王 威，陳爐云

（1.中國艦船研究設(shè)計中心，武漢 430064；2.上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實驗室，上海 200240）

0 引 言

立管結(jié)構(gòu)是海洋平臺系統(tǒng)連接海面與海底的通道，承擔(dān)著油氣輸送的功能，是海洋油氣開發(fā)的關(guān)鍵部件。海洋平臺隨著海洋波浪的作用而發(fā)生升沉運(yùn)動，給立管頂端一個位移時程響應(yīng)，引起立管軸向力隨浮體運(yùn)動而發(fā)生變化，并導(dǎo)致立管在水平方向振動，這種現(xiàn)象稱為參激振動。參激振動可引發(fā)立管的參數(shù)共振并導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。Hsu[1]最早關(guān)注海洋細(xì)長結(jié)構(gòu)物的參激共振問題，對限制海域的纜索的振動不穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究。張杰等[2-3]分析了立管固有振動特性的變化規(guī)律，對比了設(shè)計參數(shù)對固有振動特性的影響。唐友剛等[4]研究了立管在剪切流中的參激-渦激耦合振動問題，分析了參數(shù)激勵對橫向渦激振動的影響。邵衛(wèi)東等[5]對變張力作用下的立管結(jié)構(gòu)振型進(jìn)行了對比，分析考慮重力因素后的結(jié)構(gòu)特性的變化。Kuiper[6]分析了立管內(nèi)外流體壓力差、結(jié)構(gòu)阻尼、截面扭轉(zhuǎn)和剪切變形等因素對立管參激振動的影響。Chen等[7]以8種常見邊界約束為例，探討了邊界條件對立管固有振動特性的影響。Chatjigeorgiou[8-9]分析了結(jié)構(gòu)阻尼對立管參數(shù)激勵振動穩(wěn)定性的影響，研究參數(shù)激勵頻率為立管一階固有頻率2倍時的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。Park等[10]對立管的參激-渦激耦合振動問題進(jìn)行了時域分析，對比了水深、環(huán)境條件和立管模態(tài)對振動幅值的影響。楊和振等[11]對參數(shù)激勵下深海立管的參量不穩(wěn)定性進(jìn)行探討，分析阻尼參數(shù)對參激振動穩(wěn)定區(qū)域的影響。Fujiwara等[12]采用大比尺模型試驗，驗證了參激參數(shù)對渦激振動的影響，并進(jìn)一步給出了數(shù)值計算的結(jié)果。

立管結(jié)構(gòu)是一個復(fù)雜的焊接殼體結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)中通常都存在一定的預(yù)應(yīng)力。預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的原因有：焊接殘余應(yīng)力、靜水壓力、油氣壓力和其他靜載荷等，預(yù)應(yīng)力大小及方向隨位置而變化，將其定義為復(fù)雜預(yù)應(yīng)力。預(yù)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)性能有巨大的影響，研究含預(yù)應(yīng)力的結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性具有重要的理論意義。Chen等[13]通過對非線性方程組的求解，分析了含初應(yīng)力的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)問題。Matsunaga[14]基于二維高階剪切理論，分析了含軸向預(yù)應(yīng)力的簡支圓柱殼自由振動問題，對比了剪切效應(yīng)和轉(zhuǎn)動效應(yīng)對振動頻率的影響。Zeinoddini等[15]將管道內(nèi)流動水壓力定義為均勻靜載荷，對比了管內(nèi)流速對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。Zhang等[16]以圓柱薄殼結(jié)構(gòu)為例，分析了初始預(yù)應(yīng)力、表面壓力和結(jié)構(gòu)形狀等因素對結(jié)構(gòu)振動的影響。陳爐云等[17]基于應(yīng)用變分原理分析了含局部預(yù)應(yīng)力的圓柱殼結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)方程和預(yù)應(yīng)力對聲輻射功率和聲指向性的影響。劉勇[18]建立了含復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的平板結(jié)構(gòu)和圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動微分方程，提出了自由振動和強(qiáng)迫振動的解析方法。

本文基于預(yù)應(yīng)力基本理論，以立管的純參激振動問題為研究對象，將殘余應(yīng)力、水壓靜應(yīng)力及軸向力定義成復(fù)雜預(yù)應(yīng)力，分析復(fù)雜預(yù)應(yīng)力對立管結(jié)構(gòu)頻率、模態(tài)等動力特性的影響。

1 立管參激振動基本模型

1.1 頂張力立管概述

對于典型頂張力立管的參激振動分析，首先對立管進(jìn)行適當(dāng)假設(shè)：立管結(jié)構(gòu)簡化為一維梁模型；立管頂部張力是一個與波浪頻率相關(guān)的函數(shù)；立管幾何尺寸、材料性質(zhì)沿長度方向不變；立管的應(yīng)變很小，應(yīng)力應(yīng)變滿足線性關(guān)系；僅考慮管內(nèi)流體質(zhì)量，忽略流速引起的動力效應(yīng)。

基于上述假設(shè)，將立管與海洋平臺浮體相連的張緊器簡化為一個彈簧機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)將平臺對立管的位移激勵轉(zhuǎn)化為力激勵，定義等效彈簧剛度為K。由于張緊器剛度遠(yuǎn)小于立管的軸向剛度，立管的兩端約束可視為兩端鉸支邊界。以立管頂部為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，定義z方向為立管軸向方向，y方向為立管位移方向，建立立管模型，如圖1所示。

1.2 立管參激運(yùn)動基本方程

根據(jù)立管結(jié)構(gòu)基本假設(shè)，應(yīng)用Euler-Bernoulli理論，純參數(shù)激勵下的立管運(yùn)動方程為：

圖1 立管模型示意圖Fig.1 Simply supported riser

式中：w（ z,t）為立管橫向振動位移；T（ z,t）為立管張緊力；cS為立管結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)為立管單位長度上水平外激勵力；EI為彎曲剛度，為單位長度的立管結(jié)構(gòu)質(zhì)量，D0和D1分別為立管的外徑和內(nèi)徑，ρs為立管結(jié)構(gòu)材料密度；mf=為單位長度的管內(nèi)油氣質(zhì)量，ρf為管內(nèi)油氣密度為單位長度的立管附連水質(zhì)量，ρw為海水密度，Ca為附連水質(zhì)量系數(shù)。

假設(shè)立管兩端為鉸支支撐，則其邊界條件滿足：

此時，立管張緊力T z,（）t可寫成：

2 梁結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力模型

立管可簡化為Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)，并遵循“平斷面假定”。下面基于梁結(jié)構(gòu)理論開展含預(yù)應(yīng)力的立管結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析。

2.1 預(yù)應(yīng)力類型

在梁結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)中，結(jié)構(gòu)除受動載荷作用外，還受其它形式的靜載荷的作用?？蓪⑦@些靜載荷引起的應(yīng)力定義成復(fù)雜預(yù)應(yīng)力。此外，結(jié)構(gòu)軸向張緊力引起的軸向拉應(yīng)力也可定義成預(yù)應(yīng)力。此時，結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力包括：梁結(jié)構(gòu)張緊力、靜水壓力和焊接殘余應(yīng)力，它們滿足線性疊加關(guān)系：

式中：σT為張緊力引起的應(yīng)力為結(jié)構(gòu)截面面積，T z,（）t為結(jié)構(gòu)張緊力；σH為靜水壓力引起的應(yīng)力，σH=f（）h，h為水深；σR為焊接殘余應(yīng)力，在文中只考慮z方向焊接殘余應(yīng)力，并有σR=σR,z。在文中，只考慮z方向復(fù)雜預(yù)應(yīng)力σr=σr,z

2.2 預(yù)應(yīng)力假設(shè)

因結(jié)構(gòu)中存在著預(yù)應(yīng)力，其運(yùn)動方程受預(yù)應(yīng)力與動位移間耦合作用影響。在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析中，設(shè)預(yù)應(yīng)力與振動引起的動應(yīng)力滿足線性疊加關(guān)系。在預(yù)應(yīng)力作用下，結(jié)構(gòu)靜態(tài)平衡方程可寫成：

式中：σr,z為預(yù)應(yīng)力，P為靜外載荷。若預(yù)應(yīng)力為焊接殘余應(yīng)力，則有P=0；若預(yù)應(yīng)力是由靜水壓力引起，P為靜水壓力函數(shù)，則有為水深；若預(yù)應(yīng)力是由梁結(jié)構(gòu)的張緊力引起，則有P=T（ z,t）。

此時，含預(yù)應(yīng)力的梁結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)運(yùn)動方程為：

3 基于復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的梁結(jié)構(gòu)運(yùn)動微分方程

以梁結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)特性為研究對象，分析預(yù)應(yīng)力與結(jié)構(gòu)振動位移的耦合關(guān)系，建立含復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的梁結(jié)構(gòu)運(yùn)動控制微分方程，提出梁結(jié)構(gòu)自由振動的求解方法。

3.1 梁結(jié)構(gòu)模型

梁結(jié)構(gòu)的長度為L，其截面面積為S，如圖2所示。建立直角坐標(biāo)系，z軸與梁長度方向重合且位于梁中性層上。定義對稱面yOz，梁彎曲發(fā)生在yOz平面內(nèi)。定義垂直z軸的位移w為撓度，其正向與y軸正向相同。

圖2 梁結(jié)構(gòu)幾何模型Fig.2 Beam geometry model

當(dāng)梁結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時，選取梁結(jié)構(gòu)中微元體，其長度為dz。微元體中的力和力矩包括兩部分：預(yù)應(yīng)力與位移的耦合力；振動位移引起的力和力矩。對于微單元dz，其軸向截面拉力Nr,z可寫成：

根據(jù)梁彎曲理論，梁結(jié)構(gòu)任意處應(yīng)變εz可寫成:

式中：w（ z,t）為振動位移。根據(jù)虎克定律，正應(yīng)力σz為

此時，作用在微元體截面上的彎矩可寫成:

式中：Mz為σz在梁斷面引起的彎矩；I為梁結(jié)構(gòu)慣性矩；E為梁結(jié)構(gòu)材料彈性模量。

3.2 耦合項分析

設(shè)結(jié)構(gòu)在z軸方向分布預(yù)應(yīng)力σr,z是變量z的函數(shù)。在力平衡條件下，含預(yù)應(yīng)力的結(jié)構(gòu)微元體受力情況如圖3所示。

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時，預(yù)應(yīng)力與振動位移相互作用會引起耦合。假設(shè)預(yù)應(yīng)力大小和分布在振動過程中保持不變，并引起微元體應(yīng)變。此時，梁截面單位長度距中性面的變形ly可寫成:

根據(jù)“平斷面假定”，單位長度梁結(jié)構(gòu)體積V可寫成：

由（12）式可知，微元體的振動過程中其體積不變，因而截面拉力Nr,z在振動過程中亦不變。當(dāng)梁結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)時，截面拉力Nr,z平行于z軸，且在其他方向上無分量。由于預(yù)應(yīng)力σr,z始終與橫截面保持垂直，故預(yù)應(yīng)力不產(chǎn)生新的耦合彎矩和轉(zhuǎn)矩。

受振動位移w的作用，截面拉力Nr,z產(chǎn)生繞y軸的轉(zhuǎn)角，其轉(zhuǎn)角大小為?w/?z。此時，截面拉力Nr,z在y方向上的分量ΔNy,z可寫成如下形式：

由（13）式可知，分量ΔNy,z是預(yù)應(yīng)力和振動位移的函數(shù)，它改變了微元體的力平衡方程，是預(yù)應(yīng)力與振動位移間的耦合力，如圖4所示。

圖3 預(yù)應(yīng)力引起的截面力Fig.3 Section force caused by pre-stress

圖4 微元體耦合力Fig.4 Element body coupling force

3.3 平衡方程

根據(jù)梁結(jié)構(gòu)的小撓度彎曲理論，分析微元體的力和力矩平衡方程。含復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的彈性梁在z方向的力平衡條件恒滿足。在y方向力平衡方程中，有剪力Qz和y方向的耦合力ΔNy,z，其力平衡方程為：

式中：m為微元體結(jié)構(gòu)等效質(zhì)量。因預(yù)應(yīng)力不產(chǎn)生耦合力矩，即含預(yù)應(yīng)力的彈性梁結(jié)構(gòu)在y方向的力矩平衡條件恒滿足。在z方向，力矩平衡方程滿足：

將（15）式代入（14）式，可得如下微分形式：

3.4 基于復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的立管運(yùn)動微分方程

將（7）、（10）式代入（16）式，則含復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的梁結(jié)構(gòu)自由振動微分方程可寫成：

4 含復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的梁結(jié)構(gòu)自由振動

下面對梁結(jié)構(gòu)自由振動問題進(jìn)行分析，開展立管振動特征分析。

4.1 自由振動方程

設(shè)梁兩端為絞支支撐，滿足兩端邊界條件的位移表達(dá)式可寫成級數(shù)形式：

式中：φ（z）為振形函數(shù)；β=π/L，L為梁長度；i為虛數(shù)單位；ω為圓頻率；Bn為梁結(jié)構(gòu)位移系數(shù)；N為級數(shù)的項數(shù)。

引入正交三角級數(shù) sin（ ξβ z），其中 ξ為正交參數(shù)。 將（18）式代入（17）式，利用三角級數(shù)的正交性，沿梁從z=0到z=L積分，可得：

4.2 典型梁振動特征

下面以幾種典型預(yù)應(yīng)力分布形式為例，分析含復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的梁結(jié)構(gòu)自由振動特性。

（1）若復(fù)雜預(yù)應(yīng)力為σr,z，（19）式可直接簡化為簡單梁結(jié)構(gòu)的自由振動方程，其特征方程為EI

（2）若復(fù)雜預(yù)應(yīng)力為均勻分布，即σr,zS＝T0，則（18）式可簡化為復(fù)雜梁結(jié)構(gòu)的振動方程，其特征方程為

當(dāng)σr,z為拉應(yīng)力時，梁結(jié)構(gòu)的固有頻率將升高；當(dāng)σr,z為壓應(yīng)力時，梁結(jié)構(gòu)的固有頻率將降低。

（3）若復(fù)雜預(yù)應(yīng)力沿軸向方向變化，它是一維復(fù)雜預(yù)應(yīng)力，可用三角函數(shù)來擬合：

根據(jù)（26）式，其解形式可建立N個方程，將其聯(lián)立并寫成矩陣形式：

（4）設(shè)復(fù)雜預(yù)應(yīng)力沿軸向方向變化，并用更復(fù)雜的三角級數(shù)來擬合：

式中：各參數(shù)的物理意義與（24）式相同。由于復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的表達(dá)式更為復(fù)雜，級數(shù)項增多，這導(dǎo)致預(yù)應(yīng)力影響矩陣R發(fā)生變化，此時矩陣R不再是稀疏矩陣。由于復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的級數(shù)項是線性相加關(guān)系，矩陣R可表示為：

4.3 模態(tài)分析

針對典型復(fù)雜預(yù)應(yīng)力分布情況，建立兩端鉸支立管的自由振動特征方程。復(fù)雜預(yù)應(yīng)力可用三角級數(shù)來擬合，采用（32）式來描述立管結(jié)構(gòu)中復(fù)雜預(yù)應(yīng)力具有普適性。含復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的特征方程為線性方程組，令其特征方程系數(shù)的行列式為零，即：

求解（33）式，可獲得含復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的梁結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。若結(jié)構(gòu)中不存在預(yù)應(yīng)力，即R=0，（33）式可退化為經(jīng)典彈性梁自由振動特征方程；若結(jié)構(gòu)中存在著預(yù)應(yīng)力，即不再是對角矩陣。

表1 計算模型參數(shù)Tab.1 Parameters of the model system

5 算 例

5.1 立管模型

在開展立管參激振動數(shù)值計算中，立管結(jié)構(gòu)基本參數(shù)參考文獻(xiàn)[2]，如表1所示。

5.2 定軸力下立管振動特性

忽略立管自重影響，立管結(jié)構(gòu)內(nèi)的軸向拉力為立管頂端靜張緊力，即T（ z,t）=T0，復(fù)雜預(yù)應(yīng)力為立管結(jié)構(gòu)的振型函數(shù)可寫成分離變量法計算定軸力下立管振型函數(shù)φ（）z。圖5所示為立管前三階振型，振型是標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)。

圖5 立管振型示意圖Fig.5 Mode shapes of the riser

5.3 變軸力下立管振動特性

考慮立管自重的影響作用，但忽略平臺升沉的影響，內(nèi)部張緊力沿水深增加而減少，即此時結(jié)構(gòu)內(nèi)復(fù)雜預(yù)應(yīng)力立管結(jié)構(gòu)的振型函數(shù)可寫成

圖6所示為立管前三階振型，在立管結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布是水深 z的函數(shù)時，立管振型有明顯變化，它不再是標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)，振型振幅最大點(diǎn)向海底方向偏移。

圖6 立管振型示意圖Fig.6 Mode shapes of the riser

5.4 變軸力與殘余應(yīng)力聯(lián)合作用下立管振動特性

下面分析分布著復(fù)雜焊接殘余應(yīng)力且受變軸力作用下的立管結(jié)構(gòu)振動特性。焊接殘余應(yīng)力分布形式如圖7所示，其最大值約為149 MPa。應(yīng)力為正表示為拉應(yīng)力、應(yīng)力為負(fù)則表示為壓應(yīng)力。

在立管結(jié)構(gòu)中的復(fù)雜殘余應(yīng)力的大小可擬合成三角級數(shù)。在本研究中，采用20階級數(shù)對焊接殘余應(yīng)力進(jìn)行擬合，并寫成管結(jié)構(gòu)中的復(fù)雜預(yù)應(yīng)力可寫成將其代入到方程（19）中，可得立管結(jié)構(gòu)的振型函數(shù)為

圖8所示為含有焊接殘余應(yīng)力的立管結(jié)構(gòu)前三階振型，此時立管振型不再是標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)，焊接殘余應(yīng)力使立管的振動振型由光滑的曲線變成帶有較多突變的粗糙曲線，靠近海底處更為明顯，這表明焊接殘余應(yīng)力影響立管的橫向振動。

對比圖5、圖6和圖8可知，在復(fù)雜預(yù)應(yīng)力作用下，立管的振型變得更為復(fù)雜，復(fù)雜預(yù)應(yīng)力對立管橫向振動具有重要影響。因此，在立管結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析中考慮復(fù)雜預(yù)應(yīng)力的影響是十分必要的。

表2所示為三種工況下立管結(jié)構(gòu)前6階固有頻率的對比。

由表2可知，在焊接殘余應(yīng)力作用下，立管固有頻率變小。由于存在復(fù)雜預(yù)應(yīng)力，立管固有頻率值與不考慮預(yù)應(yīng)力的固有頻率值相差較大，在前幾階頻率影響更為明顯。

圖7 殘余應(yīng)力分布Fig.7 Distribution of pre-stress

圖8 立管振型示意圖Fig.8 Mode shapes of the riser

表2 固有頻率計算Tab.2 Comparison of natural frequencies of the riser

6 結(jié) 論

文章基于預(yù)應(yīng)力理論，開展立管參激振動分析，得出如下結(jié)論：在立管振動特性分析中考慮焊接殘余應(yīng)力因素可更為全面地描述結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性和總體性能；分析復(fù)雜預(yù)應(yīng)力對立管振動特性的影響，可為通過控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜預(yù)應(yīng)力達(dá)到實現(xiàn)提高立管結(jié)構(gòu)綜合性能的目標(biāo)提供技術(shù)參考。

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