張明松， 王瑤， 程煉兵， 李宜， 伍強(qiáng)

（三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北宜昌 443002）

0 引言

鋸片在劇烈振動(dòng)時(shí)，集中了大部分振動(dòng)能量，噪聲也加大，因此研究如何降低圓鋸片橫向振動(dòng)問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。大量實(shí)驗(yàn)研究顯式采用阻尼技術(shù)的圓鋸片降噪幅度可達(dá)20 dB（A）[1]。制備一種新型的阻尼接頭結(jié)構(gòu)，在圓鋸片基體的一面熔覆一層阻尼接頭結(jié)構(gòu)，使其與另外一張基體復(fù)合在一起，并沿圓周焊接。阻尼接頭和圓鋸片基體的接觸，可以看做是一個(gè)彈性半球體與一個(gè)剛性面板的接觸問題；彈性球體與剛性面板的相互作用是復(fù)雜的高度非線性問題，在求解問題前，并不能知道具體的接觸范圍；且大多數(shù)接觸問題都要涉及摩擦阻尼因素。

摩擦是一種復(fù)雜的接觸過程，摩擦副發(fā)生整體滑動(dòng)之前，接觸面上部分區(qū)域?qū)l(fā)生細(xì)微滑動(dòng)[2-4],摩擦過程中接觸區(qū)域、受力大小、受力方向以及接觸面間的磨損和各種應(yīng)力應(yīng)變的不確定性,使人們至今還無法準(zhǔn)確地對摩擦過程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述[5],這也使得研究摩擦的相關(guān)特性變得十分復(fù)雜。且摩擦的接觸計(jì)算和接觸面間的耗能機(jī)理研究一直是摩擦學(xué)理論分析的重點(diǎn)[6]。而接觸問題具有高度非線性特性，目前在對接觸類問題的處理過程中還存在兩個(gè)困難[7]：1）在求解問題之前，并不知道接觸區(qū)域；2）在動(dòng)力學(xué)分析過程中，接觸面之間是通過相互貼合面進(jìn)行力和能量傳遞的，由于動(dòng)力學(xué)接觸過程力和能量傳遞的復(fù)雜性，并且經(jīng)常是多部件的接觸，會(huì)出現(xiàn)多種接觸對的相互耦合與相互作用。大多數(shù)實(shí)際工程類裝配體部件間的接觸過程，并不是絕對平面，其表面粗糙度各不相同[8]。

傳統(tǒng)的赫茲理論是在許多假設(shè)的前提下推導(dǎo)出來的近似解，利用赫茲理論只能解決一些規(guī)則幾何形狀的接觸問題[9]，不具備解決問題的普遍適用性。本文采用的ABAQUS[10]精于求解高度非線性問題而見長，能夠解決所有工程類接觸問題，且求解結(jié)果精度好。通過計(jì)算滑動(dòng)過程接觸耗能對系統(tǒng)勢能總量的影響，可以描述宏觀摩擦力在移動(dòng)過程中所做的功，進(jìn)而求得宏觀的摩擦力大小和整體摩擦因數(shù)，對描述宏觀接觸動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的耗能現(xiàn)象具有十分重要的意義。

1 半球頭的法向阻尼因子計(jì)算

為了方便分析問題，將摩擦表面的接觸滑動(dòng)行為等效成為一個(gè)粗糙表面和一個(gè)剛性平面的接觸，且等效粗糙表面具備各向同性的分形理論特征：且忽略接觸過程中相鄰接觸微凸體之間的相互作用，以及彈塑性接觸的強(qiáng)化作用[11]。在全體實(shí)數(shù)內(nèi)，所有連續(xù)并處處可導(dǎo)且具備統(tǒng)計(jì)學(xué)自相似性的Weierstrass-Mandelbrot分形函數(shù)為

式中：x為輪廓沿接觸平面上的位移；G為分形粗糙度；D為表面粗糙度輪廓分形維數(shù)；n為頻率指數(shù)；n1為最低頻率的初始項(xiàng)；γ為大于1的常數(shù)，它對應(yīng)相應(yīng)的波長。

由于粗糙表面輪廓對工程研究可認(rèn)為是連續(xù)的，而且隨著放大倍數(shù)的增加，在任何一點(diǎn)上都會(huì)呈現(xiàn)出更多的具有統(tǒng)計(jì)自相似自仿射性的粗糙度細(xì)節(jié)。根據(jù)以上分形理論定義[12]，為了使本接觸類型的表面構(gòu)建具備自相似性，需重新構(gòu)建傅里葉級數(shù)的振幅并改變函數(shù)沿軸向方向的變化趨勢。修改后的分形函數(shù)為：

其整體形貌變化趨勢如圖1所示。以此來表示阻尼接頭的幾何形狀。

圖1 阻尼接頭表面粗糙度

對于一個(gè)給定點(diǎn)截面面積為a的微凸體，由式（2）得出峰元頂端的變形量δ，取得出單個(gè)微凸體的變形量為[13]

式中,a為峰元接觸點(diǎn)面積，且滿足：

微凸體與剛性表面接觸示意圖如圖2所示，根據(jù)其幾何關(guān)系：R2=（R－δ）2+r2，略去δ2高階無窮小量得2Rrδ=r2；再結(jié)合面積公式a=πr2，得到凸體的曲率半徑為

將式（3）帶入式（5）可得：

圖2 當(dāng)量粗糙度表面1與理想剛性表面2的接觸

根據(jù)赫茲理論彈性接觸點(diǎn)上接觸面積與載荷的關(guān)系式，峰元承受的垂直于柔性結(jié)合部的法向彈性載荷[14]：

結(jié)合面的復(fù)合彈性模量可以表示為

式中:E*為兩接觸復(fù)合材料的彈性模量；E1、E2為兩接觸材料的彈性模量；ν1、ν2為兩材料的泊松比。

而本節(jié)中一接觸部件為剛體，令E1為阻尼接頭的彈性模量，即

將式（3）、式（6）代入式（7）中整理得

單個(gè)峰元在接觸部分承受著法向彈性載荷和塑性載荷，塑性接觸點(diǎn)上截面積α與塑性接觸載荷pp的關(guān)系為[15]

其中H為較軟材料的硬度。

對于峰元的描述，除半徑外還應(yīng)有高度參數(shù)，如峰高、峰距、兩表面間距、峰與表面間的距離在實(shí)際接觸面積的計(jì)算中，先接觸峰元的接觸面積隨接觸的繼續(xù)發(fā)展由小變大，隨后又有新的峰元進(jìn)入接觸。其接觸點(diǎn)面積a的分布密度函數(shù)為：

式中aL為峰元的最大變形接觸面積。

彈性接觸區(qū)域的彈性應(yīng)變能為

彈性區(qū)域產(chǎn)生的應(yīng)變能為

塑性接觸區(qū)域單個(gè)微凸體塑性應(yīng)變能為

因而塑性接觸區(qū)域總的應(yīng)變能為

式中aC到aL為彈性區(qū)域面積轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄詤^(qū)域面積。

通過阻尼產(chǎn)生的機(jī)理，即用損耗的振動(dòng)能量和總的振動(dòng)能量的比值來衡量結(jié)構(gòu)的阻尼特性。在接觸表面不考慮摩擦?xí)r，接觸力為法向力。由定義可得出阻尼接頭的損耗因子計(jì)算公式，把式（14）、式（16）代入可得

而在整張圓鋸片上有k個(gè)這樣的阻尼接頭，因此，取所有接頭的平均阻尼表達(dá)式為

本文取每個(gè)阻尼結(jié)合面法向損耗因子為0.03。

2 球-平板有限元接觸分析

2.1 阻尼接頭應(yīng)力應(yīng)變

半球頭與平板間為接觸摩擦，在ABAQUS有限元分析過程中，假設(shè)平板為剛性部件，半球頭為變形部件，取法向力為10 N，對半球頭施加沿著X方向的速度場，速度為100 mm/s，法向阻尼因子取0.03，接觸截面間的摩擦因數(shù)取0.05，滑動(dòng)距離為0.5 mm。控制相關(guān)約束條件，提交JOB運(yùn)行，最后查看結(jié)果。

圖3中，（a）、（b）、（c）分別顯示了滑動(dòng)半球頭在X、Y、Z三個(gè)方向的應(yīng)力云圖，其中可以從應(yīng)力數(shù)據(jù)上可以看出，沿著X方向上所受到的應(yīng)力最大，這是因?yàn)榘肭蝾^在運(yùn)動(dòng)方向上由于受到摩擦阻尼的作用使得半球頭產(chǎn)生切向應(yīng)力所致。整體總應(yīng)力變形見圖3（d），從應(yīng)力云圖顏色深度部分可以發(fā)現(xiàn)在接觸區(qū)域所受到的接觸應(yīng)力最大。

圖3 接觸運(yùn)動(dòng)應(yīng)力云圖

2.2 摩擦能分析

從能量的方面來看。本文提取6種能量曲線，半球頭能量項(xiàng)作用的曲線圖如圖4所示，分別是摩擦耗能曲線（ALLFD），偽應(yīng)變能曲線（ALLAE），內(nèi)能曲線（ALLIE），動(dòng)能曲線（ALLKE），非彈性應(yīng)變能曲線（ALLPD）以及彈性應(yīng)變能曲線（ALLSE）。可以看出，半球頭在受到法向力F作用時(shí)系統(tǒng)的內(nèi)能是不斷增加，在半球頭剛準(zhǔn)備運(yùn)動(dòng)之前，速度v賦予給阻尼半球頭，致使半球頭的動(dòng)能最大，而在發(fā)生運(yùn)動(dòng)以后，由于受到切向摩擦力的作用，動(dòng)能緩慢減少，半球頭受到力F的作用時(shí)，半球頭與平板的接觸面積會(huì)增大，此時(shí)摩擦阻尼也會(huì)增大，系統(tǒng)的內(nèi)能將變大，而動(dòng)能將進(jìn)一步減少，半球頭在法向方向上存在法向阻尼，使應(yīng)變滯后于應(yīng)力，從而使彈性應(yīng)變能和塑性應(yīng)變能發(fā)生更加緩慢的變化。

圖4 阻尼接頭能量項(xiàng)作用的曲線圖

運(yùn)用后處理命令將摩擦耗能曲線（ALLFD）和動(dòng)能曲線（ALLKE）添加到combine函數(shù)中，使摩擦耗能曲線除以系統(tǒng)的動(dòng)能曲線，得到如圖5的能量損耗率圖形，可以看出摩擦損耗的能量占系統(tǒng)總動(dòng)能的18%左右。

求解系統(tǒng)的總耗能，耗能量包括系統(tǒng)的摩擦耗能、系統(tǒng)的塑性應(yīng)變能，系統(tǒng)的總能量是動(dòng)能和內(nèi)能的總和，其表達(dá)式為

圖5 摩擦能量損耗率

將非彈性應(yīng)變能曲線（ALLPD）、摩擦耗能曲線（ALLFD）、動(dòng)能曲線（ALLKE）和內(nèi)能曲線（ALLIE）同樣添加到combine函數(shù)中，使前兩項(xiàng)耗能量除以后兩項(xiàng)能量，得到如圖6系統(tǒng)能量耗散率圖，可以看出耗散的能量占系統(tǒng)總能量的44%左右。

圖6 系統(tǒng)能量耗散率圖

3 結(jié) 論

將阻尼接頭看成是一個(gè)半球形模型，鋸片基體看作是缸體部件，與變形部件相比，缸體部件有很高的計(jì)算效率。通過對半球頭與平板進(jìn)行顯式動(dòng)力學(xué)分析，得到半球頭能量項(xiàng)作用的曲線圖，分析可知發(fā)生運(yùn)動(dòng)后，半球頭的動(dòng)能減少，內(nèi)能增加，而增加的內(nèi)能則是以熱能的形式傳遞出去了，達(dá)到了耗能的目的。通過后處理得到的能量耗損率圖和系統(tǒng)能量耗散率圖，可以看出，摩擦耗能占該系統(tǒng)總動(dòng)能的18%，而耗散的能量占系統(tǒng)總能量的44%左右。通過以上分析最終得出，阻尼接頭在微小范圍內(nèi)的滑動(dòng)能夠有效地起到摩擦耗能的作用，因而阻尼技術(shù)可廣泛應(yīng)用于需要減振降噪的零件或設(shè)備。

[1] 孫慶鴻,張啟軍,姚慧珠.振動(dòng)與噪聲的阻尼控制[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1993:44-48.

[2] COURTNEY J S,EISNER E.The effect of a tangential force on the contact of metallic bodies[J].Proc.R.Soc.,1957,238:529-550.

[3] BHUSHAN B,ISRAELACHVILI J N,LANDMAN U.Nanotribology:Friction,wear and lubrication at the atomic scale[J].Nature,1995,374:607-616.

[4] BEN-DAVID O,RUBINSTEIN S M,FINEBERG J.Slip-stick and the evolution of frictional strength[J].Nature,2010,463:76-79.

[5] PEITGEN H O.Beno it B mandelbrot(1924-2010)[J].Science,2010,330(6006):926.

[6] 謝友柏.摩擦學(xué)的三個(gè)公理[J].摩擦學(xué)學(xué)報(bào),2001,21(3):161-166.

[7] 博嘉科技.有限元分析軟件-ANSYS融會(huì)貫通[M].北京:中國水利水電出版社,2002.

[8] NAYAK P R.Random process model of rough surfaces[J].Transactions of the ASME Journal of Lubrication Technology,1971,93:398-407.

[9] HERTZ H.On the contact of elastic solids[J].Reine Angew.Math,1881,(92):156-171.

[10] 石亦平,周玉蓉.ABAQUS有限元分析實(shí)例詳解[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

[11]MAJUMDAR A,BHUSHAN B.Fractal Model of Elastic-Plastic Contact Between Rough Surfaces[J].Journal of Tribology,1991,113(1):1-11.

[12] 朱華,姬翠翠.分形理論及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2011:10.

[13]尤晉閩,陳天寧.結(jié)合面法向動(dòng)態(tài)參數(shù)的分形模型[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2009,43(9):91-94.

[14]波波夫.接觸力學(xué)與摩擦學(xué)的原理及其應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2011:47.

[15]YAN W,KOMVOPOULOS K.Contact analysis of elasticplastic fractal surfaces[J].Journal of Applied Physics,1998,84(7):3617-3624.