何志雄

摘要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，也是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其性質(zhì)眾多且復(fù)雜，時(shí)常讓人感到難以把握，尤其是對(duì)于一些條件或結(jié)構(gòu)相似的函數(shù)問(wèn)題，若不認(rèn)真審題，仔細(xì)對(duì)比，則往往會(huì)產(chǎn)生思維上的誤區(qū)，甚至張冠李戴，出現(xiàn)方法上的偏差.

關(guān)鍵詞：辨析；相似；函數(shù)問(wèn)題

一、定義域與值域

定義域與值域猶如一對(duì)孿生兄弟，一脈相承，相輔相成.一方面，自變量在定義域中的變化導(dǎo)致因變量在值域中的變化；另一方面，定義域中的每一個(gè)值都必須被自變量取遍，值域中的每一個(gè)值都必須被因變量取遍.

例1（1）若函數(shù)f（x）=log2ax2+2x+1的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）=log2ax2+2x+1的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析（1）f（x）的定義域?yàn)镽ax2+2x+1>0對(duì)任意x∈R恒成立.

當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為2x+1>0，顯然不滿足題意；

當(dāng)a≠0時(shí)，有a>0，Δ=4-4a<0， 解得a>1.

綜上可得，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽.

（2）令u=ax2+2x+1，則函數(shù)y=log2u的值域?yàn)镽u能取遍所有的正數(shù)，也就是0，+∞是函數(shù)u=ax2+2x+1值域的子集.

對(duì)于函數(shù)u=ax2+2x+1，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)u=2x+1的值域?yàn)镽，滿足題意；

當(dāng)a≠0時(shí)，有a>0，Δ=4-4a≥0， 解得0

綜上可得，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽.

二、定義域與有意義

對(duì)于給定了定義域的函數(shù)問(wèn)題，?？衫谩安坏仁降慕饧礊楹瘮?shù)的定義域”，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式來(lái)處理，也可利用函數(shù)與方程思想來(lái)解決，即利用“不等式解集的端點(diǎn)值恰好是這個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的方程的根”；若函數(shù)在區(qū)間上有意義，則可利用“函數(shù)的定義域應(yīng)包含函數(shù)有意義時(shí)自變量的集合”，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)解決.

例2（1）若函數(shù)f（x）=1+3x·a的定義域?yàn)?∞，1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）=1+3x·a在-∞，1上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析（1）1+3x·a≥03x·a≥-1.

當(dāng)a≥0時(shí)，3x·a≥-1的解集為R，

故f（x）的定義域?yàn)镽，不滿足題意；

當(dāng)a<0時(shí)，3x·a≥-1x≤log3-1a.

故f（x）的定義域?yàn)?∞，log3-1a.

所以log3-1a=1，解得a=-13.

（2）由題意可知，不等式1+3x·a≥0對(duì)任意x∈-∞，1恒成立a≥-13x對(duì)任意x∈-∞，1恒成立a≥-13xmax.

又-13x在-∞，1上的最大值為-13，所以a≥-13.

三、函數(shù)的值域與函數(shù)值的變化范圍

若一個(gè)函數(shù)的值域?yàn)锳，則是自變量在取定義域內(nèi)的一切值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值必須能且只能取遍A內(nèi)的一切值；若一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值的變化范圍為A，則是自變量在取定義域內(nèi)的一切值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都必須在A內(nèi)，但不一定能取遍A內(nèi)的一切值.

例3（1）已知函數(shù)f（x）=3x2-2m+3x+m+3，若f（x）的值域?yàn)?，+∞，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）已知函數(shù)f（x）=3x2-2m+3x+m+3，若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析（1）因?yàn)閒（x）min=-m2-3m3，

故-m2-3m3=0，解得m=-3或m=0.

即當(dāng)m=-3或m=0時(shí)，f（x）的值域?yàn)?，+∞.

（2）f（x）≥0恒成立Δ=-2m+32-4×3m+3≤0.

解得-3≤m≤0，即當(dāng)-3≤m≤0時(shí)，f（x）≥0恒成立.

四、自身軸對(duì)稱與相互軸對(duì)稱

對(duì)稱反映了函數(shù)圖象的和諧與美，函數(shù)中的軸對(duì)稱主要體現(xiàn)在函數(shù)圖象自身軸對(duì)稱與兩個(gè)函數(shù)圖象之間的軸對(duì)稱.一般地，若函數(shù)y=f（x）滿足fa+mx=fb-mx（m≠0），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a+mx+b-mx2=a+b2對(duì)稱；函數(shù)y=fa+mx與y=fb-mx的圖象關(guān)于直線a+mx=b-mx即x=b-a2m（m≠0）對(duì)稱.

例4（1）若函數(shù)f（x）滿足fx-1=f1-x，則f（x）的圖象關(guān)于直線（）.

A.x=0對(duì)稱 B.x=1對(duì)稱

C.y=0對(duì)稱 D.y=1對(duì)稱

（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y=fx-1與y=f1-x的圖象關(guān)于直線（）.

A.y=0對(duì)稱 B.x=0對(duì)稱

C.y=1對(duì)稱 D.x=1對(duì)稱

解析（1）對(duì)稱軸為直線x=x-1+1-x2=0，故應(yīng)選A.

另解令x-1=t，則由fx-1=f1-x可得ft=f-t，所以f（x）為偶函數(shù)，故應(yīng)選A.

（2）對(duì)稱軸為x-1=1-x，即x=1，故應(yīng)選D.

五、中心對(duì)稱與軸對(duì)稱

函數(shù)的中心對(duì)稱是有別于軸對(duì)稱的又一種圖形性態(tài)，解題時(shí)尤其容易出現(xiàn)把函數(shù)自身中心對(duì)稱與自身軸對(duì)稱混淆的情況，常有如下結(jié)論可供應(yīng)用∶若函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域內(nèi)任意x都滿足f2a-x+f（x）=2b（a，b為常數(shù)），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱；若函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域內(nèi)任意x都滿足fa-x+fb+x=c（a，b，c為常數(shù)），則y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a+b2，c2）對(duì)稱.結(jié)論易證，此處略.

例5（1）若函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有fx+8=f-2-x，當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=x2-7x+4，求f（x）的解析式；

（2）若函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有fx+8=-f-2-x，當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=x2-7x+4，求f（x）的解析式.

解析（1）因?yàn)閒（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有fx+8=f-2-x，

所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱.

當(dāng)x<3時(shí)，有-x+6>3，

此時(shí)函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=f6-x=6-x2-76-x+4=x2-5x-2，

所以f（x）=x2-7x+4x≥3，x2-5x-2x<3.

（2）因?yàn)閒（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有fx+8=-f-2-x，

所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)3，0中心對(duì)稱.

當(dāng)x<3時(shí)，有-x+6>3.

函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-f6-x=-6-x2-76-x+4=-x2+5x+2.

故f（x）=x2-7x+4x≥3，-x2+5x+2x<3.

六、單調(diào)區(qū)間與區(qū)間上單調(diào)

若某函數(shù)的單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）區(qū)間為A，同時(shí)該函數(shù)在區(qū)間B上單調(diào)遞增（單調(diào)遞減），則BA.

例6（1）已知函數(shù)f（x）=x3-ax+2，若函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為1，+∞，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）已知函數(shù)f（x）=x3-ax+2，若函數(shù)f（x）在區(qū)間1，+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值.

解析（1）f ′（x）=3x2-a，

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為1，+∞，

所以f ′（x）>0對(duì)于任意x∈1，+∞恒成立，且1是方程f ′（x）=0的一個(gè)根.

故3×12-a=0，解得a=3.

（2）f ′（x）=3x2-a.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間1，+∞上單調(diào)遞增，

所以f ′（x）>0對(duì)于任意x∈1，+∞恒成立

a<3x2對(duì)于任意x∈1，+∞恒成立.

故a≤3.

七、主元與次元

求解某些多元函數(shù)問(wèn)題或含參函數(shù)問(wèn)題時(shí)，若根據(jù)已知條件，合理選定其中一個(gè)變量為主元，其余的變量均視作次元，則可較快轉(zhuǎn)化甚至簡(jiǎn)化問(wèn)題.

例7（1）已知函數(shù)f（x）=x2+mx+1，若對(duì)任意x∈0，2，f（x）>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）已知函數(shù)f（x）=x2+mx+1，若對(duì)任意m∈0，2，f（x）>0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解析（1）視x為主元，m為參數(shù)，若按二次函數(shù)求最值的方法處理，則較復(fù)雜，現(xiàn)采用分類與整合的策略：

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1>0恒成立，此時(shí)m∈R；

當(dāng)x∈0，2時(shí)，f（x）>0恒成立

m>-x+1x恒成立

m>-x+1xmax=-2.

綜上可得，m>-2.

（2）視m為主元，x為參數(shù)，

設(shè)hm=xm+x2+1，

因?yàn)閷?duì)任意m∈0，2，f（x）>0恒成立，

所以h0>0，h2>0， 即x2+1>0，2x+x2+1>0，

解得x≠-1.

八、對(duì)稱與周期

對(duì)稱與周期猶如函數(shù)眾多性質(zhì)中的兩顆璀璨的明珠，二者合力促使函數(shù)圖象呈現(xiàn)出更多的數(shù)學(xué)美.由于蘊(yùn)涵這兩個(gè)性質(zhì)的條件在表述形式上極其相似，因此經(jīng)常容易出現(xiàn)理解混淆，甚至得出錯(cuò)誤結(jié)論的情況.

例8（1）已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f1+x=f1-x，且f-1=5，求f3；

（2）已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足fx+1=fx-1，且f-1=5，求f3.

解析（1）由題意可知，函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1+x+1-x2=1對(duì)稱，結(jié)合對(duì)稱性可得f3=f-1=5.

（2）因?yàn)閒x+1=fx-1，

所以fx+1+1=fx+1-1.

即有fx+2=f（x），故函數(shù)f（x）的周期為2.

又因f-1=5，

所以f3=f-1+4=f-1=5.

評(píng)注在解決函數(shù)周期性問(wèn)題時(shí)，時(shí)常利用這樣一個(gè)結(jié)論∶若函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足fx+a=fb+x（a