王維鴿，賀西平

（陜西師范大學 物理學與信息技術(shù)學院，陜西 西安710119）

超聲振動系統(tǒng)主要由換能器和變幅桿等部件組成。變幅桿起著聚集超聲能量、放大振幅和阻抗匹配等作用［1］。為了獲得大振幅的變幅桿，文獻［2］報道了外形為B樣條曲線的變幅桿，該變幅桿的振幅放大系數(shù)比傳統(tǒng)的懸鏈線變幅桿大41．1%，比貝塞爾曲線變幅桿大8．6%。Wang等［3］設(shè)計了貝塞爾曲線形變幅桿，仿真計算、測試表明貝塞爾曲線變幅桿的振幅放大倍數(shù)比傳統(tǒng)的懸鏈形變幅桿大71%。文獻［4］研究了5種形狀的變幅桿，仿真計算的結(jié)果說明階梯形和貝塞爾形變幅桿具有較大的放大系數(shù)。

對于傳統(tǒng)形狀變幅桿，在面積系數(shù)N相同時，階梯形變幅桿的振幅放大系數(shù)最大，其次為懸鏈線形、指數(shù)形，最小是圓錐形。雖然如此，形狀因數(shù)的順序恰與此相反。

一般設(shè)計變幅桿的方法有解析法［5－6］、傳輸矩陣法［7］、等效電路法［8－10］、表觀彈性法［11］和有限元法［12－13］等。隨著超聲加工技術(shù)應(yīng)用日益廣泛，為提高超聲加工、處理的效率和質(zhì)量，對振動系統(tǒng)的振幅等參數(shù)提出了更高要求。設(shè)計大放大系數(shù)的變幅桿，提高其能量轉(zhuǎn)換效率顯得極為重要［14］。

本文基于解析法和有限元法，研究了內(nèi)孔分別為柱孔和錐孔的錐形變幅桿。利用解析法推導了這兩種變幅桿的頻率方程及各性能參數(shù)表達式；利用ANSYS有限元分析軟件建立了這兩種桿以及對應(yīng)錐孔和柱孔填實的實心桿模型，計算了變幅桿的應(yīng)力以及振動位移隨軸向分布的規(guī)律。結(jié)果表明，當諧振頻率和面積系數(shù)相同時，錐孔的錐形變幅桿放大系數(shù)最大，柱孔的次之，實心錐形變幅桿最??；不同形狀變幅桿的位移節(jié)點與應(yīng)變極大位置之和近似等于其半波長諧振長度。最后給出了各變幅桿的等效電路。

1 推導及計算

內(nèi)孔為錐形和柱形、外形為錐形的變幅桿及對應(yīng)空心部分填實后的實心錐形變幅桿如圖1所示。

圖1 內(nèi)孔為柱形的錐形變幅桿（a），帶有錐形孔的錐形變幅桿（b），實心錐形變幅桿（c）的示意圖Fig．1 Sketch figurer of conical ultrasonic horn with a cylindrical central hole（a），Conical ultrasonic horn with a conical central hole（b）and the solid horn（c）

材料為45＃鋼，其楊氏模量為2．09×1011N2／m，泊松比為0．28，密度為7 800kg／m3。不同形狀變幅桿的編號及相應(yīng)的幾何尺寸如表1所示。為了便于比較，取各桿兩端的外徑相同。

表1 變幅桿編號及幾何參數(shù)Tab．1 The number and geometric parameters of the horns

1＃變幅桿的半徑變化規(guī)律為α1＝（R1－R2＋R3－R4）／（（R1－R4）l），面積系數(shù)為N1＝（R1－R4）／（R2－R3）；2＃變幅桿的半徑變化規(guī)律為α2＝（R1－R2）／（（R1－R4）l），面積系數(shù)為N2＝（R1－R4）／（R2－R3）；3＃與4＃變幅桿的半徑變化規(guī)律為α3，4＝（R1－R2）／（R1l），面積系數(shù)為N3，4＝R1／R2。

1．1 頻率方程及各性能參數(shù)表達式

變截面桿的一維縱向振動的波動方程其中k＝ω／c，k是波數(shù)；ω 是振動的圓頻率；c＝是桿中一維縱振傳播速度。已知中心帶孔的錐形變幅桿截面變化規(guī)律為

波動方程的解為

由式（4），當x＝x0時，ξ＝0，則位移節(jié)點x0為

1．2 性能參數(shù)的計算及分析

諧振頻率為14～25kHz，將表1中的幾何參數(shù)代入上面各表達式中，可計算得到諧振長度lp、位移節(jié)點x0、應(yīng)變極大xM、放大系數(shù)Mp如表2所示。

表2 變幅桿的各性能參數(shù)Fig．2 The kinds of performance parameters of the horns

各變幅桿的放大系數(shù)與諧振頻率的關(guān)系，如圖2所示。由圖2可以看出，諧振頻率與面積系數(shù)相同時，2＃變幅桿的放大系數(shù)最大，1＃變幅桿次之，3＃和4＃桿的放大系數(shù)相差不大，為最小。諧振頻率為20kHz時，取實心懸鏈線、階梯形變幅桿的大端和小端與表1中的幾何尺寸相同，則1?？招淖兎鶙U的放大系數(shù)（小于2＃）比懸鏈線形的還大29．6%，與階梯形的近似相等。

從圖3和圖4可以看出，在諧振狀態(tài)下，1＃和2＃變幅桿的（x0＋xM）／lp都近似等于1，即1＃和2＃變幅桿應(yīng)力極大的位置與位移節(jié)點之和與3＃變幅桿［15］的都近似等于對應(yīng)變幅桿的諧振長度。

圖2 不同形狀變幅桿的放大系數(shù)與諧振頻率的關(guān)系Fig．2 The relationship between amplification factor and resonant frequency with different horns

圓錐孔變幅桿各性能參數(shù)與諧振頻率的關(guān)系The relationship between the parameters of the sonant frequency of horns with a conical central hole

圓柱孔變幅桿各性能參數(shù)與諧振頻率的關(guān)系．4 The relationship between the parameters and t frequencies of horns with a cylindrical central hole

2 有限元計算

建立有限元模型進行模態(tài)計算，得到不同形狀變幅桿的諧振長度對應(yīng)的一階縱振頻率（如表3所示）。在諧振狀態(tài)下，各變幅桿的位移沿軸向分布如圖5和6所示。

從圖5和圖6中可以看出，2＃變幅桿的放大倍數(shù)最大，1＃變幅桿次之，3＃和4＃變幅桿的放大系數(shù)相差不大，即為最小。沿軸向歸一化應(yīng)力分布和位移分布如圖7和8所示。

表3 各變幅桿諧振長度對應(yīng)的一階縱振頻率Fig．3 The first order frequencies of longitudinal vibration corresponding to their length of the horns

圖5 圓柱孔與實心變幅桿沿軸向的位移分布Fig．5 Displacement distribution of the horns with a cylindrical central hole and solid horn

圖6 圓錐孔與實心變幅桿沿軸向的位移分布Fig．6 Displacement distribution of the horns with a conical central hole and solid horn

圖7 不同形狀變幅桿沿軸向的應(yīng)力分布曲線Fig．7 Stress distribution of kinds of the horns

圖8 不同形狀變幅桿沿軸向的位移分布曲線Fig．8 Displacement distribution of kinds of the horns

可以看出，在諧振狀態(tài)下4種變幅桿應(yīng)力極大的位置與位移節(jié)點之和近似等于對應(yīng)變幅桿的諧振長度。1＃變幅桿的應(yīng)變極大值xM＝0．071mm，位移節(jié)點x0＝0．06mm，xM＋x0＝0．131mm，近似為變幅桿的諧振長度。經(jīng)理論推導，空心變幅桿的等效電路與實心變幅桿的等效電路相同［1］，只要將空心變幅桿對應(yīng)阻的參數(shù)代入即可。

3 結(jié)論

本文基于解析法和有限元法，對4種不同形狀的變幅桿進行了計算研究，得到如下結(jié)論：

（1）在相同面積系數(shù)和諧振頻率下，空心變幅桿、階梯形變幅桿的放大系數(shù)最大，依次為懸鏈線、指數(shù)形、圓錐形。

（2）在相同面積系數(shù)和諧振頻率下，不同形狀中心孔錐形變幅桿的放大系數(shù)順序為：帶有錐形孔的桿最大，柱形孔的次之，柱孔為實心的桿和錐孔為實心的放大系數(shù)相差不大，為最小。

（3）中空變幅桿的應(yīng)力極大值大于對應(yīng)空心部分填實的變幅桿。

（4）4種變幅桿的形狀不同，等效電路卻都相同，代入相應(yīng)的幾何參數(shù)就可以得到具體的機電等效電路。

（5）不同形狀變幅桿的應(yīng)變極大值點與位移節(jié)點之和近似等于對應(yīng)變幅桿的半波長諧振長度。

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