常芳+李潤(rùn)鑫+喬少華+尚振宏+劉輝

摘 要：針對(duì)圖像去噪的問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)范數(shù)及正則化參數(shù)的圖像重建方法。首先，考慮到退化圖像不僅含有高斯噪聲，而且含有拉普拉斯噪聲，利用最大似然估計(jì)的思想估計(jì)高斯噪聲和拉普拉斯噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差；其次，由于在圖像重建過(guò)程中，噪聲分布會(huì)發(fā)生變化，為此，構(gòu)造基于統(tǒng)計(jì)量的高斯和拉普拉斯權(quán)重函數(shù)，整合L1、L2范數(shù)，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)；最后，結(jié)合自適應(yīng)正則化參數(shù)方法，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)L1、L2范數(shù)及正則化參數(shù)的圖像重建方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的方法對(duì)含有混合噪聲的不同圖像具有比較理想的重建效果。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)量；自適應(yīng)；權(quán)重函數(shù)；L1-L2范數(shù)；正則化參數(shù)

DOIDOI：10.11907/rjdk.172377

中圖分類(lèi)號(hào)：TP317.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7800（2018）002-0219-05

0 引言

圖像重建是指利用信號(hào)處理和圖像處理方法，通過(guò)軟件計(jì)算的方式將退化的低分辨率（Low Resolution，LR）圖像轉(zhuǎn)化成高分辨率（High Resolution，HR）圖像的技術(shù)[1-4]。目前，圖像重建技術(shù)在視頻監(jiān)控、圖像打印、刑偵分析、醫(yī)學(xué)圖像處理、衛(wèi)星成像等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。圖像重建的主要方法有：凸集投影方法（POCS）[1]、最大后驗(yàn)概率估計(jì)方法（MAP）[1]、迭代反投影方法（IBP）[5]和最大似然估計(jì)（ML）[6]。其中，最大似然估計(jì)是基于最大后驗(yàn)概率估計(jì)的一種方法，是一種基于概率的算法框架，也是目前實(shí)際應(yīng)用和科學(xué)研究中運(yùn)用最多的一類(lèi)方法。該方法較為靈活，特別是它的正則項(xiàng)，可以自由加入對(duì)具體問(wèn)題的約束。在提出最大后驗(yàn)概率方法之后，對(duì)于如何設(shè)計(jì)一個(gè)有效的正則項(xiàng)成為圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)[7]。在過(guò)去的30年里，學(xué)者們陸續(xù)提出許多正則化方法，比較常用的有Tikhonov[1，8-9]正則化、全變差（Total Variation，TV）[10]正則化以及Farsiu S[11]等提出的雙邊全變差（Bilateral Total Variation，BTV）正則化。雙邊全變差正則化算法能夠得到比較理想的稀疏解，同時(shí)具有良好的邊緣信息保持和噪聲抑制效果，采用雙邊全變差作為正則項(xiàng)。

在現(xiàn)實(shí)世界中，低分辨率圖像往往含有高斯和拉普拉斯脈沖噪聲。在圖像重建過(guò)程中，L1范數(shù)對(duì)圖像的邊緣保持恢復(fù)效果較好，但是會(huì)出現(xiàn)階梯效應(yīng)，同時(shí)產(chǎn)生虛假邊緣，視覺(jué)效果并不理想；而L2范數(shù)對(duì)圖像平滑效果比較理想，但是去噪和邊緣保持能力不理想。為了達(dá)到同時(shí)抑制兩種噪聲目的，提出一種自適應(yīng)的L1、L2范數(shù)的數(shù)據(jù)保真項(xiàng)模型。同時(shí)，對(duì)于傳統(tǒng)的圖像重建算法，正則化參數(shù)是通過(guò)隨機(jī)選取，圖像重建結(jié)果不能達(dá)到理想效果。為此，提出了一種簡(jiǎn)單有效的自適應(yīng)正則化方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法可以有效地抑制圖像混合噪聲，并且在圖像平滑區(qū)域、邊緣保持方面有很好的重建效果。

1 自適應(yīng)范數(shù)及正則化參數(shù)超分辨率方法

1.1 退化模型

圖像退化是指圖像在獲取、傳輸和存儲(chǔ)過(guò)程中，因各種不確定因素影響導(dǎo)致圖像質(zhì)量下降。通常，圖像退化數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)線性過(guò)程表達(dá)，其定義如式（1）所示：

式（1）中，x為原始高分辨率圖像，z為退化圖像，Dk為第k幅圖像的模糊算子，Hk為第k幅圖像的下采樣算子，F(xiàn)k為第k幅圖像的幾何運(yùn)動(dòng)算子，Nk為加性噪聲。

目前，圖像重建都是以退化模型式為理論依據(jù)，通過(guò)已知的LR圖像z，對(duì)式（1）反向求解，得到HR圖像x。與此同時(shí)，求解過(guò)程往往忽略一些問(wèn)題：由于LR圖像數(shù)量不足以及病態(tài)的模糊因子D，往往導(dǎo)致解的不唯一性。為了解決這一系列問(wèn)題，通常采用正則化方法對(duì)其解空間加以限制。一般的標(biāo)準(zhǔn)正則化最小化函數(shù)是由描述模型誤差的數(shù)據(jù)保真項(xiàng)和約束模型實(shí)現(xiàn)魯棒性的正則項(xiàng)構(gòu)成。其表達(dá)式如式（2）所示：

式（2）中，P通常取1或2，λ為正則化參數(shù)，R（x）為正則項(xiàng)，對(duì)式（2）進(jìn)行最優(yōu)化求解完成圖像的重建。

1.2 自適應(yīng)L1、L2范數(shù)模型

圖像噪聲理論上可以理解為是不可預(yù)測(cè)、隨機(jī)發(fā)生的，是一個(gè)多維隨機(jī)過(guò)程，可以利用概率密度分布函數(shù)來(lái)描述。高斯和拉普拉斯噪聲的概率密度分布函數(shù)定義分別如式（3）、（4）所示：

式（3）、（4）中，r表示N維噪聲向量，σG、mG、σL和mL分別表示高斯和拉普拉斯對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差和均值。

計(jì)算拉普拉斯概率密度分布函數(shù)的最大似然估計(jì)（MAP），對(duì)式（4）等式兩邊取對(duì)數(shù)，計(jì)算結(jié)果如式（5）所示：

對(duì)式（5）求σL的偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算結(jié)果如式（6）所示：

根據(jù)式（6）計(jì)算可得拉普拉斯噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差如式（7）所示：

其中，拉普拉斯噪聲均值可以表示為：

同理，可得高斯噪聲的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，如式（9）、（10）所示：

如前文所述，在式（2）中，當(dāng)p=2時(shí)，L2范數(shù)通常對(duì)高斯噪聲有比較好的魯棒性；而當(dāng)p=1時(shí)，L1范數(shù)對(duì)拉普拉斯噪聲有比較好的魯棒性。在圖像處理過(guò)程中，圖像會(huì)受到混合噪聲的影響（主要是高斯脈沖噪聲）。為了解決這些問(wèn)題，本文采取一種自適應(yīng)L1-L2范數(shù)框架，通過(guò)脈沖噪聲檢測(cè)圖的驅(qū)動(dòng)，利用不同范數(shù)解決超分辨率問(wèn)題。

為實(shí)現(xiàn)在圖像處理過(guò)程中兩種噪聲自適應(yīng)范數(shù)的選擇，考慮利用最大似然估計(jì)，構(gòu)造基于統(tǒng)計(jì)量的權(quán)重函數(shù)，對(duì)應(yīng)的高斯噪聲權(quán)重表達(dá)式如式（11）所示：

式（11）中，σG、σL分別對(duì)應(yīng)高斯和拉普拉斯噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。令v=σLσG，則式（11）可以表示為：

同理，對(duì)應(yīng)的拉普拉斯噪聲權(quán)重函數(shù)為1-S（v）。

當(dāng)v=1時(shí)，高斯噪聲和拉普拉斯噪聲分布趨于相等，權(quán)重都為0.5；當(dāng)v≠1時(shí)，兩種噪聲通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差比自主選擇對(duì)應(yīng)的權(quán)重，如圖2所示。endprint

目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)保真項(xiàng)則可以定義為：

1.3 自適應(yīng)正則化

對(duì)于正則項(xiàng)R（x）的選擇是圖像重建的一個(gè)非常關(guān)鍵的任務(wù)，然而本文提出的模型具有靈活地添加先驗(yàn)約束的特征。在這項(xiàng)研究中，主要任務(wù)是測(cè)試數(shù)據(jù)保真項(xiàng)的自適應(yīng)范數(shù)的性能?；陔p邊全變差（Bilateral Total Vriation，BTV）在圖像重建過(guò)程中具有良好的抑制噪聲和保持邊緣的性能，為此，選擇BTV正則化算法作為先驗(yàn)知識(shí)，其表達(dá)式如式（14）所示：

式（14）中，α為雙邊濾波算子的權(quán)重系數(shù)，取值為[0，1]，l和m分別表示圖像x在水平和垂直方向上的位移，Slx和Smy為平移后的變換矩陣。

正則項(xiàng)參數(shù)λ用于平衡數(shù)據(jù)誤差項(xiàng)與正則項(xiàng)之間的相對(duì)貢獻(xiàn)。當(dāng)λ選取過(guò)大時(shí)，圖像重建會(huì)導(dǎo)致邊緣紋理過(guò)重和圖像噪聲過(guò)大；當(dāng)λ選取過(guò)小時(shí)，會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定的解。因此，正則化參數(shù)的選取對(duì)于圖像的重建效果至關(guān)重要。傳統(tǒng)的參數(shù)選取方法主要有通過(guò)經(jīng)驗(yàn)手動(dòng)調(diào)整和利用L曲線的方法[12]，然而，手動(dòng)調(diào)整對(duì)于選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)非常困難。為此，提出一種比較簡(jiǎn)單和實(shí)用的正則化參數(shù)選取方法，該方法充分利用迭代重建的信息獲取最佳效果。表達(dá)式如式（15）所示：

式（15）中，μ是一個(gè)接近零但不等于零的參數(shù)，以防止分母為零。這里設(shè)置μ=0.01，λ與zk-DkHkFkx成正比，與R（x）成反比。zk-DkHkFkx的均值表示圖像噪聲大小，該均值越小表示圖像噪聲越小，對(duì)應(yīng)的正則化參數(shù)λ也會(huì)越小。R（x）用于描述圖像的紋理和細(xì)節(jié)，為了得到式（2）的最小值，選擇R（x）的最大值。通過(guò)該方法，選擇的正則化參數(shù)λ將是最佳的參數(shù)值。

綜合式（13）～（15），最終的圖像重建目標(biāo)函數(shù)如式（16）所示：

1.4 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化

對(duì)于式（16）的求解，本文采用共軛梯度下降法，在圖像迭代過(guò)程中，沿負(fù)梯度的方向進(jìn)行收斂，直到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值。目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的梯度函數(shù)表達(dá)式為：

2 實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)步驟

（1）選取LR圖像序列中的某一幀作為參照?qǐng)D像，利用光流法對(duì)LR圖像序列進(jìn)行配準(zhǔn)。

（2）利用雙立方插值法，通過(guò)LR參照?qǐng)D像生成初始HR圖像xn。

（3）將xn代入式（11）、（15），求得自適應(yīng)噪聲權(quán)重函數(shù)S（v）及正則化參數(shù)λ，再將xn、S（v）和λ代入式（17），求得此次迭代的HR圖像xn+1。

（4）設(shè)定迭代閾值：‖xn+1-xn‖xn≤η，這里設(shè)置η=10-4，判斷xn+1是否滿足迭代停止條件，如果滿足，停止迭代，則xn+1即為所求的重建圖像；否則，返回步驟（3）。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)范數(shù)加權(quán)函數(shù)圖像重建方法的有效性，分別與L2BTV[21]算法、L1BTV[22]算法作實(shí)驗(yàn)對(duì)比。實(shí)驗(yàn)中選取512×521Lena、512×512peppers、321×481boat和481×321corn作為原始高分辨率灰度圖像，利用平面投影運(yùn)動(dòng)模型，加入高斯模糊算子σ2PSF=0.4，下采樣算子為2，加入高斯與拉普拉斯噪聲（σ2+s），生成一組低分辨率序列圖像。

本文采用峰值信噪比（Peak Signal To Noise Ratio，PSNR）和結(jié)構(gòu)相似度（Structural Similarity，SSIM）[13]作為圖像重建質(zhì)量評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)。其定義式分別如式（18）、（19）所示：

式（18）、（19）中，為重建高分辨率圖像，x為原始高分辨率圖像，μ、μx和σ2、σ2x分別為對(duì)應(yīng)的均值和方差，σx為協(xié)方差，C1和C2為常數(shù)。

為了驗(yàn)證本文提出模型的有效性，與L2BTV、L1BTV算法的重建結(jié)果進(jìn)行比較。圖3（a）為L(zhǎng)ena低分辨率序列圖像中的一幀，其中，高斯噪聲與拉普拉斯噪聲強(qiáng)度為（0.001+0.1）；圖3（b）為L(zhǎng)1BTV重建結(jié)果，可以很容易發(fā)現(xiàn)基于L2范數(shù)的模型對(duì)椒鹽噪聲的抑制效果不太理想；而圖3（c）表現(xiàn)出明顯的噪聲抑制效果，圖3（d）是本文提出方法的重建效果圖，相比于前兩種重建方法，該方法在圖像的平滑區(qū)域和邊緣保持方面有比較理想的重建效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，隨著椒鹽噪聲強(qiáng)度的增加，本文提出方法的PSNR和SSIM沒(méi)有大幅下降，相比于前兩種方法，PSNR和SSIM分別平均提高了4.26dB、0.13。

同樣，在圖4中，圖4（a）為peppers低分辨率序列圖像中的一幀，加入的高斯噪聲與椒鹽噪聲強(qiáng)度為（0.001+0.12）。相比于L2BTV與L1BTV，本文提出方法的重建效果具有明顯的優(yōu)越性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示，本文方法的PSNR和SSIM值分別提高了3.19dB、0.14。

圖5、圖6為加入了不同高斯噪聲強(qiáng)度的圖像重建效果，圖5（a）為高斯和拉普拉斯噪聲強(qiáng)度為（0.002+0.12）的boat低分布率序列圖像中的一幀，圖6（a）為高斯與拉普拉斯強(qiáng)度為（0.003+0.08）的corn低分辨率序列圖像中的一幀。相較于前兩組實(shí)驗(yàn)，隨著高斯噪聲強(qiáng)度的

增加，L2BTV和L1BTV對(duì)應(yīng)的PSNR和SSIM值出現(xiàn)了大幅下降，而本文提出的方法卻沒(méi)有，如表3、表4所示，說(shuō)明本文提出的方法對(duì)高斯噪聲也具有較好的抑制效果。

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)混合噪聲圖像的重建，利用最大似然估計(jì)的思想，構(gòu)造了一種基于統(tǒng)計(jì)量的自適應(yīng)L1、L2范數(shù)的數(shù)據(jù)保真項(xiàng)模型。對(duì)于正則項(xiàng)，本文選取雙邊全變差正則化算法，同時(shí)，考慮到正則化參數(shù)對(duì)圖像重建的全局效果起著關(guān)鍵作用，設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單有效的自適應(yīng)方法。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，本文提出的方法效果優(yōu)于L1BTV、L2BTV算法，獲得了比較理想的重建結(jié)果。

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