許榮好

（江蘇省蘇州市吳中區(qū)江蘇省外國語學(xué)校，江蘇 蘇州）

本文是以教學(xué)過程中的一道題，在講解過程中發(fā)現(xiàn)的問題為載體，淺談自己對(duì)于恒成立問題中，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的幾種應(yīng)對(duì)策略.不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

一、問題呈現(xiàn)

若在區(qū)間［-1，1］上，g（x）=2x2-（4+a）x+3 的圖象恒在 y=2x+7的圖象下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：此題本意是想考查學(xué)生將恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，然后再加以解決.

具體如下：因?yàn)樵趨^(qū)間［-1，1］上，y=g（x）的圖象恒在 y=2x+7的圖象下方，所以 g（x）＜2x+7 在區(qū)間［-1，1］上恒成立，從而 2x2-（4+a）x+3＜2x+7 在區(qū)間［-1，1］上恒成立，即 2x2-（6+a）x-4＜0 在區(qū)間［-1，1］上恒成立.令 h（x）=2x2-（6+a）x-4，本意是想讓學(xué)生將上述問題轉(zhuǎn)化成 h（x）max＜0.然后求出函數(shù)在區(qū)間［-1，1］上的最大值，通過求出的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，最大值只在x=1或-1處取得，進(jìn)而將問題總結(jié)成最后再求出a的取值范圍.

但是學(xué)生在求解過程中，往往也沒有考慮很多，直接將計(jì)算其實(shí)這解題過程中就沒有深入的思考,他們只是單純地代入計(jì)算，并沒有進(jìn)行嚴(yán)格的思考.雖然他們寫出了正確答案，但是他們其實(shí)是沒有完全理解本題的意義.

對(duì)于此類問題在解題過程中，想要培養(yǎng)學(xué)生能夠清楚地理解二次函數(shù)的本質(zhì)，在通過研究對(duì)稱軸和區(qū)間位置的關(guān)系后，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題.學(xué)生數(shù)學(xué)思維模式的養(yǎng)成，需要通過教師不斷的引導(dǎo)和講解.

二、處理恒成立問題的應(yīng)對(duì)策略

為了培養(yǎng)學(xué)生正確應(yīng)對(duì)二次函數(shù)恒成立問題，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)思維方式，本人在班級(jí)開展了一節(jié)專題課，一直能培養(yǎng)學(xué)生正確的思維能力.常見的二次函數(shù)恒成立問題，大致可分兩類，一類是函數(shù)的定義域?yàn)镽；一類是給定區(qū)間（m，n）.對(duì)于定義域R為的情形，我們通常采用二次函數(shù)根的判別式法.對(duì)于給定區(qū)間（m，n）的情形，我們主要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值.

探究：定義域?yàn)镽

策略一：數(shù)形結(jié)合

通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想成為數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想是解決定義域?yàn)镽時(shí)恒成立問題最重要的方法.

例1 已知關(guān)于x的不等式x2-mx+1＜0的解是一切實(shí)數(shù)，則m的取值范圍.

生：根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，函數(shù)圖象在x軸的上方.

師：很好!這位同學(xué)借助了二次函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化了圖象特點(diǎn).但是我們?cè)撊绾斡檬阶颖磉_(dá)呢？

生：圖象都在 x軸的上方，所以 Δ=m2-4＜0，即-2＜m＜2

師：這位同學(xué)的解法很值得我們參考，我們可以根據(jù)函數(shù)的圖象，利用判別式來求解問題.下面將此題稍加修改，請(qǐng)大家迅速解決.

變式：已知關(guān)于 x的不等式（m-2）x2+2（m-2）x+4＞0 的解集是R，求m的取值范圍.

生：同上法，根據(jù)函數(shù)的判別式，求出變量的范圍.

師：同學(xué)們，你們覺得此類解法正確嗎？

生：不正確，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)等于0的情形，要分情況解答.當(dāng) m-2=0，即 m=2時(shí)，4＞0對(duì)?x∈R恒成立，滿足題意；當(dāng) m-2≠0，即m≠2時(shí)，設(shè)f（x）=（m-2）x2+2（m-2）x+4，x∈R.若（m-2）x2+2（m-2）x+4＞0的解集是R，則f（x）＞0對(duì)?x∈R恒成立.結(jié)合函數(shù)圖象性質(zhì)可知解得2＜m＜6.綜上所述，m 的取值范圍為［2，6）.

師：二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，不能保證上式一定是一元二次不等式，若將它看成函數(shù)，也就不能保證它一定是二次函數(shù)，故需要分類討論.

探究：給定區(qū)間（m，n）

策略二：等價(jià)轉(zhuǎn)化

在求解給定區(qū)間二次函數(shù)恒成立問題時(shí)，通過構(gòu)造二次函數(shù)將不等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題來解決，正是因?yàn)槲覀冄芯康膶?duì)象是二次函數(shù)，對(duì)于此類問題最值的求解，學(xué)生往往容易接受，可以成為解決問題的突破口.

例2在區(qū)間［-1，1］上，函數(shù)f（x）=2x2-4x+3的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+2m+1的圖象的上方，求m的取值范圍.

生：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2x2-4x+3的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+2m+1的圖象的上方，所以f（x）＞g（x），即2x2-4x+3＞2x+2m+1，化簡得x2-3x-m+1＞0再利用判別式，使Δ＜0即可.

師：這種解法可行嗎？

生：方法不對(duì)，此題有限制范圍，x的取值不是全部實(shí)數(shù).應(yīng)設(shè)再求出 h（x）的最小值與 0 比較.由于h（x）的對(duì)稱軸是所以 h（x）在區(qū)間［-1，1］上單調(diào)遞減，從而所以-1-m＞0，即 m＜-1.

策略三：分離參數(shù)

分離參數(shù)法是求解參數(shù)取值范圍的一種常見方法.這種方法可以避免分類討論的麻煩，從而使問題得以順利解決.

師：有同學(xué)有其他想法嗎？

生：原不等式可以轉(zhuǎn)化成 m＜x2-3x+1，x∈［-1，1］.若設(shè) μ（x）=x2-3x+1，x∈［-1，1］，則 m＜μ（x）min.事實(shí)上，μ（x）在［-1，1］上單調(diào)遞減，所以 μ（x）min=μ（1）=-1，即 m＜-1.

師：此同學(xué)能發(fā)現(xiàn)不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量，并且已知一個(gè)變量的范圍，求另一個(gè)變量的范圍.

數(shù)學(xué)教學(xué)與思維密切相關(guān)，數(shù)學(xué)能力具有一般能力不同的特征.因此，培養(yǎng)學(xué)生思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的過程中，我們既要提供讓學(xué)生展開思維的空間，讓學(xué)生在課堂中暢所欲言，激發(fā)他們思維的活躍性，還要巧于點(diǎn)撥，使他們學(xué)會(huì)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎?，提高思維的質(zhì)量；最后，加強(qiáng)學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓他們尋求數(shù)學(xué)活動(dòng)的規(guī)律，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)之美.

［1］陳鋒.恒成立問題的處理方法［J］.教師，2017（31）.

［2］崔平社.二次函數(shù)中“含參恒成立”問題求解策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（3）.