王忠進(jìn)，繆興華，胡神陽(yáng)，汪煒

（南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京210016）

超聲變幅桿在超聲技術(shù)、特別是功率超聲設(shè)備的振動(dòng)系統(tǒng)中有著舉足輕重的地位，其主要作用是將機(jī)械振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位移或速度放大，或?qū)⒊暷芰考性谳^小的面積上，即具有聚能作用[1]。由于超聲換能器的輸出振幅只有幾微米，但在功率超聲加工領(lǐng)域所需振幅要達(dá)到幾十甚至幾百微米，所以換能器必須和變幅桿配合，才能輸出所需的振幅。

按照振動(dòng)方向可將變幅桿分為縱向振動(dòng)、彎曲振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)三大類。其中，縱向振動(dòng)變幅桿可分為簡(jiǎn)單形和復(fù)合形，簡(jiǎn)單形又可分為指數(shù)形、圓錐形、懸鏈形及階梯形，復(fù)合形則是由各種簡(jiǎn)單形變幅桿根據(jù)實(shí)際需要組合而成的[2]。變幅桿的設(shè)計(jì)方法主要有解析法和等效電路法，其計(jì)算量較大，且結(jié)果存在誤差[3]。本文采用解析法設(shè)計(jì)變幅桿，使用CRO/E建立三維模型，并運(yùn)用ANSYS Workbench對(duì)變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析[4]，同時(shí)對(duì)階梯形變幅桿頻率修正的過(guò)程進(jìn)行仿真分析，根據(jù)修正的仿真結(jié)果指導(dǎo)修正過(guò)程，以此提高修正效率。

1 變幅桿的理論分析與設(shè)計(jì)

1.1 變截面桿縱振動(dòng)的波動(dòng)方程

某變截面桿見(jiàn)圖1。假設(shè)變幅桿是由均勻且各向同性的材料構(gòu)成，不計(jì)機(jī)械阻抗，且橫截面上各點(diǎn)所受的應(yīng)力均勻。其對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸x，作用在小體元（x，x+dx）所限定的區(qū)間上的張力為dx，根據(jù)牛頓定律可寫(xiě)出動(dòng)力學(xué)方程為[1]：

圖1 變截面桿的縱振動(dòng)

式中：S=S（x）為桿的橫截面積函數(shù)；ξ=ξ（x）為質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)；ρ為變幅桿的材料密度；E為楊氏模量。

在簡(jiǎn)諧振動(dòng)的情況下，式（1）可寫(xiě)成：

式中：k2=w2/c2。其中，k為圓波數(shù)；w為圓頻率；c為縱波在細(xì)棒中的傳播速度式（2）即為變截面桿縱振動(dòng)的波動(dòng)方程。

1.2 階梯形變幅桿的理論分析

如圖2所示，階梯形變幅桿由兩段不同截面積的均勻桿組成，其中直徑較大的一端為大端，直徑較小的一端為小端，以下統(tǒng)一簡(jiǎn)稱為大端、小端。

圖2 變幅桿示意圖

由此可得到均勻截面桿的波動(dòng)方程為：

式為：

1.3 階梯型變幅桿的設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)整個(gè)超聲振動(dòng)系統(tǒng)的共振，變幅桿的固有頻率應(yīng)與換能器的諧振頻率一致，即尺寸必須滿足頻率方程，變幅桿的設(shè)計(jì)頻率為整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)頻率。

1.3.1 超聲變幅桿和工具頭的材料選擇

超聲變幅桿的材料特性決定其傳振效果和放大倍數(shù)，要求材料在振動(dòng)時(shí)的損耗小、疲勞強(qiáng)度高，且聲阻抗和工具頭、換能器匹配。符合上述要求的金屬材料有鈦合金、45鋼、鋁合金、銅鎳合金等。其中，鈦合金的性能較好，但機(jī)械加工較困難，價(jià)格相對(duì)較貴，故一般選用45鋼、鋁合金等材料?？紤]到超聲波在不同介質(zhì)中傳播聲阻抗匹配，能量損耗較多，且換能器前蓋板采用鋁合金研制，故選用硬鋁作為超聲變幅桿的材料；考慮到工具頭在加工過(guò)程中磨損嚴(yán)重，故選擇模具鋼作為工具頭的材料。變幅桿、工具頭的材料性能參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 材料性能參數(shù)表

1.3.2 變幅桿尺寸計(jì)算

設(shè)計(jì)變幅桿的工作頻率為28 kHz、大端直徑D1=25 mm、小端直徑D2=15 mm。如圖3所示，變幅桿總長(zhǎng)為波長(zhǎng)的二分之一，其中波長(zhǎng)λ為：

由式（6）、式（7）可得α=0.5、N=1.67，通過(guò)查手冊(cè)可知過(guò)渡圓角R取值5 mm[2]。

圖3 變幅桿設(shè)計(jì)示意圖

1.3.3 工具頭對(duì)變幅桿的影響

在設(shè)計(jì)工具頭時(shí)，可將其看作直徑為15 mm、長(zhǎng)度為14 mm的圓柱體。由于工具頭的直徑小于波長(zhǎng)的十分之一（15 mm＜18 mm），長(zhǎng)度小于波長(zhǎng)的四分之一（14 mm＜45 mm），因此，在設(shè)計(jì)階段可根據(jù)公式計(jì)算工具頭的等效質(zhì)量，以減小設(shè)計(jì)任務(wù)的復(fù)雜性。如圖4所示，根據(jù)機(jī)電類比[5-7]：

由此可得lb′=28 mm。則b′=b-lb′=12 mm。因此，變幅桿大端長(zhǎng)度為55 mm，小端長(zhǎng)度為12 mm，過(guò)渡圓角R=5 mm。

圖4 工具頭對(duì)變幅桿諧振頻率的影響示意圖

2 超聲變幅桿的有限元分析

為了驗(yàn)證微細(xì)超聲振動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的合理性，采用ANSYS Workbench 15.0仿真分析軟件對(duì)變幅桿和工具頭進(jìn)行模態(tài)分析，主要用于確定變幅桿和工具頭的固有頻率及振型。具體分析步驟為：①建立有限元模型，設(shè)置材料特性；②定義接觸區(qū)域；③定義網(wǎng)格控制并劃分網(wǎng)格；④施加載荷與邊界條件；⑤定義分析類型；⑥設(shè)置求解頻率選項(xiàng)；⑦對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解；⑧對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)分析，具體表現(xiàn)為確定諧振頻率及振型。

根據(jù)上述設(shè)計(jì)尺寸，在CRO/E軟件中對(duì)超聲變幅桿及工具頭進(jìn)行三維建模，并將其導(dǎo)入ANSYS中，利用自動(dòng)網(wǎng)格劃分功能對(duì)變幅桿和工具頭進(jìn)行網(wǎng)格劃分[8]，結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 超聲變幅桿和工具頭的網(wǎng)格劃分模型

設(shè)置模態(tài)分析的頻率范圍為20～80 kHz，共求得6個(gè)諧振頻率。在模態(tài)分析時(shí)，假設(shè)工具頭和變幅桿不承受任何載荷；在裝夾時(shí)，僅對(duì)變幅桿節(jié)面處的圓周面進(jìn)行固定。所設(shè)計(jì)的工具頭和變幅桿的諧振頻率為28 kHz，由圖6可知，與之最接近的頻率為28.206 kHz[9]。由此可得出結(jié)論：在此頻率下，變幅桿和工具頭處于厚度方向振動(dòng)狀態(tài)，即設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的振型為縱振模式，該仿真結(jié)果與理論設(shè)計(jì)的偏差為0.736%。同時(shí)還可看出，端面的輸出振幅最大，設(shè)計(jì)節(jié)面位置的位移為零，滿足設(shè)計(jì)要求。

圖6 諧振頻率分析結(jié)果

3 超聲變幅桿的修正

由于存在加工誤差，加上變幅桿的材料金相組織分布不均勻且含有雜質(zhì)等原因，使制作出的變幅桿頻率與設(shè)計(jì)的理論值不符，故需對(duì)變幅桿加以修正，使其達(dá)到加工所需的值。利用阻抗分析儀檢測(cè)得到變幅桿的諧振頻率為26.423 kHz。為了提高修正效率，改變變幅桿三維模型的大、小端的長(zhǎng)度并對(duì)其進(jìn)行仿真，利用仿真結(jié)果指導(dǎo)修正過(guò)程。

由圖7～圖10所示仿真結(jié)果可知，變幅桿大端長(zhǎng)度減少1 mm，頻率增加232 Hz，長(zhǎng)度減少2 mm，頻率增加459 Hz；變幅桿小端長(zhǎng)度減少1 mm，頻率增加304 Hz，長(zhǎng)度減少2 mm，頻率增加785 Hz。由此可得，在修正過(guò)程中，變幅桿小端長(zhǎng)度變化對(duì)頻率得影響比大端長(zhǎng)度變化影響大，所以大端的修正尺寸應(yīng)比小端修正尺寸更大；且在相同條件下，為保證頻率的變化更穩(wěn)定，應(yīng)先修大端、再修小端。

圖7 大端長(zhǎng)度減少1 mm的仿真結(jié)果

在上述結(jié)論的指導(dǎo)下，本文對(duì)變幅桿進(jìn)行了修正。表2是修正過(guò)程中的變幅桿頻率變化情況，數(shù)據(jù)顯示，大端長(zhǎng)度修正2 mm，頻率增加493 Hz；小端長(zhǎng)度修正1.5 mm，頻率增加585 Hz，證明了小端長(zhǎng)度變化對(duì)頻率影響較大的結(jié)論。同時(shí)，通過(guò)先對(duì)變幅桿大端長(zhǎng)度修正2 mm得到了變幅桿頻率變化的大致范圍，并利用其確定了小端長(zhǎng)度修正1 mm時(shí)，變幅桿頻率不高于28 kHz，從而無(wú)需再進(jìn)行新的修正，大幅提高了效率。在對(duì)變幅桿長(zhǎng)度進(jìn)行反復(fù)修正后，振動(dòng)系統(tǒng)的諧振頻率逐漸向設(shè)計(jì)值靠攏，最終達(dá)到27.865 kHz，滿足了設(shè)計(jì)要求。

圖8 大端長(zhǎng)度減少2 mm的仿真結(jié)果

圖9 小端長(zhǎng)度減少1 mm的仿真結(jié)果

圖10 小端長(zhǎng)度減少2 mm的仿真結(jié)果

表2 變幅桿修正過(guò)程及其結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)、制作、修正了一個(gè)階梯形的變幅桿，使其符合設(shè)計(jì)要求。通過(guò)ANSYS有限元分析軟件對(duì)該階梯形變幅桿的頻率修正過(guò)程進(jìn)行仿真分析，可確定先修正大端還是小端，并根據(jù)修正大端變幅桿諧振頻率變化的情況，估算出修正小端長(zhǎng)度時(shí)的諧振頻率變化范圍，減少在修正小端長(zhǎng)度時(shí)的嘗試性修正，大幅提高了修正效率。

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