黃天鵬,劉小雄,馬青原,張永杰

(西北工業(yè)大學 自動化學院,西安 710072)

0 引言

近年來四旋翼無人機成為航空領域的一大研究熱點，由于四旋翼無人機優(yōu)異的垂直起降和低成本特性，使其在軍事、公共安全、政府應急救援指揮以及民用航拍、農(nóng)業(yè)植保等領域具有廣泛用途。但是四旋翼無人機作為典型的欠驅(qū)動非線性系統(tǒng)，其位置控制是通過姿態(tài)控制實現(xiàn)的，并且所有的運動都建立在對4個電機的控制基礎上，因此四旋翼無人機的姿態(tài)控制至關重要。由于四旋翼無人機在飛行中受到環(huán)境干擾，自身電機高速轉(zhuǎn)動引起的陀螺力矩，存在的電機未建模動態(tài)，旋翼葉片之間的氣動干擾和由于質(zhì)量分布不均引起的未知慣性力矩干擾，使得依賴精確建模的傳統(tǒng)控制方法[1-3]在實際中難以達到四旋翼的控制要求[4-5]；雖然普通的自適應控制可以達到在控制信號中補償未知影響的效果，但是快速自適應會導致系統(tǒng)控制量的高頻振蕩，這樣的高頻控制信號在實際中不可實現(xiàn)，并且對系統(tǒng)魯棒性造成嚴重影響[6]。

針對以上問題，本文采用L1自適應控制理論[7]進行四旋翼無人機的姿態(tài)控制律設計，達到在快速自適應的同時保證系統(tǒng)魯棒性的性能要求[8-9]。L1自適應控制理論通過在控制信號中引入低通濾波器，在低通帶寬內(nèi)補償模型的不確定干擾；通過采用投影算子自適應律來保證估計參數(shù)的有界性，由于將快速自適應與魯棒性解耦，因此可以在硬件限制范圍內(nèi)任意提高自適應的快速性來達到系統(tǒng)需要的動態(tài)性能而又不失系統(tǒng)的穩(wěn)定性[10]。本文主要講述了針對“X”型四旋翼無人機的非線性模型設計L1自適應角速率控制器，在此基礎上設計PID控制器將姿態(tài)控制轉(zhuǎn)化到內(nèi)環(huán)的L1自適應角速率控制。分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，最后通過仿真說明了所設計L1自適應控制系統(tǒng)在滿足快速動態(tài)性能的情況下仍然具備良好的魯棒性。

1 四旋翼姿態(tài)運動模型建立

本文采用“X”型四旋翼無人機為研究對象，根據(jù)其飛行控制原理，4個旋翼通過高速轉(zhuǎn)動產(chǎn)生升力，進而產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩和俯仰力矩控制滾轉(zhuǎn)角和俯仰角，旋翼轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的反扭矩控制偏航角，當旋翼機身滾轉(zhuǎn)角和俯仰角不為零時升力產(chǎn)生水平分力控制水平位置，升力在重力反方向的分力控制垂直位置，六個自由度的控制是通過調(diào)節(jié)4個旋翼的轉(zhuǎn)速即旋翼產(chǎn)生的升力和反扭矩實現(xiàn)的。因此定義U1,U2,U3,U4為四旋翼無人機的高度、滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航4個獨立控制通道的控制輸入：

(1)

由旋翼電機轉(zhuǎn)速與產(chǎn)生力和力矩關系進一步有：

(2)

其中：CT為升力系數(shù)，CM為反扭矩系數(shù)，?i為電機i的轉(zhuǎn)速。四旋翼的姿態(tài)角與機體系的角速度之間有如下關系[11]：

(3)

(4)

其中：φ、θ、ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；p、q、r分別為滾轉(zhuǎn)角速率、俯仰角速率和偏航角速率；Ix、Iy、Iz為四旋翼無人機繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量，J為每個旋翼的轉(zhuǎn)動慣量；d為旋翼葉片中心到四旋翼無人機重心的距離；ΩM=-?1-?2+?3+?4為由于電機差動產(chǎn)生的陀螺力矩轉(zhuǎn)速。以上通過經(jīng)典力學運動方程建立四旋翼無人機姿態(tài)運動模型，為下面設計L1自適應控制器提供基礎。

2 四旋翼L1自適應控制器結(jié)構(gòu)

考慮與四旋翼模型相對應的非線性系統(tǒng)：

x(0)=x0

y(t)=CTx(t)

(5)

其中：x(t)∈Rn是可測量的系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈Rm為系統(tǒng)的控制輸入信號，Am是n×n的赫爾維茲矩陣，Bm∈Rn×m和C∈Rn×n是已知常數(shù)矩陣，ω∈Rm×m為未知常數(shù)對角矩陣，包含了由于質(zhì)量分布不均引起輸入力矩干擾，f(·)是未知非線性函數(shù)，包含四旋翼模型的陀螺力矩干擾、與狀態(tài)有關的非線性和外界干擾。

L1自適應控制通過設計滿足系統(tǒng)瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的狀態(tài)觀測器，然后以觀測狀態(tài)和實際系統(tǒng)狀態(tài)之間的誤差作為快速自適應律的輸入，估計出系統(tǒng)的未知參數(shù)，進而用估計參數(shù)構(gòu)造控制信號，去抵消在低通濾波器帶寬范圍內(nèi)的不確定干擾，使系統(tǒng)輸出信號跟蹤輸入信號，L1控制器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 L1自適應控制結(jié)構(gòu)

2.1 狀態(tài)觀測器

根據(jù)被控對象模型設計如下狀態(tài)觀測器：

y(t)=CTx(t)

(6)

2.2 自適應律設計

由于自適應控制律中包含估計參數(shù)，因此為了確?？刂菩盘柕挠薪缧院涂蓪崿F(xiàn)性，必須保證在快速自適應估計參數(shù)的同時保證估計參數(shù)的有界性，因此采用基于投影算子的自適應律，避免估計參數(shù)漂移和保證系統(tǒng)較好的魯棒性。設計基于投影算子的自適應律結(jié)構(gòu)如下：

(7)

2.3 控制律

為了使被控對象的性能達到理想模型：

ym(t)=CTxm(t)

(8)

在自適應律估計出未知參數(shù)后，構(gòu)造控制信號抵消系統(tǒng)的不確定性部分，并且使系統(tǒng)跟蹤上輸入信號，同時為了保證系統(tǒng)的魯棒性[14]，引入低通濾波器解決快速自適應導致的控制信號高頻振蕩的問題，因此在控制信號中加入低通濾波器，控制結(jié)構(gòu)如下：

(9)

其中：

C(s)=ωkD(s)(I+ωkD(s))-1

(10)

3 四旋翼姿態(tài)控制律設計

基于以上分析，設計L1自適應控制結(jié)構(gòu)進行四旋翼姿態(tài)控制，模型參數(shù)見表1。

表1 模型參數(shù)

3.1 L1自適應控制器增益

將四旋翼參數(shù)帶入模型方程中，得到狀態(tài)方程矩陣，通過極點配置方法求解反饋增益矩陣為：

從而求解出理想閉環(huán)系統(tǒng)Am和Bm陣如下：

極點配置后，非線性函數(shù)向量為：

(11)

其中：Kii為反饋增益矩陣K第i個對角線元素。

根據(jù)實際飛行狀態(tài)，四旋翼機體角速率最大值3.5rad/s，電機轉(zhuǎn)速最大值設為6000rpm，則陀螺力矩轉(zhuǎn)速最大值為ΩM max=2513rad/s。根據(jù)以上物理量范圍，求得參數(shù)范圍θbi=0.1，并取任意正常數(shù)ε=0.1，則σbi=0.1,則投影算子邊界為：

Θ=[-0.1,0.1]，Δ=[-0.1,0.1]

則L=max‖θ‖1=0.3。由于質(zhì)量分布不均引起的未知輸入增益范圍選取如下：

ω11∈[0.1,0.2],ω22∈[0.1,0.2],ω33∈[0.5,1.5]

3.2 自適應律設計

選取自適應增益Γ=1000。

為了使角速率輸出以零穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤到理想系統(tǒng)輸出：

yid=CTH(s)kgr(s)

(12)

設置：

選取D(s)=1/s，則有:

G(s)=H(s)(1-C(s))=

L1自適應控制方法范數(shù)穩(wěn)定條件為：

由G(s)的形式可知，在狀態(tài)矩陣Am對應的系統(tǒng)閉環(huán)性能條件下，為了滿足范數(shù)穩(wěn)定條件，增大低通濾波器帶寬可以保證系統(tǒng)滿足范數(shù)穩(wěn)定條件和閉環(huán)自適應系統(tǒng)良好的跟蹤性能。但是高帶寬低通濾波器會導致控制信號對外部噪聲敏感，系統(tǒng)魯棒性降低。因此低通濾波器的設計轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)動態(tài)性能和魯棒性的約束優(yōu)化問題[15]。本文選取低通濾波器帶寬選取ωk=100。

在L1角速率控制器的基礎上，設計由目標角度到目標角速率的PID控制器，結(jié)構(gòu)如下：

(13)

因此系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)為PID控制與L1自適應控制串聯(lián)結(jié)構(gòu)。目標角度到目標角速率解算由于只涉及到目標信號的轉(zhuǎn)化，因此利用PD控制保證了角度控制的快速性與精確性，角速率控制中采用L1自適應控制作為整個旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)的核心，充分發(fā)揮L1自適應控制優(yōu)異的抗干擾能力和快速跟蹤性能，保證系統(tǒng)的快速性和魯棒性。

3.3 魯棒性分析

根據(jù)p、q、r通道的獨立控制可得，存在如下開環(huán)傳遞函數(shù)：

(14)

(15)

Ami,Bmi,Ci(s)分別為對角矩陣Am,Bm,C(s)的第i個對角線元素。則由式(5)、(6)、(7)、(9)組成的L1自適應控制系統(tǒng)的保守時間增益為：

其中：φmi，ωgc i分別為開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Lo(s)的第i個對角線傳遞函數(shù)的相角裕度和截止頻率[7]。根據(jù)以上結(jié)論，將第3節(jié)模型參數(shù)帶入式(14)，分別畫出p、q、r通道傳遞函數(shù)波特圖見圖2～圖4。

圖2 滾轉(zhuǎn)角速率通道波特圖

圖3 俯仰角速率通道波特圖

圖4 偏航角速率通道波特圖

由圖2～4可知，3個通道閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且可以直接得到估計的保守時間余度分別為τ1=τ2=0.00 142s，τ3=0.00 056s。說明L1自適應控制器在快速自適應的同時保證了系統(tǒng)的時間延遲余度，因此也保證了系統(tǒng)的魯棒性。

4 仿真結(jié)果與分析

根據(jù)以上控制器設計，在系統(tǒng)初始姿態(tài)和角速率狀態(tài)為零的條件下，輸入幅值5°、周期為10s的方波信號作為目標姿態(tài)角指令進行仿真驗證，仿真曲線如圖5所示。

圖5 L1自適應控制器性能

由圖5可知，在方波信號的姿態(tài)角指令輸入下，通過設計PID角度控制和基于投影算子的L1自適應控制器，四旋翼無人機的角度輸出在不確定非線性存在的情況下，能夠快速跟蹤到輸入姿態(tài)角，調(diào)節(jié)時間為1.2s，并且無超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差。在快速自適應的同時，姿態(tài)控制量U2、U3、U4沒有出現(xiàn)高頻振蕩。

為了驗證系統(tǒng)的魯棒性，根據(jù)第3節(jié)算出的時間延遲余度，分別在滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航通道的控制量中加入15 ms、10 ms、5 ms的時間延遲，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 三通道時間延遲分別為15 ms、10 ms、5 ms條件下L1自適應控制器性能

由圖6可知，在控制量延遲的情況下系統(tǒng)的跟蹤速度稍微變慢，調(diào)節(jié)時間為1.5 s，無超調(diào)，無穩(wěn)態(tài)誤差，角速率變化在實際范圍內(nèi)，控制量無高頻振蕩。以上仿真結(jié)果綜合說明了所設計L1自適應控制器在快速自適應滿足動態(tài)性能的條件下可以保持良好的魯棒性以抵抗外界干擾。

5 結(jié)論

本文針對“X”型四旋翼的角度控制問題，提出PID控制與基于投影算子自適應律的L1自適應控制相結(jié)合的控制結(jié)構(gòu)，重點闡述了L1自適應控制的結(jié)構(gòu)，設計過程，魯棒性以及穩(wěn)定性分析，將非線性模型等效轉(zhuǎn)化成線性模型來設計常規(guī)狀態(tài)觀測器，提出估計未知參數(shù)范圍的方法，并通過系統(tǒng)波特圖具體說明了系統(tǒng)保守的魯棒性能估計和抵抗外界干擾的能力。通過采用投影算子自適應律保證了參數(shù)估計的范圍，并且在低通濾波器帶寬范圍內(nèi)補償不確定干擾。通過添加周期性方波輸入信號和在滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航控制通道中加入時間延遲條件下進行仿真，仿真結(jié)果說明了L1自適應控制結(jié)構(gòu)的優(yōu)點，即在模型中存在非線性和外界干擾的情況下，控制結(jié)構(gòu)既能通過快速自適應滿足系統(tǒng)動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度，又能保證系統(tǒng)良好的魯棒性，因此本文所設計的基于L1自適應控制的四旋翼無人機姿態(tài)控制方法能保證無人機的穩(wěn)定性和抗干擾能力，具有很好的實際應用價值。

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