柏黎平

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，方程（組）占有重要的地位，它們是解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的基本模型.因此中考會(huì)重點(diǎn)考查，其所占分值較大，除單一知識(shí)點(diǎn)考查外，也會(huì)與其他知識(shí)相結(jié)合考查.下面將近兩年各地中考題中有關(guān)方程（組）的問(wèn)題追蹤歸類，同學(xué)們可以參考使用.

考點(diǎn)一：方程根（解）的意義

例1 （2017·菏澤）關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一個(gè)根為0，則k的值是 .

【解析】把x=0代入原方程，得關(guān)于字母k的一元二次方程k2-k=0，解得k=1或k=0，考慮到二次項(xiàng)系數(shù)不為0，因此k=0.

例2 （2017·南京）已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p= ，q= .

【解析】分別將-3和-1代入方程，得到關(guān)于p和q的兩個(gè)二元一次方程，組成方程組即可求得p=4，q=3.當(dāng)然本題也可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】所謂方程的根，即使方程兩邊相等的未知數(shù)的值.凡此問(wèn)題均可直接將已知的未知數(shù)的值代入方程，得到關(guān)于所求字母的方程，求解即可.此類問(wèn)題考查時(shí)都是基礎(chǔ)問(wèn)題，屬必得分項(xiàng)目，只要不馬虎，一般都不難解決.

考點(diǎn)二：直接解方程（組）

例3 （2016·臺(tái)灣）若二元一次聯(lián)立方程式[2x+y=14， ①-3x+2y=21 ②]的解為x=a，y=b，則a+b之值為何？（ ）.

A.[192] B.[212] C.7 D.13

【解析】本題可以有兩種方法解決，第一種方法：可以先用加減消元法解出方程組的解為[x=1，y=12，]再代入求得a+b=13；也可由①得y=14-2x，再代入②消元為關(guān)于x的一元一次方程求解.

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】直接解方程（組）主要包括一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程和分式方程.中考大多放在解答題的前幾題，考查他們的解法.解方程（組）是利用方程解決問(wèn)題的基本技能，同學(xué)們務(wù)必要掌握這幾種主要方程（組）的解題思路和解題方法.轉(zhuǎn)化思想在解方程時(shí)最為重要，將復(fù)雜的不會(huì)解的方程通過(guò)數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單會(huì)解的方程：多元方程組可通過(guò)加減和代入兩種方法轉(zhuǎn)化為一元方程；分式方程通過(guò)去分母向整式方程轉(zhuǎn)化；二次方程可以通過(guò)因式分解向一次方程轉(zhuǎn)化；無(wú)理方程可以通過(guò)兩邊平方向有理方程轉(zhuǎn)化.另外在解分式方程時(shí)因?yàn)槿菀桩a(chǎn)生增根，要特別注意，檢驗(yàn)是必要步驟.

考點(diǎn)三：一元二次方程相關(guān)知識(shí)

例4 （2017·蘇州）關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（ ）.

A.1 B.-1 C.2 D.-2

【解析】一元二次方程根的情況由根的判別式來(lái)判斷.根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得Δ=0，即（-2）2-4k=0，解得k=1，故答案選A.

例5 （2017·鹽城）若方程x2-4x+1=0的兩根是x1，x2，則x1（1+x2）+x2的值為 .

【解析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把x1（1+x2）+x2展開(kāi)得到x1+x2+x1x2，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可得答案5.

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）也是近兩年的高頻考點(diǎn)，不過(guò)大多情況出現(xiàn)在填空題和選擇題中，只考查其簡(jiǎn)單應(yīng)用，同學(xué)們只要掌握其基本結(jié)論即可.

考點(diǎn)四：方程（組）在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例6 （2017·揚(yáng)州）星期天，小明和小芳從同一小區(qū)門口同時(shí)出發(fā)，沿同一路線去離該小區(qū)1800米的少年宮參加活動(dòng)，為響應(yīng)“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”的號(hào)召，兩人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，結(jié)果小明比小芳早6分鐘到達(dá)，求小芳的速度.

【解析】本題中的等量關(guān)系是：小芳用時(shí)-小明用時(shí)=6.因此設(shè)小芳的速度是x米/分鐘，分別用含x的代數(shù)式表示小明用時(shí)和小芳用時(shí)，即可列出方程：[1800x]=[18001.2x]+6，解得x=50，經(jīng)檢驗(yàn)x=50是原方程的解，答略.

例7 （2017·瀘州）某校為打造書香校園，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購(gòu)置的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購(gòu)買甲種書柜3個(gè)，乙種書柜2個(gè)，共需要資金1020元；若購(gòu)買甲種書柜4個(gè)，乙種書柜3個(gè)，共需資金1440元.

（1）甲、乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？

（2）若該校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共20個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多提供資金4320元，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)幾種購(gòu)買方案供這個(gè)學(xué)校選擇.

【解析】第（1）小題有兩種不同計(jì)算方法造成的兩個(gè)等量關(guān)系，需求兩個(gè)未知量.設(shè)甲、乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是x元和y元，可列方程組[3x+2y=1020，4x+3y=1440，]解得[x=180，y=240，]答略.第（2）小題涉及兩個(gè)不等關(guān)系式，所以用不等式（組）解決.設(shè)甲種書柜購(gòu)買m個(gè)，則乙種書柜購(gòu)買（20-m）個(gè)，由題意得：[20-m≥m，180m+24020-m≤4320，]解得：8≤m≤10.因?yàn)閙取整數(shù)，所以m可以取的值為：8、9、10，故有三種可選方案，答略.

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】用方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題考查的是同學(xué)們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.此類問(wèn)題近幾年在江蘇中考中出現(xiàn)的頻率很高，比較多見(jiàn)的是行程類問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)類問(wèn)題，主要以考查列二元一次方程組和用分式方程解決問(wèn)題為多.解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于兩個(gè)方面：讀懂題意并找出題中的等量關(guān)系，設(shè)合適的未知數(shù)并用未知數(shù)表示出等量關(guān)系中的相關(guān)數(shù)量.其中更為重要的是用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題中的相關(guān)數(shù)量，因?yàn)榈攘筷P(guān)系就是一個(gè)等式，一旦用含x的代數(shù)式表示出等式中的數(shù)量，那么方程（組）就能較為輕松地列出了.

考點(diǎn)五：方程（組）與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用endprint

例8 （2017·連云港）設(shè)函數(shù)y=[3x]與y=-2x

-3的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則[1a]+[2b]的值是 .

【解析】函數(shù)圖像問(wèn)題與方程（組）有著密切聯(lián)系，本題前半個(gè)題目翻譯成方程語(yǔ)言則是：已知方程組[y=3x，y=-2x-3]的解為[x=a，y=b.]于是可以將a、b代入方程得[b=3a，b=-2a-6，]整理得[ab=3，2a+b=-6，]將所求代數(shù)式通分得[1a]+[2b]=[2a+bab]，整體代入得-2.

例9 （2017·青島）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖1擺放（點(diǎn)P與點(diǎn)B重合），點(diǎn)F，B（P），C在同一條直線上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°.如圖2，△EFP從圖1的位置出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；EP與AB交于點(diǎn)G.同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s.過(guò)Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD于M，連接AF，PQ，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，△EFP也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BD？

（2）設(shè)五邊形AFPQM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使S五邊形AFPQM∶S矩形ABCD=9∶8？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在PG的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】本題是一個(gè)較為復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查的知識(shí)點(diǎn)眾多，但方法較為明確：圖中所有的線段除已知的，其他線段的長(zhǎng)都可以用含t的代數(shù)式表示出來(lái)，然后根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程或函數(shù)即可求解.第（1）題先用含t的代數(shù)式表示PC、CQ的長(zhǎng)，再利用△CPQ∽△CBD對(duì)應(yīng)邊成比例構(gòu)造方程即可得解t=[247]；第（2）題同樣先用含t的代數(shù)式表示△ABF、矩形ABCD、△CPQ和△DMQ的面積，再利用面積的和差關(guān)系即可求得y=[18]t2-[52]t+[1172]；第（3）題利用（2）中表達(dá)式和S五邊形AFPQM∶S矩形ABCD=9∶8列出一元二次方程[18]t2-[52]t+[1172]=54，解得t1=2，t2=18（舍去）；第（4）題作MN⊥BC，構(gòu)造矩形MNCD，根據(jù)AG2+AM2=PN2+MN2，用含t的代數(shù)式表示涉及線段，即可構(gòu)造關(guān)于t的方程[6-34t2]+[34t+722]=[72-t42]+62，求解得t1=0（舍去），t2=[3217].

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】從上面的兩個(gè)問(wèn)題我們可看出，綜合性問(wèn)題有起點(diǎn)不高、要求較全面的特點(diǎn)，許多綜合題常常以不同的問(wèn)題背景，需用含字母的代數(shù)式表示題中的相關(guān)數(shù)量，然后利用題中的等量關(guān)系，最終劃歸為構(gòu)造方程求解.主要構(gòu)造方程模型的情況有：代數(shù)型問(wèn)題以函數(shù)、實(shí)際應(yīng)用題等形式構(gòu)造方程（組）；幾何型問(wèn)題主要以基本圖形為背景結(jié)合勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、三角函數(shù)等知識(shí)構(gòu)造方程.而許多問(wèn)題一旦從方程的角度思考，建立方程模型去解決問(wèn)題，往往就容易理解了.當(dāng)然在解決綜合性問(wèn)題的過(guò)程中還不能忘記初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合、分類討論和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市雙鳳中學(xué)）