彭志文，高宏力，梁 超，文 剛

（西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

1 引言

三自由度Delta機(jī)器人是食品、藥品分揀包裝等生產(chǎn)線上的關(guān)鍵組成部分[1]，由于機(jī)構(gòu)三個(gè)運(yùn)動(dòng)支鏈對稱安裝使其有著剛度大、無累積誤差等優(yōu)勢。在系統(tǒng)的控制方面，機(jī)構(gòu)的并聯(lián)特性使其成為一個(gè)高度耦合的非線性系統(tǒng)。針對系統(tǒng)的解耦控制，基于動(dòng)力學(xué)模型的控制算法跟蹤效果優(yōu)于傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制。目前，被廣泛應(yīng)用的是計(jì)算力矩控制策略[2]。在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可以準(zhǔn)確推導(dǎo)的前提下，計(jì)算力矩法可以實(shí)現(xiàn)對理想軌跡準(zhǔn)確的跟蹤[3]。在實(shí)際運(yùn)用中，由于存在很多干擾和不確定性，只能推導(dǎo)出理想情況下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，而不能獲得被控對象的真實(shí)模型[4]。針對并聯(lián)機(jī)器人的模型強(qiáng)耦合性和不確定性，文獻(xiàn)[5]提出了一種模糊PD控制策略，詳細(xì)的分析了系統(tǒng)噪聲來源。針對Delta機(jī)器人，提出一種計(jì)算力矩法基礎(chǔ)上的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償控制策略。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)算量小，泛化能力較強(qiáng)，可以很好的應(yīng)用于要求實(shí)時(shí)性的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制。在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，無需進(jìn)行離線訓(xùn)練，實(shí)時(shí)運(yùn)行中以關(guān)節(jié)角度誤差及其變化率作為網(wǎng)絡(luò)輸入，得到力矩補(bǔ)償值和計(jì)算力矩的輸出共同控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)軌跡準(zhǔn)確跟蹤。

2 計(jì)算力矩控制策略

針對三自由度Delta機(jī)器人，基于虛功原理法建立機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程。與其他工業(yè)機(jī)器人相似，Delta機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程也能夠表示為如下形式

式中：M（α）—質(zhì)量慣性矩陣；C（α，α˙）—柯氏力和向心力矩陣；

N（α）—重力矩陣；α—驅(qū)動(dòng)臂轉(zhuǎn)動(dòng)角度向量；τ—驅(qū)動(dòng)臂驅(qū)

動(dòng)力矩；τ—外部擾動(dòng)。

由式（1）可以看出系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性和耦合性。一般的基于動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)的計(jì)算力矩控制策略如下：

式中：M^（α）—質(zhì)量矩陣分項(xiàng)的估計(jì)；C^（α，α˙）α˙—科氏力、向心力分項(xiàng)的估計(jì)；N^（α）—重力分項(xiàng)的估計(jì)；e—關(guān)節(jié)位置誤差；e˙—關(guān)節(jié)速度誤差；Kp，Kd—控制參數(shù)矩陣。

在理想情況下，即假設(shè)動(dòng)力學(xué)建模準(zhǔn)確，系統(tǒng)名義模型與實(shí)際模型一致且無外部擾動(dòng)。有M^（α）=M（α），C^（α，α˙）=C（α，α˙），N^（α）=N（α）。將式（2）代入式（1）可得系統(tǒng)閉環(huán)誤差方程為e¨+Kpe+Kde˙=0 。在實(shí)際應(yīng)用中，幾乎不可能得到完整真實(shí)的模型，存在各種確定和不確定的外部擾動(dòng)。那么名義模型與系統(tǒng)真實(shí)模型之間存在偏差ΔM=M-M^，ΔC=C-C^，ΔN=N-N^。因此在實(shí)際情況下，系統(tǒng)閉環(huán)誤差方程為

由式（3）可知，用普通的計(jì)算力矩控策略無法使誤差收斂到0。

3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制策略

3.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，是一個(gè)單隱層前饋網(wǎng)絡(luò)，具有很強(qiáng)的泛化能力。RBF網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)被證明能夠以任何精度逼近任何非線性函數(shù)[6-7]。不妨設(shè) X=［x］T為網(wǎng)絡(luò)輸入，隱層是徑向基函數(shù) H=［h］T，

ij為高斯基函數(shù)，表示隱層第j個(gè)神經(jīng)元的輸出。Cj=［cj1，cj2，…cjm］為RBF網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)j的高斯基函數(shù)中心。b=［b1，b2，…bm］，bj為節(jié)點(diǎn) j高斯基函數(shù)寬度。θ=［θ1，θ2，…θm］為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值向量，網(wǎng)絡(luò)的輸出為 y（t）=θTh=θ1h1+θ2h2+…+θmhm。

3.2 系統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償

針對普通的計(jì)算力矩控制策略無法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確跟蹤問題，作出對系統(tǒng)建模誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)难芯?，提出基于在線學(xué)習(xí)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)目刂撇呗浴Ｓ?jì)算力矩策略作為主體，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)RBF網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)優(yōu)化權(quán)值，不斷逼近模型不確定性?？刂葡到y(tǒng)的框圖，如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)框圖Fig．1 The Control System Diagram

設(shè)計(jì)的網(wǎng)絡(luò)輸入層為三個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的角度誤差及其導(dǎo)數(shù)，包含6個(gè)神經(jīng)元；隱層包含5個(gè)節(jié)點(diǎn)；輸出層為三個(gè)驅(qū)動(dòng)臂的轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償值。根據(jù)式（3），不確定性會影響控制精度，需要RBF網(wǎng)絡(luò)在線自適應(yīng)逼近系統(tǒng)的不確定性 f=M^-1（ΔMα¨+ΔCα˙+ΔN-τ），從

d而實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)不確定性的在線補(bǔ)償。在線補(bǔ)償過程中，RBF網(wǎng)絡(luò)在機(jī)器人末端軌跡實(shí)時(shí)跟蹤過程中被訓(xùn)練，根據(jù)軌跡位置和速度誤差在線修正網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，不斷逼近最佳輸出，避免了RBF網(wǎng)絡(luò)的離線訓(xùn)練過程。令fi表示RBF網(wǎng)絡(luò)的最佳輸出，θi表示對f最佳辨識的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，則fi=θTih。令fe表示網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出，θe表示實(shí)際網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，則f=θTh。由文獻(xiàn)[8]可知，網(wǎng)絡(luò)的建模誤差有界，其上

ee加入RBF網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償?shù)目刂坡蔀椋?/p>

不妨令 τ1＝M^（α）（α¨d+Kpe+Kde˙）+C^（α，α˙）α˙+N^（α），τ2=M（α）fe，則 τ＝τ1+τ2。τ1表示計(jì)算力矩控制部分，τ2表示 RBF 網(wǎng)絡(luò)不確定性補(bǔ)償部分。將RBF網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償控制律代入式（1）整理得：

3.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及權(quán)值自適應(yīng)律推導(dǎo)

令 x=［e，e˙］T，那么可以將式（5）轉(zhuǎn)化為

4 聯(lián)合仿真與結(jié)果分析

驗(yàn)證RBF網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償控制策略的準(zhǔn)確性，對比不同策略下的控制效果。對Delta并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行Simulink/Simmechanics聯(lián)合仿真分析。在Simulink中設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器，在Simmechanics中建立機(jī)構(gòu)虛擬物理模型，把Simmechanics虛擬樣機(jī)作為控制對象，通過接收驅(qū)動(dòng)力矩和反饋旋轉(zhuǎn)速度、加速度，進(jìn)行數(shù)據(jù)交互，完成系統(tǒng)聯(lián)合仿真。

4.1 聯(lián)合仿真模型建立

Simmechanics是Matlab中根據(jù)物理結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模的插件[10]，在Simmechanics中進(jìn)行機(jī)器人模型的建立。模塊化和圖形化的建模方式使得模型結(jié)構(gòu)簡潔，同時(shí)在Matlab主界面可以直接觀察機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)畫面，實(shí)時(shí)了解軌跡跟蹤效果，有利于控制器的改進(jìn)，是一種快捷且高效的輔助動(dòng)力學(xué)分析方法。Delta機(jī)器人的物理模型，如圖2所示。

圖2 Delta機(jī)器人Simmechanics模型Fig．2 The Simmechanics Model of Delta Robot

Simmechanics中的Delta并聯(lián)機(jī)器人虛擬樣機(jī)是一個(gè)四面體結(jié)構(gòu)，有三條相同的對稱布置支鏈。由于其支鏈的平行四邊形結(jié)構(gòu)，Delta機(jī)器人只能在一定空間范圍內(nèi)平動(dòng)。定義機(jī)器人各鉸鏈之間的約束關(guān)系，使其真實(shí)的模擬機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。根據(jù)控制策略，在Simulink中建立系統(tǒng)控制器，輸出驅(qū)動(dòng)力矩信號，驅(qū)動(dòng)機(jī)器人末端動(dòng)平臺跟蹤期望軌跡，Simmechanics實(shí)時(shí)檢測并反饋機(jī)器人的速度和加速度信息到系統(tǒng)控制器，實(shí)現(xiàn)聯(lián)合仿真。

4.2 結(jié)果與分析

選擇末端動(dòng)平臺的跟蹤軌跡為半徑50mm的圓，Z方向保持高度恒定。選取平臺初始位置為（0.01，0.04，0.82），三個(gè)驅(qū)動(dòng)臂初始角速度為0。Delta機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如式（2），具體表述如下：

式中：E—單位矩陣；J—速度雅克比矩陣。M（α），C（α，α˙），N（α）—質(zhì)量矩陣分項(xiàng)、向心力分項(xiàng)和重力分項(xiàng)。

在仿真模型中，選取機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 Delta并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of the Delta Parallel Manipulator

運(yùn)用Matlab/Simulink中S-Function實(shí)現(xiàn)對RBF補(bǔ)償控制律的描述，用Matlab/Simmechanics描述被控對象。選取系統(tǒng)外部擾動(dòng)為 τd=0.05+0.03*norm（e）+0.06*norm（e˙）。RBF 網(wǎng)絡(luò)的輸入為關(guān)節(jié)角度誤差狀態(tài)變量（x=［eT，e˙T］T）；隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為 5；節(jié)點(diǎn)中心［-0.04-0.02 0-0.02-0.04］；節(jié)點(diǎn)基寬度d=3；各節(jié)點(diǎn)初始權(quán)重取值0。分別在無外部擾動(dòng)和有擾動(dòng)兩種情況下進(jìn)行計(jì)算力矩控制和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償控制算法對比，仿真結(jié)果，如圖5、圖6所示。仿真結(jié)果如圖，從圖3可以看出，在外部擾動(dòng)為零時(shí)，計(jì)算力矩控制策略和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償控制策略都能較好的跟蹤期望軌跡，保障系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在加入外部擾動(dòng)后，運(yùn)動(dòng)平臺軌跡跟蹤，如圖 4（a）、圖 4（b）所示。根據(jù)式（5），計(jì)算力矩控制策略穩(wěn)態(tài)誤差不能收斂到0，因此不能很好的跟蹤末端平臺期望軌跡。對于RBF網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償控制，在系統(tǒng)仿真開始階段由于網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)自適應(yīng)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，系統(tǒng)存在一定的波動(dòng)。在權(quán)值逐漸逼近最優(yōu)值時(shí)，跟蹤效果明顯好于一般的計(jì)算力矩控制策略，響應(yīng)快速且穩(wěn)定，具有較強(qiáng)的魯棒性。為更加直觀的對比仿真結(jié)果，分別給出在外部有界不確定擾動(dòng)環(huán)境下X和Y方向的跟蹤誤差，如圖5、圖6所示?？梢钥闯觯?jì)算力矩算法在系統(tǒng)穩(wěn)定后誤差不能收斂為0且誤差波動(dòng)幅度較大，而采用RBF在線補(bǔ)償控制律的控制效果明顯優(yōu)于計(jì)算力矩控制，在線學(xué)習(xí)得到最佳網(wǎng)絡(luò)權(quán)值后，系統(tǒng)穩(wěn)定且末端動(dòng)平臺軌跡誤差的絕對值小于0.5mm，能夠很好的根據(jù)期望軌跡運(yùn)動(dòng)。

圖3 無擾動(dòng)環(huán)境下軌跡跟蹤Fig.3 Trajectory Tracking without Disturbance

圖4 有擾動(dòng)環(huán)境下Y方向軌跡跟蹤Fig.4 Trajectory Tracking with Disturbance

圖6 Y方向跟蹤誤差曲線Fig.6 Y Direction Tracking Error

5 結(jié)論

針對Delta并聯(lián)機(jī)器人控制過程中外部有界擾動(dòng)、建模不準(zhǔn)確等不可避免的不確定因素，結(jié)合計(jì)算力矩控制策略和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償控制策略，提出了一種基于計(jì)算力矩法的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償控制策略。采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線調(diào)整隱層網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，不斷逼近系統(tǒng)不確定項(xiàng)，并用Lyapunov理論證明系統(tǒng)穩(wěn)定性及推導(dǎo)權(quán)值自適應(yīng)律。根據(jù)給定的期望軌跡和機(jī)構(gòu)參數(shù)，基于Simulink、Simmechanics建立Delta機(jī)器人控制系統(tǒng)聯(lián)合仿真模型。由仿真結(jié)果可以看出的控制策略可以很好的實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)軌跡的實(shí)時(shí)跟蹤，控制效果優(yōu)于計(jì)算力矩控制，能夠有效保證Delta機(jī)器人系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行且穩(wěn)態(tài)誤差小，較好的提升了系統(tǒng)的性能。

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