張曉東

“方程與不等式”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一.就其概念及解法來(lái)說(shuō)，“方程與不等式”是初中數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一.在一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程及一元一次不等式問(wèn)題的解決中，我們由于對(duì)概念的理解不到位、符號(hào)感不強(qiáng)、思維空間比較狹窄等原因而忽視了題目中的隱含條件，容易出現(xiàn)一些無(wú)謂的錯(cuò)誤.在中考的復(fù)習(xí)中，我們面對(duì)“隱含”條件，是否都“敏感”了呢？下面我們一起來(lái)看看這方面的幾個(gè)問(wèn)題.

例1 判斷下列各式中，哪些是一元二次方程？

（1）x2+[1x2]=0；

（2）ax2+bx+c=0；

（3）（x-1）（x+2）=x2；

（4）3（x-3）2=2x-5.

【易錯(cuò)】面對(duì)這類問(wèn)題，同學(xué)們往往容易忽略一元二次方程是整式方程，沒(méi)有意識(shí)到二次項(xiàng)系數(shù)不能為0這個(gè)條件，另外還要注意未知數(shù)不能在分母中.

【正確答案】是一元二次方程的是（4）.

例2 已知關(guān)于x的方程[2x+mx-2]=3的解是正數(shù)，求m的取值范圍.

【易錯(cuò)】方程的解是正數(shù)，但當(dāng)x=m+6=2時(shí)分母為零，容易忽略分母為零產(chǎn)生增根的隱含條件.解題時(shí)考慮問(wèn)題要全面，不但要考慮分式方程的解是正數(shù)，同時(shí)還要注意原分式方程的最簡(jiǎn)公分母不能為0，即產(chǎn)生增根.

【正確答案】去分母得，2x+m=3（x-2），

3x-2x=m+6，x=m+6，

∴m+6>0，解得m>-6.

又∵m+6≠2，解得m≠-4.

所以m的取值范圍是m>-6且m≠-4.

例3 已知：（x2+y2）（x2+y2-2）=8，求x2+y2的值.

【易錯(cuò)】如果把x2+y2看作是一個(gè)整體，去括號(hào)后可以得到（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，這個(gè)方程可以看作關(guān)于x2+y2的一元二次方程，解之就能得到x2+y2的值.但大家容易漏考慮x2+y2≥0這個(gè)隱含條件，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【正確答案】去括號(hào)，

得（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，

解之x2+y2=4或x2+y2=-2，

但因?yàn)閤2+y2≥0，所以x2+y2=4.

例4 已知反比例函數(shù)y=[-2x]，求當(dāng)y<-2時(shí)，x的取值范圍.

【易錯(cuò)】大家看到這樣的問(wèn)題都會(huì)馬上想到列不等式[-2x]<-2，然后解這個(gè)不等式求x取值范圍.我們要注意到這是一個(gè)分式不等式，在兩邊同乘x去分母的時(shí)候，大家漏考慮了所乘x的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，這也正是在解不等式當(dāng)中最容易忽略的隱含條件.而且在這里我們還要注意反比例函數(shù)中自變量x不能取零.

【正確答案】畫出反比例函數(shù)y=[-2x]的圖像.

計(jì)算出當(dāng)y=-2時(shí)，x=1，

在圖像上描出點(diǎn)（1，-2），

由圖像可知x取值范圍為：0

例5 已知關(guān)于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

【易錯(cuò)】本題的已知條件是一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其方法是利用一元二次方程根的判別式列出不等式，解不等式就可以求出k的取值范圍.但要注意方程二次項(xiàng)系數(shù)為k，而且它必須是一元二次方程，所以隱含的條件是k≠0，也就是說(shuō)這題要列出兩個(gè)不等式來(lái)求k的取值范圍.

【正確答案】因?yàn)殛P(guān)于x的方程是一元二次方程，所以k≠0，

又因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以Δ>0，即：36-4k>0，

解之得k<9.

所以，k的取值范圍是：k<9且k≠0.

小試牛刀

1.方程（m-2）xm2-2+（3-m）x-2=0是一元二次方程，求m的值.

2.當(dāng)a為何值時(shí)，[x-1x-2]-[x-2x+1]=[2x+ax-2x+1]的解是負(fù)數(shù)？

3.已知關(guān)于x的不等式（1-a）x>2的解的范圍為x<[21-a]，求a的取值范圍.

4.已知關(guān)于x的方程kx2-6x+1=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市沙溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)）