于亞杰

(河北省第二測繪院，河北 石家莊 050031)

1 引 言

隨著國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的不斷發(fā)展，越來越多的高等級(jí)公路通向了山區(qū)。特別是海拔高、落差大的高山區(qū)高速公路路線測繪中，坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇尤為重要。在高山區(qū)坐標(biāo)系統(tǒng)和高精度平面控制網(wǎng)的選建過程中，平面控制測量的觀測數(shù)據(jù)要求進(jìn)行方位角和距離高斯投影及高程歸化的歸算，其中前者兩項(xiàng)歸算很小，可忽略不計(jì)，作業(yè)中一般主要考慮后者的兩項(xiàng)歸算。GPS的WGS-84大地坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到所選平面坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)使測區(qū)內(nèi)投影長度變形值不大于 2.5 cm/km，根據(jù)測區(qū)所處地理位置及平均高程情況，選定坐標(biāo)系統(tǒng)[1，2]。本文以京化高速公路(張家口段)1∶2 000地形圖航空攝影測量中坐標(biāo)系統(tǒng)的選建為例，探討了山區(qū)高速公路工程項(xiàng)目中關(guān)于投影帶、投影面的選取及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題。

2 長度變形分析

2.1 地面長度歸算到參考橢球面上的變形

在控制網(wǎng)的實(shí)測邊長D歸化至參考橢球面時(shí)，其長度將縮短△D，若地球平均曲率半徑為R，Hm為測距邊兩端點(diǎn)對(duì)參考橢球面的大地高平均值(測距邊兩端點(diǎn)對(duì)投影面的高程平均值)，則有下列近似關(guān)系[5，6]：

(1)

2.2 參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形

橢球體上的邊長S投影至高斯平面，其長度將伸長△S，該邊長兩端點(diǎn)平均橫坐標(biāo)值為ym，則有如下近似關(guān)系式[5，6]：

(2)

2.3 地面邊長歸算到高斯投影面的綜合變形值計(jì)算

以上兩項(xiàng)如果不能完全抵償而容許有一個(gè)殘余的差數(shù)VS，則其相對(duì)差數(shù)為：

(3)

(4)

由此可算得抵償帶的高程和相應(yīng)的橫坐標(biāo)區(qū)間。式(4)中ym為長度變形≤1/40000的橫坐標(biāo)區(qū)間，ym與Hm單位均為km。根號(hào)內(nèi)的“±”表明測距邊的高程歸化值可以比高斯改化值小，也可以比高斯改化值大。由式(4)可得：

由表1可知：對(duì)于一定的高程只存在一定的抵償?shù)貛?，其東西寬度隨高程的增加而愈來愈狹窄，測繪的區(qū)域往往不可能正好在這一范圍內(nèi)。可見人為的改變歸化高程來使它們與高斯投影的長度改化相抵償，便能很好的解決高海拔地區(qū)投影長度變形值超限的問題[7，8]。以本項(xiàng)目為例，獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)選擇了投影于抵償高程面上的高斯正形投影任意帶平面直角坐標(biāo)系的方法建立，中央子午線的選擇具有任意性，只要使投影面抬高，接近測區(qū)平均高程值，使各控制點(diǎn)的高程相對(duì)于投影面高程差值在 ±l59.26 m內(nèi)即可(當(dāng)12742Hm-2029=0即Hm=159.26 m時(shí)，長度變形值剛好為1/40000)。

長度變形≤1/40000的橫坐標(biāo)區(qū)間的計(jì)算 表1

3 獨(dú)立坐標(biāo)系的建立

3.1 構(gòu)建獨(dú)立坐標(biāo)系的方法

獨(dú)立坐標(biāo)系的建立通常采用兩種方法，第一種采用抵償高程面作為投影面，中央子午線依然采用國家3°分帶中央子午線；第二種以測區(qū)中心為中央子午線位置，取測區(qū)平均高程面或者略低于測區(qū)平均高程面(考慮到高程異常，同時(shí)也是盡可能的抵償較大的測區(qū)范圍)的某一高程面作為投影面。

京化高速公路(張家口段)1∶2 000地形圖航空攝影測量中坐標(biāo)系統(tǒng)的選建采用了第二種方法，是因?yàn)樵摲椒☉?yīng)用于線狀工程，特別是測區(qū)范圍相對(duì)較小(該測區(qū)東西長約 63 km)，地勢起伏過大的地區(qū)是最合適的。

3.2 地方投影帶中央子午線L0的選擇

在測區(qū)內(nèi)或測區(qū)附近選擇一條整5′或整10′的子午線作為中央子午線。本項(xiàng)目選擇了近似測區(qū)中央位置的經(jīng)線114°30′。經(jīng)計(jì)算得知，若不考慮高程歸化，中央子午線經(jīng)過測區(qū)中央時(shí)可控制東西方向各 45 km，總長度 90 km的范圍。

3.3 抵償高程投影面H抵的選擇

抵償高程投影面一般選測區(qū)平均高程面H平，或稍低一點(diǎn)，H抵取至 10 m整即可。當(dāng)12742Hm±2029=0時(shí)，即Hm=±159.26 m，根據(jù)上文分析可知在只考慮高程歸化的情況下，測區(qū)內(nèi)任何一個(gè)位置與測區(qū)投影面高程的高差允許值不能超過 ±159.26 m。以本項(xiàng)目為例，測區(qū)海拔最高處 1 028 m，最低處 723 m，落差達(dá) 305 m，測區(qū)平均高程H平=860 m。由式(1)、式(2)可得：

(5)

H為測區(qū)平均高程H平與抵償面高程H抵之差，即H=H平-H抵。則有

(6)

由于中央子午線在測區(qū)中央，采用ym即橫坐標(biāo)中數(shù)計(jì)算H值不合適，因此分別以東西兩側(cè)的橫坐標(biāo)(ymax，ymin)得到(Hmax，Hmin)，取中數(shù)即可得H值[9，10]。

(7)

以本項(xiàng)目為例，ymax=32.4(km)，ymin=-30(km)，得H=77 m，可知，H抵=783 m，通過將控制網(wǎng)各點(diǎn)無約束平差成果的大地高與對(duì)其進(jìn)行四等水準(zhǔn)測量的高程成果比較，測區(qū)的平均高程異常為 14 m，可知抵償高程面的大地高可近似為 800 m，該抵償面也只能控制與其落差 ±159.26 m以內(nèi)的區(qū)域，但是測區(qū)海拔最高處到該高程面的距離為 228 m，超出抵償范圍，因此，在測區(qū)高程落差過大的情況下，可以考慮選擇兩個(gè)抵償高程面進(jìn)行計(jì)算。本例中，H抵+159.26 m=959.26 m，加上高程異常值后投影面大地高為 973.26 m，可取投影面大地高為 970 m或高出 159.26 m以內(nèi)任意整數(shù)即可，本項(xiàng)目選擇了投影面大地高為 1 000 m。根據(jù)測距邊所在高程范圍選擇不同投影面下的成果，同樣可滿足全線施工放樣的精度要求。

3.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

首先將本測區(qū)已知點(diǎn)坐標(biāo)通過高斯換帶計(jì)算，換算成中央子午線為L0的地方帶坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，然后進(jìn)行投影面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。投影面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換采用橢球膨脹法實(shí)現(xiàn)，即保持參考橢球扁率不變，伸縮其長半軸，使觀測地點(diǎn)的平均高程面與采用的橢球面相切。本項(xiàng)目采用武漢大學(xué)測繪學(xué)院研發(fā)的CosaGPS 5.20進(jìn)行換帶計(jì)算及投影面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。該軟件提供了三種橢球膨脹法的計(jì)算方式，本實(shí)例采用的是改變參考橢球的長半徑a，不改變參考橢球的扁率α，以獨(dú)立坐標(biāo)投影面的大地高△H作為長半徑的變化量，即a△H=a+△a，△a=△H，△e2=0。先將原平面坐標(biāo)進(jìn)行高斯反算，得到原橢球的大地坐標(biāo)，在獲得新橢球的參數(shù)后，求得新橢球?qū)?yīng)的大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換量dB，dL，dH，于是就得到新橢球下的大地坐標(biāo)，進(jìn)而再以新橢球?yàn)橥队斑M(jìn)行高斯正算，即可得到該投影面下的坐標(biāo)成果[11]。

3.5 結(jié)果與驗(yàn)算

在本項(xiàng)目中，通過采用全站儀對(duì)測區(qū)海拔最高、最低以及測區(qū)兩邊的邊長進(jìn)行實(shí)地測量，邊長計(jì)算值與測量值較差最大為 1.5 cm，最小為 0.6 cm。如表2所示：

計(jì)算變長與實(shí)地測量邊長比較 表2

由于在同一地區(qū)高程是有變化的，且y也在ymax、ymin間變動(dòng)，抵償高程面使長度變形完全抵償是不可能的，其變形只要滿足規(guī)范要求就可以。

4 結(jié) 論

4.1 一般要求

為保證成果統(tǒng)一性，應(yīng)盡量采用國家標(biāo)準(zhǔn)分帶建立坐標(biāo)系，當(dāng)測區(qū)中心位置位于統(tǒng)一分帶中央子午線附近且平均高程面與國家參考橢球面相差不大，建議直接采用國家標(biāo)準(zhǔn)分帶坐標(biāo)系。

4.2 任意帶高斯投影直角坐標(biāo)系適用范圍

采用任意帶高斯投影直角坐標(biāo)系時(shí)，如果測區(qū)平均高程不大，可以選擇測區(qū)中部(或測區(qū)范圍內(nèi))的一條經(jīng)線作為中央子午線，可以保證高斯改化值較小，且東西抵償范圍較寬；但是對(duì)于海拔較高的山區(qū)，采用此種方法建立坐標(biāo)系時(shí)，由于高程歸化值過大，從而導(dǎo)致綜合變形值較大，抵償范圍將大大減少，尤其是線狀工程，不推薦適用。

4.3 抵償投影面坐標(biāo)系適用范圍

4.4 綜合法適用范圍

采用綜合法時(shí)，即具有抵償面的任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系，應(yīng)選擇測區(qū)中心經(jīng)線作為中央子午線，目的是將投影變?yōu)椤皩?duì)稱投影”，同時(shí)選擇測區(qū)平均高程面或者略低于平均高程面作為投影面，可增大抵償帶寬。經(jīng)計(jì)算，當(dāng)投影面選在低于平均高程面 159 m時(shí)，極限帶寬甚至可達(dá) 127 km。

總之，高速公路測繪中投影帶和投影面的合理選擇，是建立高精度平面控制網(wǎng)的重要組成部分，即便在高程落差大的測區(qū)同樣可以使長度變形值滿足規(guī)范要求，這就要求我們根據(jù)設(shè)計(jì)要求，通過變換中央子午線位置與投影面高程值來實(shí)現(xiàn)。

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