōu)劣，確定粒子目前的最佳位置pbest和群體目前的最佳位置gbest。通過跟隨這兩個最佳位置，然后根據(jù)式（16）和式（17）對粒子進行更新操作［11］。

式中：λ為慣性權(quán)重，c1和c2為學(xué)習(xí)因子；r1和r2為［0，1］之間均勻分布的隨機數(shù)，控制粒子飛行的隨機性。為了防止粒子盲目地搜索最優(yōu)解區(qū)域，需對粒子位置和速度區(qū)間進行控制，如果粒子的位置和速度超過閾值，則可以讓粒子的位置和速度取邊界值。

2.2 改進的粒子群算法

約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計包括結(jié)構(gòu)層厚度及材料類型的優(yōu)化，其中結(jié)構(gòu)層厚度的優(yōu)化屬于連續(xù)域的優(yōu)化問題，結(jié)構(gòu)層材料類型的優(yōu)化屬離散域的優(yōu)化問題?？紤]到粒子群算法在連續(xù)域變量優(yōu)化以及離散域變量優(yōu)化（任務(wù)分配［12］、路徑規(guī)劃［13］、車間調(diào)度［14］等）方面的通用性和有效性，對粒子群算法中的粒子更新機制進行改進，以解決該組合優(yōu)化問題。

為有效求解材料類型優(yōu)化配置的離散域問題，以背包問題為背景，通過改進粒子群算法的離散機制及更新機制，達到優(yōu)化設(shè)計的目的。對材料類型的設(shè)計變量采用正整數(shù)編碼的方式，設(shè)有s個設(shè)計變量，且含有n1個離散變量，n2個連續(xù)變量，則種群中第i個粒子表示約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量為，其中xi,j表示初始種群粒子的位置，j=1,2,…,n1，n為材料類型的數(shù)目，當(dāng)xi,j=1時表示采用第1種材料，當(dāng)xi,j=n時表示采用第n種材料。因此，這樣的編碼方式能較好地表達各結(jié)構(gòu)層采用的材料類型。針對種群中反映材料類型的位置的更新問題，將利用式（17）得到的新材料類型的位置與其編號集合中的每一個元素作差，并取絕對值，然后逐一進行排序，最后提取最小絕對值所對應(yīng)的元素作為此次更新后所選擇的材料類型。通過Matlab實現(xiàn)的主要程序代碼為：

其中：nk為材料類型集合中的任意元素，該離散化處理不同于向上取整或向下取整，而是逐漸逼近離散值，更有利于快速、準(zhǔn)確地求解優(yōu)化問題；為第t代種群粒子的位置；abs表示函數(shù)取絕對值；sort表示函數(shù)按照升序排列；consort和index為可以任意賦值的變量。

2.3 算法的基本流程

優(yōu)化約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的粒子群算法的基本流程如圖2所示，其主要步驟［15］如下。

1）粒子位置和速度的初始化。種群中的各粒子代表相應(yīng)的設(shè)計變量，由此可以根據(jù)墊高阻尼結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量來確定優(yōu)化問題的維數(shù)以及種群粒子的個數(shù)。在Matlab中實現(xiàn)種群中各粒子速度和位置初始化的主要程序代碼如下：

其中：rands表示在［-1，1］區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)；unidrnd表示產(chǎn)生的隨機離散整數(shù)；rand表示在［0，1］區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)；xmin和xmax分別為各連續(xù)變量的下限值和上限值。取初始位置為粒子最佳位置pbest。

2）群體最佳位置的選擇。調(diào)用ANSYS有限元模型，得到模態(tài)參數(shù)，代入適應(yīng)度函數(shù)評價群體各粒子的優(yōu)劣，并與粒子目前的最佳位置pbest對比，挑選更優(yōu)者作為群體最佳位置gbest。

3）速度和位置的更新。根據(jù)式（16）和式（17）以及排序取整原則代碼，更新粒子的速度和位置。

4）粒子最佳位置的更新。再次調(diào)用有限元模型，得到模態(tài)參數(shù)，代入適應(yīng)度函數(shù)評價新群體各粒子的優(yōu)劣，并與粒子目前的最佳位置pbest對比，挑選更優(yōu)者作為粒子的最佳位置pbest。

5）群體最佳位置的更新。將新群體各粒子的適應(yīng)度值與群體目前的最佳位置gbest進行對比，挑選更優(yōu)者作為群體的最佳位置gbest。

6）終止條件的判斷。終止條件通常有2種方式：一種方式是預(yù)設(shè)尋優(yōu)代數(shù)，當(dāng)尋優(yōu)代數(shù)達到設(shè)置的最大值時，結(jié)束搜索；另一種方式是指定運算精度，當(dāng)搜尋的最優(yōu)值與問題最優(yōu)值的誤差小于運算精度時，結(jié)束搜索［16］。選擇第1種方式，若滿足條件，則尋優(yōu)結(jié)束，輸出結(jié)果，否則返回步驟3），繼續(xù)搜索。

2.4 數(shù)學(xué)模型優(yōu)化

為進一步優(yōu)化約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的振動特性，仍以前5階模態(tài)損耗因子的最佳化為目標(biāo)函數(shù)，以各結(jié)構(gòu)層厚度、材料類型為設(shè)計變量，阻尼處理的附加厚度、附加質(zhì)量為狀態(tài)變量，則優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為：

式中：η0i為初始結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)損耗因子；ηi為優(yōu)化配置后結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)損耗因子；h1為初始結(jié)構(gòu)基層厚度，h4為優(yōu)化配置后的約束層厚度；m1為初始結(jié)構(gòu)基層質(zhì)量，m2，m3和m4分別為優(yōu)化配置后的墊高層、阻尼層和約束層質(zhì)量；為約束系數(shù)，其中κ1為附加厚度約束系數(shù)，用于限制阻尼處理的厚度，κ2為附加質(zhì)量約束系數(shù)，用于限制阻尼處理的質(zhì)量，取引入初始結(jié)構(gòu)前5階模態(tài)損耗因子η0i的目的是使目標(biāo)函數(shù)無量綱化。

2.5 算例分析

約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的初始模型選擇四邊簡支阻尼板，基本參數(shù)包括：基層長度為0.3 m，寬度為0.2 m；基層、墊高層和阻尼層的厚度均為3 mm，約束層厚度為1 mm；基層和約束層采用鋼材料，彈性模量為2.06×1011Pa，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.30；墊高層采用Dyad606材料，彈性模量為 2.9×108Pa，密度為 1 200 kg/m3，泊松比為0.35；阻尼層材料采用文獻［17］中的粘彈性阻尼材料，彈性模量為6×107Pa，密度為1 140 kg/m3，泊松比為0.49，材料損耗因子為0.65。通過ANSYS軟件進行仿真計算，得到初始結(jié)構(gòu)前5階模態(tài)頻率和損耗因子，結(jié)果如表1所示。

表1 初始結(jié)構(gòu)前5階模態(tài)頻率和損耗因子Table 1 The first five modal frequencies and loss factors of the initial structure

對材料類型進行優(yōu)選時，可供選擇的墊高層、阻尼層和約束層的材料類型如表2所示。

考慮變量優(yōu)化的維度以及效率，粒子群算法的參數(shù)設(shè)置如下：種群個數(shù)為30，最大迭代次數(shù)為30。為了使算法迭代初期有較大的全局搜索能力，迭代后期有較強的局部搜索能力，本文采用非線性的慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子，其數(shù)學(xué)表達式為：

式中：λmax=0.9，λmin=0.4，分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值；cmax=2，cmin=0.5，分別為學(xué)習(xí)因子c1的最大值和最小值；，分別為學(xué)習(xí)因子c2的最大值和最小值；d和Imax分別為當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)。

算法迭代搜索最優(yōu)解區(qū)域的進程如圖3所示。由圖3可知，隨著迭代尋優(yōu)的遞進，各代種群的最佳適應(yīng)度隨之下降，當(dāng)?shù)_到12次時適應(yīng)度趨于穩(wěn)定。這證明了算法的收斂性，且能快速、準(zhǔn)確地得到約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果。

約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果如表3所示。由表3可以看出：由于粒子群算法迭代尋優(yōu)時具有一定的隨機性，且考慮到設(shè)置的算法最大迭代次數(shù)有限，所以連續(xù)5次優(yōu)化后搜索得到的群體最佳位置gbest會在最優(yōu)值附近發(fā)生輕微的浮動。將第1次優(yōu)化配置后的約束型阻尼結(jié)構(gòu)與初始結(jié)構(gòu)進行對比發(fā)現(xiàn)：其附加厚度增加了28.56%，附加質(zhì)量減小了23.35%；前5階模態(tài)損耗因子和初始結(jié)構(gòu)相比分別提高了2.69%，18.29%，29.88%，32.71%和36.02%，前5階模態(tài)頻率和初始結(jié)構(gòu)相比分別增加了32.77%，29.94%，26.51%，25.57%和24.41%；同時可以看出，隨著模態(tài)階數(shù)的增加，前5階模態(tài)損耗因子的變化率隨之增加，而前5階模態(tài)頻率的變化率則隨之減小，說明該優(yōu)化對高階模態(tài)損耗因子的改善效果更好。

表3 約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of constrained stand-off layer damping structure

3 結(jié) 論

針對約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)含連續(xù)變量（結(jié)構(gòu)厚度）和離散變量（材料類型）的優(yōu)化問題，本文通過改進粒子群算法，利用Matlab調(diào)用ANSYS有限元模型及兩者間數(shù)據(jù)的傳遞，實現(xiàn)了對約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)優(yōu)化，從而能保證結(jié)構(gòu)振動特性達到最佳。

1）采用改進的粒子群算法能快速、有效地實現(xiàn)約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)優(yōu)化，不僅充分發(fā)揮了結(jié)構(gòu)的阻尼特性，而且最大限度地減少了附加質(zhì)量的引入，滿足了結(jié)構(gòu)輕量化的設(shè)計原則，同時對材料類型的優(yōu)選可以直接應(yīng)用于工程設(shè)計，具有一定的工程指導(dǎo)意義。

2）利用改進的粒子群算法和ANSYS有限元軟件進行聯(lián)合仿真，能有效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。但粒子群算法只是智能算法的一種，后續(xù)可進一步研究應(yīng)用其他智能算法進行約束型墊高阻尼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)優(yōu)化，以實現(xiàn)高效、可靠的優(yōu)化。

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