歐陽鑫信

(盲信號處理重點實驗室, 四川 成都 610041)

多站無源定位因其在無線通信、聲吶、雷達與導(dǎo)航等多種領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，成為近年來的研究熱點[1-7]。多站無源定位通常需要兩步：第一步估計出與輻射源位置信息相關(guān)的參數(shù)，如時差(time difference of arrival，TDOA)、頻差(frequency difference of arrival，F(xiàn)DOA)、到達方向(direction of arrival，DOA)以及接收信號強度(received signal strength，RSS)；第二步再利用估計的這些參數(shù)解算出輻射源的位置。時差估計精度與信號帶寬有關(guān)，窄帶信號的時差估計精度不高[8]。頻差只能應(yīng)用于觀測站與輻射源存在相對運動的情況，且精度與相對速度成正比，常應(yīng)用于衛(wèi)星信號定位[9]。RSS方法因其精度不高，使用場景非常受限[10]。測向定位的研究與應(yīng)用有著悠久的歷史，從十九世紀(jì)末出現(xiàn)第一部測向機開始，測向定位技術(shù)得到不斷發(fā)展，近年來更因空間譜技術(shù)的出現(xiàn)得到進一步發(fā)展。傳統(tǒng)的兩步測向定位法已被證明不是最優(yōu)的，因其無法保證觀測一致性，參數(shù)估計的誤差會迭代到位置估計中。并且在多目標(biāo)情況下，需要經(jīng)過數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)才能對多目標(biāo)進行定位，否則很難消除虛假定位點。

為解決傳統(tǒng)兩步法的不足，Weiss等人首先提出了直接定位(direct position determination，DPD)的概念，給出了與兩步定位法相區(qū)別的直接定位法，并研究了多種情況下的直接定位技術(shù)[11～15]。直接定位法直接利用采集數(shù)據(jù)構(gòu)造最大似然代價函數(shù)，在限定的二維網(wǎng)格中進行二維搜索直接得到目標(biāo)的位置估計，能夠在低信噪比條件下逼近克拉美羅下界(cramer-rao lower bound，CRB)。針對多目標(biāo)的直接定位，Weiss[12]提出了基于信號子空間的直接定位方法，從仿真結(jié)果來看分辨率不高，而分辨率是衡量多目標(biāo)定位算法的重要因子。Weiss[15]在最大似然直接定位基礎(chǔ)上，結(jié)合直接定位與最小方差無失真響應(yīng)(minimum variance distortionless response，MVDR)的概念，提出了基于MVDR的高分辨直接定位方法，但其在最大似然直接定位方法推導(dǎo)過程中，未能給出更簡潔的直接定位目標(biāo)函數(shù)，并且運算量較大。

本文在文獻[15]的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了更簡潔的最大似然直接定位方法—常規(guī)波束形成(CBF)直接定位方法。并基于此，提出了輻射源數(shù)量未知的最小方差(MVM)直接定位方法與輻射源數(shù)量已知的MUSIC直接定位方法。蒙特卡羅仿真證明了本文提出的兩種高分辨直接定位算法的有效性。

1 信號模型

在實際場景中，目標(biāo)定位問題一般在三維空間出現(xiàn)，為了分析簡便，研究中常以二維場景為例[11-12]，再從二維場景推廣到三維場景，本文研究也針對二維場景下多陣列的輻射源定位問題展開。假設(shè)L個陣列接收信號，各陣列的陣元數(shù)量為M。令輻射源的位置坐標(biāo)為P=(x0,y0)，則第l個陣列的觀測信號模型可描述為

rl(t)=blal(P)s(t-τl(P))+nl(t)， 0≤t≤T

(1)

式(1)中：rl(t)為M×1的觀測矢量；bl為未知確定參數(shù)，表示輻射源到第l個陣列的復(fù)信道衰落因子；al(P)表示第l個陣列對從P發(fā)出信號的陣列響應(yīng)；s(t-τl(P))為信號的波形，傳播時延為τl(P)；nl(t)表示觀測到的噪聲與干擾矢量，為零均值的復(fù)高斯白噪聲。經(jīng)過采樣后，式(1)重新描述為

rl(j)=blal(P)s(j)+nl(j), 0≤j≤Ns-1

s(j)=s(t-τl(P))|t=jTs

rl(j)=rl(t)|t=jTs

nl(j)=nl(t)|t=jTs

(2)

可以看出，觀測信號隱含了輻射源的位置信息。首先是陣列響應(yīng)al(p)與位置P有關(guān)，在遠場情況下，al(P)是到達角(angle of arrival，AOA)的函數(shù)。其次，時延τl(P)也與位置P有關(guān)，反映了輻射源與觀測陣列的距離情況。經(jīng)過離散傅里葉變換(DFT)可得到

(3)

式(3)中，fk表示DFT的第k個頻率。

2 CBF直接定位方法

文獻[15]提出的最大似然直接定位方法，計算量較大，目標(biāo)函數(shù)的表達形式不夠簡潔。通過研究，我們提出了以下方法，大大降低了計算量，且表達形式更簡潔。

式(3)可以重新描述為

(4)

令

al(p,bl)=blal(p)

(5)

則式(4)可以表述為

(6)

令

b=[b1,…,bL]T

(7)

不失一般性，可以假設(shè)||b||=1，則有

(8)

在高斯噪聲環(huán)境下，最小二乘估計與最大似然估計等價。位置的最小二乘估計可通過最小化以下代價函數(shù)得到

(9)

(10)

將上式代入式(9)可得

(11)

因此有

(12)

a(p,b)=A(p)Hb

(13)

H=IL?1M

(14)

式(13)中：IL表示L×L的單位陣；1M表示M×1的全1矢量；?表示kronecker積；H表示LM×L矩陣。將式(13)代入式(12)可得

(15)

考慮到||b||=1，所以

(16)

可以看出與文獻[15]提出的算法相比，我們提出的CBF直接定位算法大大降低了計算量，文獻[15]提出的算法中，每個網(wǎng)格點的代價函數(shù)需要計算K次三個LM階矩陣的連乘，我們提出的算法只需要計算一次，且表現(xiàn)形式更簡單，能直接給出CBF方法的表現(xiàn)形式。基于式(12)的CBF方法表現(xiàn)形式，我們提出基于MVM和MUSIC高分辨測向直接定位方法。

3 高分辨直接定位方法

3.1 MVM直接定位方法

(17)

其中wopt(p,b)滿足

s.t.wH(p,b)a(p,b)=1

(18)

可得wopt(p,b)的解為

(19)

把式(19)代入式(17)，可得MVM測向直接定位如下

(20)

因矩陣為Hermitian矩陣，式(20)也可表示為

(21)

3.2 MUSIC直接定位方法

文獻[12]提出的多目標(biāo)測向直接定位方法是基于信號子空間的，分辨率不高，無法體現(xiàn)基于噪聲子空間的MUSIC方法的高分辨性能。在此，將提出基于MUSIC的測向直接定位方法。

根據(jù)MUSIC算法的定義，MUSIC算法是以最小優(yōu)化搜索噪聲子空間與陣列流型的正交性。根據(jù)MUSIC算法定義，可將式(12)的代價函數(shù)改為

b=[b1,…,bL]T

(22)

其中UN為ML×(ML-Q)的噪聲子空間矩陣，由R的ML-Q個最小特征值的特征矢量構(gòu)成。a(P,b)包含了L個未知的復(fù)衰減系數(shù)與未知的位置信息。F(P,b)的最小值取決于所有的未知參數(shù)，因此需要2(L-1)+D維的搜索。為了降低搜索維度，利用式(13)可得

(23)

前文已經(jīng)假設(shè)b的范數(shù)為1，對于任意假設(shè)的位置P，F(xiàn)(P,b)的最小值對應(yīng)矩陣D′(p)的最小特征值，即

F(P)=λmin[D′(p)]

(24)

因矩陣為Hermitian陣，因此，可簡化為

F(P)=λmax[D′(p)-1]

(25)

很明顯，式(25)也只需要一次D維搜索，在二維情況下只需要二維搜索。相比MVM直接定位法，MUSIC直接定位法需要先確定輻射源個數(shù)，并且需要協(xié)方差矩陣進行特征值分解，運算量較大。

4 仿真分析

為驗證提出的直接定位方法的性能，通過仿真在單目標(biāo)場景下與CRB和傳統(tǒng)兩步法進行比較。為驗證提出的直接定位方法的分辨率，通過仿真在多目標(biāo)場景下與最大似然直接定位方法進行了比較。仿真場景設(shè)置如下：三個觀測站坐標(biāo)分別為[0,-5 km]，[0,0]，[0,5 km]，陣元間距為半波長，信號為10 kbit/s速率的BPSK信號，搜索步進50 m。

仿真1： 單目標(biāo)直接定位性能對比。信號與場景如上所述，輻射源坐標(biāo)[30 km,0]，陣元數(shù)為5，搜索范圍為20 km×20 km的方形區(qū)域，快拍數(shù)為24，仿真次數(shù)100次，仿真結(jié)果如圖1。其中MUSIC-LSM表示先通過MUSIC測方位角，再利用方位角通過最小二乘方法解算目標(biāo)位置的兩步法。

仿真2： 多目標(biāo)直接定位分辨率對比。其他場景不變，輻射源數(shù)量為2，坐標(biāo)分別為[30 km,-1.5 km]，[30 km,1.5 km]，信噪比20 dB，搜索范圍為10 km×10 km的方形區(qū)域，得到的二維譜圖如圖2。

圖1 單目標(biāo)直接定位性能

仿真3： 多目標(biāo)直接定位性能對比。將陣元數(shù)增加到9，信噪比為0到20 dB，仿真結(jié)果如圖3所示，其中直接定位譜為20 dB的情況。

從仿真1結(jié)果可以看出，在單目標(biāo)情況下，定位性能最優(yōu)的是CBF直接定位方法， MUSIC直接定位方法與CBF直接定位方法性能非常接近，在高信噪比下能達到CRB。MUSIC測向兩步定位法性能在低信噪比下性能最差，在高信噪比下也能達到CRB。MVM直接定位方法性能則差于其他兩種直接定位方法。

仿真2和仿真3結(jié)果表明，MUSIC直接定位具有最優(yōu)的分辨率，在5陣元的情況下能夠清晰分辨出相距3 km的二個輻射源。而MVM直接定位法則無法分辨出兩個輻射源，CBF直接定位法分辨力最差。在9陣元的情況下，MVM直接定位法能分辨出兩個輻射源，但MUSIC直接定位法的分辨率仍優(yōu)于MVM直接定位法。從圖4還可以看出，多目標(biāo)情況下MUSIC直接定位法的性能也優(yōu)于MVM直接定位法，但二者性能相差不大。

圖2 多目標(biāo)直接定位譜

圖3 多目標(biāo)直接定位譜

圖4 多目標(biāo)直接定位性能

綜合上述仿真可知，CBF直接定位法分辨率差，只適用于單目標(biāo)的定位。MVM直接定位方法和MUSIC直接定位方法都具有較高的分辨率，可用于多目標(biāo)定位。其中，后者具有更好的分辨率和定位性能，但需要先判定目標(biāo)數(shù)量并且運算量較大。因此，MVM直接定位方法和MUSIC直接定位方法有各自的適用場景。

5 結(jié)論

本文在已有的最大似然直接定位算法的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了計算量更低、表達式更為簡潔的CBF直接定位算法。在此基礎(chǔ)上，針對輻射源數(shù)量未知和輻射源數(shù)量已知的情況，分別推導(dǎo)了MVM直接定位算法和MUSIC直接定位算法。提出兩種算法都可不經(jīng)過數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)即實現(xiàn)對多目標(biāo)的高分辨直接定位。仿真結(jié)果驗證了提出算法的性能。

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