潘榮瑩，古 斌，張正才

(西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 綿陽 621010)

頁巖氣作為一種特殊的非常規(guī)天然氣，以分布廣泛、氣藏資源豐富、開產(chǎn)周期長、開發(fā)潛能大等特點成為緩解油氣資源消費與供需矛盾的重要資源之一，目前已逐漸成為學(xué)者們的研究熱點問題。頁巖氣通常以吸附態(tài)與游離態(tài)的形式賦存于頁巖顆粒和微納米孔隙中，這使得天然氣在頁巖中的流動不僅僅局限于黏性流，因此只考慮黏性流動的Darcy定律不再適用于描述頁巖氣在儲集層中的流動。為了全面描述頁巖和其他致密巖氣藏內(nèi)的多種流動機制耦合的運移規(guī)律，研究者們提出視滲透率概念并給出了不同的視滲透率模型。Javadpour[1]結(jié)合Knudsen擴散和滑脫流動效應(yīng)，推導(dǎo)了致密巖層納米孔隙中氣體傳輸?shù)囊暆B透率模型。Chen等[2]利用加權(quán)平均法考慮了黏性流、Knudsen擴散和氣體吸附等多重運移機制，給出了簡化的視滲透率模型。利用考慮多種流動機制的視滲透率模型，樊冬艷等[3]研究了頁巖氣藏的水平井壓裂。但在上述視滲透率模型中，均未考慮開采過程中由于儲層壓力變化和頁巖基質(zhì)收縮引起的滲透率變化。Zhang等[4]考慮有效應(yīng)力和吸附應(yīng)變引起的頁巖基質(zhì)變形，建立新的孔隙率模型，并結(jié)合粘性流的Darcy定律，對煤層氣的運移進(jìn)行了有限元研究。在此基礎(chǔ)上，Cao等[5]利用考慮Knudsen擴散的視滲透率模型修正Darcy定律，討論了固體變形和流動機制對頁巖氣運移的影響，發(fā)現(xiàn)兩種因素的貢獻(xiàn)均不可忽略。吳克柳等[6]指出由于大量頁巖氣以吸附態(tài)的形式存在，表面吸附擴散對頁巖氣的流動有著重大的影響。至今，同時考慮包含表面吸附擴散的多重流動機制以及頁巖變形影響的頁巖氣運移研究還未見相關(guān)研究。本文利用考慮表面吸附擴散的視滲透率模型，耦合有效應(yīng)力和吸附應(yīng)變引起的頁巖基質(zhì)變形，對頁巖氣的運移進(jìn)行數(shù)值研究。重點討論表面吸附擴散、頁巖初始孔隙率和滲透率對表征頁巖運移機制的視滲透率和Knudsen數(shù)的影響。

1 基本假設(shè)和控制方程

本文的工作基于以下假設(shè)：①頁巖處于等溫狀態(tài)；②頁巖為各向同性的均勻彈性孔隙介質(zhì)；③孔隙內(nèi)氣體為理想飽和氣體，黏性系數(shù)為常值；④氣體的滲透為各向同性；⑤氣體吸附遵循Langmuir類型吸附規(guī)律；⑥孔隙內(nèi)只有單相氣體。

1.1 基質(zhì)變形控制方程

對各向同性的均勻孔隙彈性介質(zhì)，考慮氣體吸附應(yīng)變時的幾何方程，本構(gòu)方程和準(zhǔn)靜態(tài)平衡方程可分別表示為式(1)～(3)[4,7]。

(1)

(2)

▽·σ+f=0

(3)

式中：u、ε、σ、f分別代表位移矢量、應(yīng)變張量、應(yīng)力張量和體積力矢量；G、ν、K分別為頁巖基質(zhì)的剪切模量、泊松比和體積模量；α=1-K/Ks為Biot系數(shù)，Ks為頁巖顆粒的體積模量；εv為頁巖體積應(yīng)變；p為頁巖孔隙內(nèi)的氣體壓力；εad表示氣體解吸附所引起的應(yīng)變，實驗證實其變化規(guī)律符合Langmuir曲線[8]，可通過Langmuir方程式(4)計算。

(4)

式中：εL為Langmuir體積應(yīng)變常數(shù)；PL為Langmuir壓力常數(shù)。

綜合式(1)～(4)，可得由位移分量表示的頁巖基質(zhì)變形控制方程，見式(5)。

(5)

1.2 氣體流動控制方程

孔隙內(nèi)氣體質(zhì)量守恒定律表達(dá)式見式(6)。

(6)

式中：m為氣體質(zhì)量；ρg為氣體密度；v為氣體流動的速度矢量；Q0為外部氣體源。

氣體質(zhì)量m包括吸附氣和自由氣，可表示為式(7)。

(7)

式中：φ為頁巖孔隙率；ρga為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氣體的密度；ρm為頁巖密度；VL為Langmuir體積常數(shù)。此外，孔隙內(nèi)理想氣體的狀態(tài)方程式見式(8)。

(8)

式中：Mg為氣體的摩爾質(zhì)量；R為理想氣體常數(shù)；T為溫度。根據(jù)視滲透率模型假設(shè)，頁巖孔隙中氣體的流動速度與壓力依然遵循Darcy定律的形式，只是其中的固有滲透率用視滲透率代替，見式(9)。

(9)

式中：kapp代表視滲透率；μ為氣體的動力粘性系數(shù)。將式(7)～(9)代入式(6)可得式(10)。

(10)

式中，pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。

由于頁巖變形的影響，頁巖的孔隙率會發(fā)生改變，變形后的孔隙率可通過不同的孔隙率模型得到。本文采用文獻(xiàn)[4]中建立的孔隙率模型，其形式表示為式(11)。

(11)

式中：φ0為頁巖初始孔隙率；S=εv+p/Ks-εad；S0=p0/Ks-εad0。

式(11)代入式(10)，可得到Darcy-storage形式的氣體流動控制方程式，見式(12)。

(12)

1.3 視滲透率模型

對頁巖等致密巖層，其固有滲透率的改變可通過Cubic法則(式(13))計算。

(13)

式中，k∞和k∞0分別是頁巖固有滲透率和初始固有滲透率。

由于氣體流動的動態(tài)效應(yīng)，氣體在頁巖基質(zhì)中的流動通常包括黏性流、Knudsen擴散以及分子擴散等[3]。當(dāng)考慮黏性流和Knudsen擴散時，基于Beskok-Karniadakis滑移模型的視滲透率可寫為式(14)[5]。

kapp=k∞f(Kn)

(14)

式中：Kn表示Knudsen數(shù)，定義為分子平均自由程與孔隙直徑的比值，見式(15)。

Kn=λ/d

(15)

(16)

若在視滲透率模型中再引入表面吸附擴散的影響，結(jié)合式(14)和式(16)，視滲透率可寫為式(17)[3]。

(17)

式中：Cadmax為氣體的最大吸附濃度；Dad為表面擴散系數(shù)。文獻(xiàn)[6]的研究指出表面擴散系數(shù)不為常數(shù)，而是隨著壓力變化，可利用式(18)計算。

(18)

式中，Dad0為氣體覆蓋度為0時的表面擴散系數(shù)。

結(jié)合式(17)和式(18)，式(5)和式(12)給出了以變形位移和孔隙壓力為基本未知量的頁巖氣運移過程流固耦合的控制方程。上述一系列方程可利用軟件COMSOLMultiphysics進(jìn)行數(shù)值求解。

2 數(shù)值模擬和討論

2.1 數(shù)值模型

為闡明固體變形和不同流動機制對氣體運移的影響，本文模擬了單軸應(yīng)變條件下，面積為0.1 m×0.1 m的頁巖中氣體運移的過程，數(shù)值模型如圖1所示。

圖1 單軸應(yīng)變條件下的頁巖氣運移的數(shù)值模型

其中，在軟件中需要設(shè)置的固體和流體邊界條件分別如下所示。

此外，流體場計算相關(guān)的初始條件為：p(0)=p0。

計算中的參數(shù)取值見表1[8]。

2.2 計算結(jié)果和討論

一般來說，視滲透率表征頁巖氣在基質(zhì)孔隙中的流動能力，另外，根據(jù)Knudsen數(shù)的取值，可將氣體的流動分成不同的狀態(tài)，見表2[5]。

因此，本工作重點關(guān)注視滲透率和Knudsen數(shù)隨壓力的變化規(guī)律，比較視滲透率變化與固有滲透率變化的差別，主要討論表面擴散系數(shù)、初始孔隙率和初始滲透率的影響。

表1 數(shù)值計算中的參數(shù)取值

表2 基于Knudsen數(shù)的流動狀態(tài)分類

2.2.1 表面擴散系數(shù)的影響

圖2和圖3給出了不同表面擴散系數(shù)時，Knudsen數(shù)以及視滲透率和固有滲透率隨孔隙壓力變化的曲線。其中視滲透率和固有滲透率均以頁巖初始固有滲透率做無量綱化處理，同時曲線包括當(dāng)表面擴散系數(shù)為常數(shù)，不隨壓力變化的情況。從圖2可以看出，對于任意的表面擴散系數(shù)，Knudsen數(shù)隨著壓力的降低而逐漸升高，表明氣體的流動狀態(tài)已不再局限于Darcy流動。而不同的表面擴散系數(shù)對Knudsen數(shù)隨壓力變化的規(guī)律沒有影響，則表明表面吸附擴散和微納孔隙內(nèi)氣體流動的動態(tài)效應(yīng)是兩種相互獨立的流動機制。

圖3顯示對于任意的表面擴散系數(shù)，視滲透率隨著壓力的降低而增大，而在相同壓力條件下，隨著表面擴散系數(shù)的增加視滲透率也逐漸增加，尤其在低壓情況下視滲透率的變化達(dá)到近60%。若進(jìn)一步增大表面擴散系數(shù)，其貢獻(xiàn)將超過Knudsen擴散對視滲透率的影響。此外，相比表面擴散系數(shù)隨壓力變化的情況而言，表面擴散系數(shù)保持常值時的視滲透率更低。另一方面對于任意的表面擴散系數(shù)，固有滲透率隨著壓力的減小先降低然后升高，這是由于壓力降低使得更多的吸附在頁巖中開始發(fā)生氣體解吸，隨著氣體解吸會使得頁巖的滲透率增加[4]。在解吸附和壓力降低兩種相互競爭的機制影響下，固有滲透率表現(xiàn)出先降后升的變化規(guī)律。另外可以看出表面擴散系數(shù)的改變對固有滲透率與壓力的關(guān)系無影響。從圖3還可以看出，相對視滲透率的變化，固有滲透率的變化很小，這說明固體變形對氣體流動能力的影響很小。

圖2 不同表面擴散系數(shù)時Knudsen數(shù)隨壓力變化曲線

圖3 不同表面擴散系數(shù)時滲透率比值隨壓力變化曲線

應(yīng)當(dāng)注意的是，隨著頁巖氣運移過程的進(jìn)行，會同時發(fā)生孔隙壓力降低、氣體解吸附加快、Knudsen數(shù)增加以及表面吸附擴散增強等現(xiàn)象。其中孔隙壓力降低通過降低固有滲透率導(dǎo)致視滲透率減小，而氣體解吸附加快、Knudsen數(shù)增加和表面吸附擴散增強則會提高氣體流動的視滲透率。因此，當(dāng)考慮固體變形和多重流動機制的耦合效應(yīng)時，視滲透率將受到幾種相互競爭機制的影響，其變化趨勢可能因不同頁巖性質(zhì)和地層環(huán)境的影響而表現(xiàn)出與本文不同的規(guī)律。

2.2.2 初始孔隙率和固有滲透率的影響

頁巖初始孔隙率和固有滲透率是表征頁巖性質(zhì)的兩個最重要的參數(shù)，對頁巖氣在微納孔隙中的流動有很大的影響。首先討論初始孔隙率對Knudsen數(shù)和滲透率的影響(圖4和圖5)。由圖4、圖5中可以看出，隨著初始孔隙率的升高，相同壓力下的Knudsen數(shù)和視滲透率增加。但對固有滲透率而言，當(dāng)壓力較高時，更低的初始孔隙率導(dǎo)致更高的固有滲透率。當(dāng)壓力降低至某一值時，低初始孔隙率給出更小的固有滲透率。另外，當(dāng)初始孔隙率很小時(φ0=0.01)，視滲透率隨壓力的降低表現(xiàn)出先輕微下降然后大幅上升的趨勢，說明在低初始孔隙率時，壓力降低對視滲透率的影響更加明顯。但隨著初始孔隙率的增加，視滲透率隨著壓力的降低單調(diào)升高。對于任意的初始孔隙率，固有滲透率則始終表現(xiàn)出先降后升的趨勢。只是當(dāng)初始孔隙率較小時，固有滲透率下降得更快。

圖4 不同初始孔隙率時Knudsen數(shù)隨壓力變化曲線

圖5 不同初始孔隙率時滲透率比值隨壓力變化曲線

圖6和圖7分別給出了不同初始固有滲透率時，Knudsen數(shù)和兩種滲透率隨壓力變化的曲線。圖6、圖7中結(jié)果說明，當(dāng)孔隙壓力一樣時，更高的初始滲透率將導(dǎo)致更低的Knudsen數(shù)和更小的視滲透率比值，但初始滲透率的改變對固有滲透率的變化不產(chǎn)生影響。同時對于任意的初始滲透率，Knudsen數(shù)和視滲透率比值隨著壓力的降低單調(diào)增加，而固有滲透率依然呈現(xiàn)先降低后升高的趨勢。

圖6 不同初始固有滲透率時Knudsen數(shù)隨壓力變化曲線

圖7 不同初始固有滲透率時滲透率比值隨壓力變化曲線

3 結(jié) 論

考慮固體變形以及黏性流、Knudsen擴散和表面吸附擴散等多種流動機制，本文對頁巖氣的運移進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，得到以下結(jié)論。

1) 表面吸附擴散是與Knudsen擴散相互獨立的一種流動機制，對頁巖氣的運移有著重要的影響，并隨著擴散系數(shù)的增加表面吸附擴的影響更明顯。同時當(dāng)在低壓階段，表面吸附擴散對視滲透率的影響可能超過Knudsen擴散。

2) 頁巖的初始孔隙率越高，頁巖氣運移過程中

Knudsen數(shù)和視滲透率也越高。與之相反，初始固有滲透率越高，Knudsen數(shù)和視滲透率比值越低。

3) 頁巖氣運移過程中，Knudsen數(shù)、視滲透率和固有滲透率的變化取決于壓力、解吸附、Knudsen擴散和表面吸附擴散等多種因素相互競爭作用的結(jié)果。

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