張德琪，沈景鳳，陳俊豪

（200093 上海市 楊浦區(qū) 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

超聲振動加工技術是一種重要的特種加工技術，在航天領域、國防領域以及醫(yī)療等領域發(fā)揮著越來越重要的作用，解決了許多難加工材料的精密加工問題[1]。超聲波振動系統(tǒng)一般由超聲波發(fā)生器、換能器、變幅桿和加工工具組成。由于換能器端面上的振幅微小于10μm，需要在換能器端面連接變幅桿，以實現振幅放大。變幅桿是超聲振動系統(tǒng)中最為重要的組成部分，合適的變幅桿可以顯著提高加工效率與加工工件質量。變幅桿一般有單一型和復合型兩種類型[2]。在高強度超聲加工工藝中，往往要求變幅桿末端必須具有較大的振幅，而變幅桿的形狀因素和放大系數是影響振幅的主要因素，所以要求這兩個值越大越好，而單一變幅桿一般此優(yōu)彼劣，很難二者兼顧，因此需使用各種復合型或者形狀復雜程度高的變幅桿。目前，由多種母線組合而成的復合型變幅桿在精確設計及工作穩(wěn)定性方面仍存在較多缺陷[3]。本文基于波動理論來設計加工圓錐型復合變幅桿，并導入SolidWorks 中進行有限元分析，利用優(yōu)化算例可以較好地改善以往由多種母線組合而成的復合型變幅桿在設計和工作方面的不足。

1 變幅桿的功能

1.1 變幅桿的類別

變幅桿根據不同的分類方法可以分成圖1 所示的類型。

圖1 變幅桿分類圖Fig.1 Classification of horns

變幅桿是組成超聲振動振動系統(tǒng)的關鍵部件，由于換能器產生的振幅特別小，一般在幾微米左右，但超聲加工需要幾十微米的幅度，所以需要變幅桿將振幅放大，完成加工[4]。變幅桿的作用有負載阻抗匹配和聚能。作為負載時，將振動的機械能傳遞給工具，最終工具迫使工件振動，從而完成去除材料的加工；作為聚能作用時，能量密度和振幅存在式（1）的關系：

式中：K——常數；J——能量密度；A——振動的幅度。由此定性分析二者關系，變幅桿振動幅度與面積大小成反比，所以變幅桿一般為上面直徑大、下面直徑小的結構，同理，圓柱結構可以實現振動等幅度傳遞。

1.2 變幅桿的設計

1.2.1 理論分析

國內目前對于變幅桿的設計理論大多都是建立振動方程，利用一些邊界條件求解出變幅桿的頻率方程，這樣計算出的變幅桿結構簡單，但是當改變變幅桿一些結構時對變幅桿的影響較大，沒法計算改變結構后的具體數據。針對這種情況，本文采用了先用變幅桿理論計算出具體數據，然后用SolidWorks 建立模型，并建立與實際一樣的三維模型，包括螺紋孔。利用SolidWorks 的優(yōu)化算例，分析出比較合理的尺寸分布，最后通過諧響應分析得到優(yōu)化后的變幅桿，完成優(yōu)化設計。

根據設計旋轉超聲振動電加工機床的需求，決定采用圓錐復合型變幅桿，這種變幅桿放大性能好，工作穩(wěn)定，受力狀況好。下面簡單闡述圓錐復合變幅桿的理論計算[5]。

如圖2 所示，以圓錐復合變幅桿大端與圓錐交界處為節(jié)點位置，建立坐標軸，將變幅桿大端、過渡部分和小端分別稱作第1、2 和3 部分。假設變幅桿為理想狀態(tài)，則振動方程為

圖2 圓錐復合變幅桿Fig.2 Cone composite horn

式中：ξ——質點的位移函數；k——圓波數；S——截面積。

由于設計的變幅桿為半波長類型，所以k=k，根據振動方程可以得到圓錐復合變幅桿的小端質點位移分布函數

中間圓錐過渡段的質點位移分布函數

復合變幅桿大端部分質點位移分布函數

式中：l1，l2，l3——圓錐復合變幅桿各段長度；錐度系數為α=（N-1）/（Nl2）；N——大端與小端的直徑比。

得到整個圓錐復合變幅桿的頻率方程：

位移節(jié)點為

放大系數Mp為

1.2.2 變幅桿的設計

變幅桿需要與換能器的前蓋板緊密連接，為了更好地傳遞振動，減少能量損失，設計的變幅桿大端直徑應該和換能器前蓋板直徑一樣大[6]，所以變幅桿大端直徑為50 mm；設計的變幅桿類型為1/2 波長圓錐復合型，即l1=l3。為了方便計算變幅桿的數據，給定l2的尺寸為50 mm；材料選用傳聲性能好，價格便宜且易加工的45 號鋼，其縱波聲速c=5 170 m/s、密度ρ=7.85 g/mm3、楊氏模量E=211 GPa、泊松比λ=0.28。

查閱資料，面積比N=2 時變幅桿性能相對較好[7]，故以N=2 計算。將已知數據代入式（9）得l1=l3=44.1 mm。聯立式（2）、式（3），計算節(jié)點位置x0=17.4 mm，注意節(jié)點位置相對于坐標原點開始，由式（11）計算出放大倍數Mp=3.469 8。圓錐復合變幅桿的初步尺寸如表1 所示。

表1 圓錐復合變幅桿計算尺寸Tab.1 Calculated size of cone composite horn

這樣就完成了圓錐復合變幅桿的理論計算，變幅桿的尺寸全部確定。接下來，結合頻率分析和諧響應分析來優(yōu)化初步設計的變幅桿，優(yōu)化設計出性能接近真實的圓錐復合變幅桿。

2 變幅桿的優(yōu)化

2.1 計算的變幅桿模態(tài)分析

根據理論計算出來的數據進行SolidWorks 建模，然后進行圓錐復合變幅桿的模態(tài)分析。由于理論計算是無約束條件下的頻率方程，在頻率分析時不添加任何約束，材料設置為45 號鋼，網格采用自動生成，利用FFEPlus 求解前15 階頻率，發(fā)現在12 階時最接近設計頻率，為19 631 Hz。查看其12 階振型，發(fā)現共振變形為變幅桿為縱振狀態(tài)，可以滿足變幅桿縱向振動加工的需求[8]，具體分析如圖3 所示。

圖3 理論圓錐復合變幅桿模態(tài)Fig.3 Theoretical cone composite horn mode

對計算的理論變幅桿進行分析，頻率誤差為（20 000-19 631）/20 000=1.845%，由大端面和小端面的相對位移計算放大倍數MP=2.408/0.704=3.420，則放大倍數誤差為（3.469 8-3.420）/3.469 8=1.397%。通過分析計算，可知理論計算符合設計要求，但這只是簡單結構下的結論。變幅桿往往需要通過法蘭跟機床連接，在變幅桿底部還需要與加工工具連接，這些結構對變幅桿的諧振頻率有影響，尤其法蘭盤的大小會影響變幅桿的放大狀態(tài)[9]，對于法蘭盤和加工工具目前沒有較好的計算方法。利用SolidWorks 的優(yōu)化算例對實際變幅桿進行優(yōu)化分析，最后進行諧響應分析，得到最終實際性能優(yōu)越的變幅桿。

2.2 變幅桿的優(yōu)化

根據旋轉超聲系統(tǒng)的結構，確定變幅桿的法蘭盤大小，并將其定位在計算的節(jié)點位置。法蘭盤直徑100 mm，在72 mm 處有4×Φ4 的安裝孔，重建變幅桿模型。完成建模后，為了得到更加實際的工作狀態(tài)，將變幅桿法蘭盤處添加固定約束，然后進行模態(tài)分析，找出最接近20 000 Hz 的模態(tài)，發(fā)現在第10 階模態(tài)達到20 587 Hz，并且變幅桿屬于縱向振動狀態(tài)[10]，具體如圖4 所示。

圖4 變幅桿優(yōu)化前的模態(tài)Fig.4 Modal before optimization of the horn

打開SolidWorks 的設計算例，建立并設置頻率傳感器，頻率傳感器可以獲取到變幅桿在第10階振型下的共振頻率。以變幅桿的大端、過渡段、小端的長度為變量，結合變幅桿優(yōu)化理論，給定過渡段范圍為40～50 mm、大端和小端的長度為40.1～48.1 mm，進行優(yōu)化算法。

經過算法優(yōu)化分析，得到表2 中的優(yōu)化結果。變幅桿尺寸確定后，只需要進行變幅桿的諧響應分析，看是否滿足設計的需要。

表2 優(yōu)化結果和部分優(yōu)化數據Tab.2 Optimization results and partial optimization data

2.3 優(yōu)化后變幅桿的諧響應分析

優(yōu)化設計的圓錐復合變幅桿帶有法蘭盤，由于法蘭盤的存在，使得變幅桿工作端的振幅變小。為了確保放大倍數，進行變幅桿諧響應分析，設置求取20 000 Hz 附近的10 階模態(tài)，搜索范圍在10 000～25 000 Hz。按照實際工作狀況固定變幅桿法蘭盤，給變幅桿大端一個統(tǒng)一基準的0.01 mm的激發(fā)位移，網格選用帶有曲率的網格化分，曲率網格可以使諧響應分析的結果更加可靠[11]。分析完成后列舉共振頻率，在求出的各階振動頻率中，第6 階頻率為20 012 Hz，最接近設計的理論值20 000 Hz，誤差不超過1%，滿足設計和理論的需要，列舉的共振頻率如表3 所示。

表3 共振頻率Tab.3 The resonant frequencies

變幅桿在第6 階振型下共振頻率為20 012 Hz，其振型圖如圖5 所示。通過分析圖5 可以看出，在換能器與變幅桿連接處，換能器給其0.01 mm振幅位移；在法蘭盤處的變形最小，變幅桿可以輸出0.039 mm 振幅位移，從而完成放大的功能，完成超聲加工。

圖5 變幅桿優(yōu)化后諧響應分析Fig.5 Harmonic response analysis after horn optimization

由變幅桿諧響應圖6 可知，在20 012 Hz 時優(yōu)化后的變幅桿發(fā)生共振，并且振幅情況在整個響應頻率中較大，在40μm 左右，可以正常完成超聲加工，且性能良好。

圖6 優(yōu)化后變幅桿頻率響應圖Fig.6 Frequency response diagram of the horn after optimization

3 結語

本文通過分析，確定了變幅桿的類型為圓錐過渡復合結構。從理論計算了基本尺寸，并從具體的結構出發(fā)，建立了變幅桿的三維模型，考慮了法蘭盤和螺紋孔對變幅桿的影響。利用SolidWorks 進行模態(tài)分析后，確定了優(yōu)化變量，利用SolidWorks 的優(yōu)化算例優(yōu)化了變幅桿的具體尺寸，并通過諧響應分析證明了優(yōu)化后的變幅桿性能穩(wěn)定。所優(yōu)化設計的變幅桿能夠滿足超聲加工的需要，性能可靠，可以滿足實際工程需求。