隆志力，張建國(guó)，王超，鄒建軍

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)深圳研究生院，廣東深圳518055；2.東莞理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，廣東東莞523808）

超聲波控制系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)超聲加工的核心部件，其超聲能量輸出直接影響硬脆性材料去除的效率、刀具壽命與加工質(zhì)量。因此，對(duì)超聲波能量的控制方式極為關(guān)鍵。感應(yīng)耦合非接觸電能傳輸技術(shù)[1-3]（inductively coupled power transfer，ICPT）是利用電力電子技術(shù)和電磁感應(yīng)原理，通過(guò)原、副邊磁芯存在的空氣間隙，把電能從變壓器原邊傳輸?shù)礁边?，從而完成電能的非接觸傳輸工作。國(guó)內(nèi)外相繼開(kāi)展了關(guān)于非接觸式電能傳輸?shù)睦碚撗芯考皩?shí)驗(yàn)應(yīng)用，取得了多項(xiàng)技術(shù)突破，并在不同領(lǐng)域得到應(yīng)用[4-6]。松耦合變壓器也隨之被引入超聲加工領(lǐng)域[7-9]，使超聲加工中的電能傳輸從傳統(tǒng)的碳刷接觸式傳輸進(jìn)化到非接觸式電能傳輸，使碳刷在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)的摩擦發(fā)熱嚴(yán)重、壽命短、成本高及無(wú)法自動(dòng)換刀等問(wèn)題得到了完美解決。

當(dāng)旋轉(zhuǎn)超聲波加工系統(tǒng)使用非接觸式電傳輸模塊后，整個(gè)系統(tǒng)就會(huì)變?yōu)楦唠A數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)，導(dǎo)致系統(tǒng)的頻率特性與超聲能量控制變得更加復(fù)雜。針對(duì)此問(wèn)題，本文構(gòu)建了旋轉(zhuǎn)超聲加工的頻率與阻抗模型，采用Matlab平臺(tái)仿真分析了超聲系統(tǒng)的頻率與阻抗特性，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了仿真結(jié)果。

1 超聲加工驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

超聲波驅(qū)動(dòng)器可認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)超聲加工的核心模塊，其主要功能是將220 V/50 Hz的市電轉(zhuǎn)換成與換能器工作諧振頻率一致的正弦波電信號(hào)，并以一定功率的電能量驅(qū)動(dòng)壓電換能器，進(jìn)而產(chǎn)生一定的振幅能量。圖1是超聲加工驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的主要架構(gòu)。圖1a是根據(jù)Mason推導(dǎo)得到的經(jīng)典等效電路，其中，C0稱(chēng)為靜態(tài)電容，由壓電陶瓷厚度、電極面積和材料介電常數(shù)等決定；R1為動(dòng)態(tài)電阻；C1為動(dòng)態(tài)電容；L1為動(dòng)態(tài)電感，此動(dòng)態(tài)參數(shù)與換能器加工負(fù)載相關(guān)。圖1a所示左側(cè)部分為系統(tǒng)的匹配參數(shù)，T2為系統(tǒng)非接觸傳輸部分的松耦變壓器，其轉(zhuǎn)換系數(shù)為M。圖1b是超聲波驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化電路圖?？梢?jiàn)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中包含電阻、電容和電感，工作過(guò)程中換能器的等效參數(shù)具有動(dòng)態(tài)變化特性，變壓器也引入感性成分且存在漏感，因此整個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有復(fù)雜的電容和電感特性。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)最大的傳輸功率和最高的傳輸效率，需對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的頻率與阻抗特性及其影響規(guī)律進(jìn)行深入研究。

圖1 超聲加工系統(tǒng)等效電路圖

2 頻率阻抗模型

根據(jù)圖1所示驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的電路圖和戴維南定理，可得副邊等效阻抗計(jì)算公式為：

經(jīng)變壓器將副邊阻抗折算到原邊，可得：

折算后的阻抗可寫(xiě)成實(shí)部與虛部的和的形式：

整理可得到副邊阻抗折算到原邊的實(shí)數(shù)部分：

以及副邊阻抗折算到原邊的虛數(shù)部分：

可得副邊諧振頻率為：

整理可得到補(bǔ)償匹配電容為：

副邊阻抗折算到原邊得到的原邊總阻抗為：

其中，Zr可表示為：

進(jìn)一步可得阻抗角為：

對(duì)上式進(jìn)行處理，可得副邊品質(zhì)因數(shù)、變壓器耦合系數(shù)與系統(tǒng)頻率f、ω的關(guān)系為：

由此可看出，初級(jí)阻抗角受到諧振頻率、耦合系數(shù)和次級(jí)品質(zhì)因數(shù)的共同影響。

3 仿真計(jì)算

根據(jù)推導(dǎo)的阻抗與相位模型，在Matlab Simulink平臺(tái)上構(gòu)建超聲驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的仿真模型。如圖2所示，L1、C1、R1、C0為換能器參數(shù)；Cp、Cs為原副邊的耦合電容；T1為松耦合變壓器的參數(shù)，其中Lp、Ls為其原邊和副邊漏感。

圖2 仿真模型

在仿真模型中，對(duì)超聲波驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行頻率掃描仿真，起始頻率為23 kHz，終止頻率為33 kHz，頻率間距為10 Hz，仿真結(jié)果見(jiàn)圖3。圖3a是當(dāng)Qs取值為1時(shí)的相位曲線，可見(jiàn)隨著耦合系數(shù)從0.7增加到0.9時(shí)，整個(gè)超聲波驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從有1個(gè)過(guò)零點(diǎn)增加到3個(gè)，分別為初級(jí)電路固有諧振頻率、低分叉諧振頻率和高分叉諧振頻率，即此時(shí)電路發(fā)生了頻率分叉現(xiàn)象；且從圖3a可看出，臨界耦合系數(shù)為0.7。圖3b是當(dāng)Qs取值為2時(shí)的相位曲線，可見(jiàn)耦合系數(shù)為0.44時(shí)，過(guò)相位零點(diǎn)從1個(gè)增加到3個(gè)，所以臨界耦合系數(shù)為0.44。在換能器工作時(shí)，3個(gè)頻率點(diǎn)都有可能被選為系統(tǒng)的工作頻率，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)工作不穩(wěn)定，也會(huì)使系統(tǒng)在頻率跟蹤時(shí)發(fā)生混亂，找不到實(shí)際的頻率點(diǎn)，因此頻率分叉現(xiàn)象會(huì)破壞系統(tǒng)穩(wěn)定工作。

圖3 不同品質(zhì)因數(shù)下阻抗角與頻率之間的關(guān)系

由上述兩組曲線可知，當(dāng)品質(zhì)因數(shù)固定時(shí)，松耦合變壓器的耦合系數(shù)一旦超過(guò)臨界值，系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象，且隨著負(fù)載品質(zhì)因數(shù)的增大，頻率分叉發(fā)生的耦合系數(shù)變小?；谏鲜龇治隹芍谠O(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)應(yīng)盡可能使品質(zhì)因數(shù)小、耦合系數(shù)小，才有可能避免頻率分叉現(xiàn)象的發(fā)生，這也是設(shè)計(jì)松耦合變壓器時(shí)需著重考慮的地方。

進(jìn)一步分析頻率分叉現(xiàn)象，并求出頻率分叉的邊界條件及原、副邊品質(zhì)因數(shù)，由公式Q=ωL/R計(jì)算可得：

將整體等效阻抗與副邊發(fā)生并聯(lián)諧振阻抗做歸一化處理，令：

工作頻率和副邊并聯(lián)諧振頻率的比u=ω/ωn作為歸一化因子，其中u可表示工作頻率偏離諧振頻率的大小，同時(shí)將Qp、Qs同時(shí)代入上式，整理可得：

從式（16）可看出，Zn是關(guān)于Qp、Qs和u的關(guān)系式，Zn的解受到工作頻率和初級(jí)、次級(jí)品質(zhì)因數(shù)的影響，頻率分叉現(xiàn)象不發(fā)生，即當(dāng)此數(shù)學(xué)模型零相位角頻率等于副邊諧振頻率有唯一解時(shí)，就需式（16）的Zn=0時(shí)有唯一解，對(duì)Zn=0進(jìn)行處理可得：

可將u2當(dāng)成一個(gè)未知自變量，令u2=x，替換后可得：

當(dāng)式（18）有唯一解只需Δ=0即可：

通過(guò)計(jì)算可得：

式（20）即為發(fā)生頻率分叉的臨界值。因此，只有當(dāng)Qp＜Qs+1/Qs時(shí)，系統(tǒng)才不發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象，此時(shí)原邊品質(zhì)因數(shù)需比副邊品質(zhì)因數(shù)小。而當(dāng)Qp＞Qs+1/Qs時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象，原邊品質(zhì)因數(shù)比副邊品質(zhì)因數(shù)要大一些。

換到次級(jí)品質(zhì)因數(shù)和耦合系數(shù)的關(guān)系時(shí)，可表示為：

進(jìn)而可得到不發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象時(shí)副邊品質(zhì)因數(shù)與耦合系數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)式、負(fù)載阻抗與耦合系數(shù)的關(guān)系表達(dá)式，分別為：

副邊品質(zhì)因數(shù)隨著耦合系數(shù)的增大而減小，副邊阻抗也隨著耦合系數(shù)的增大而減小。從上述分析可得出結(jié)論：系統(tǒng)的負(fù)載越輕，耦合系數(shù)越小，越不易發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象。

3 實(shí)驗(yàn)

基于構(gòu)建的阻抗模型與仿真分析，搭建了如圖4所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。分別以超聲波驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的3個(gè)頻率（27.35、28.10、28.50 kHz）驅(qū)動(dòng)壓電換能器，通過(guò)示波器觀測(cè)換能器兩端電壓與電流信號(hào)，并用激光多普勒測(cè)量?jī)x對(duì)換能器輸出振幅進(jìn)行測(cè)量。

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖5是測(cè)得的超聲波驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的電壓、電流和振幅曲線。由圖5a可見(jiàn)，以3個(gè)不同頻率加載換能器兩端電壓分別為31.9、32、32.7 V，相差很小。由圖5b可見(jiàn)，低分叉頻率時(shí)振幅為6.43 mV、諧振頻率振幅為22.6 mV、高分叉頻率時(shí)振幅為18 mV。因此，以相同電壓驅(qū)動(dòng)這3個(gè)不同頻率時(shí)，換能器輸出振幅相差很大。這是因?yàn)椴煌l率時(shí)系統(tǒng)的總阻抗不同，當(dāng)工作在非諧振頻率時(shí)系統(tǒng)能量過(guò)多地消耗在電感和電容上，而不是消耗在實(shí)際做功的動(dòng)態(tài)電阻上，導(dǎo)致系統(tǒng)的電能轉(zhuǎn)化效率低。

圖5 示波器實(shí)測(cè)波形圖

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了超聲加工驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的阻抗模型與仿真模型，包括換能器等效參數(shù)、松耦合變壓器參數(shù)及匹配電容、電感等參數(shù)。由于超聲加工驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)多階數(shù)學(xué)模型，從仿真上也得到超聲加工系統(tǒng)存在頻率分叉現(xiàn)象，即在一定的頻率范圍內(nèi)，超聲系統(tǒng)存在多個(gè)頻率點(diǎn)，而這些頻率點(diǎn)均可能在工作過(guò)程中被驅(qū)動(dòng)。因此必須有效控制和避免超聲加工的頻率分叉現(xiàn)象。測(cè)試實(shí)驗(yàn)采用激光多譜勒儀對(duì)已有超聲換能器系統(tǒng)的3個(gè)頻率的振幅進(jìn)行測(cè)量，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的3個(gè)頻率的振幅輸出均不同，當(dāng)以諧振頻率工作時(shí)，系統(tǒng)的輸出振幅最大。

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