常方圓，方 峻，羅少敏

（南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094）

1 引言

隨著三維數(shù)字化與信息技術(shù)的發(fā)展，國(guó)外各大先進(jìn)制造企業(yè)已全面采用數(shù)字化設(shè)計(jì)制造和三維仿真技術(shù)的應(yīng)用。而我國(guó)兵器行業(yè)目前的制造裝配模式還處于數(shù)字化的起步階段，并沒有形成完整的數(shù)字化集成應(yīng)用[1]。對(duì)于傳統(tǒng)的、僅適于手工設(shè)計(jì)環(huán)境的尺寸公差分析已經(jīng)不能適應(yīng)現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)、制造、仿真分析等要求。尤其是在CAD/CAM已高度普遍化的今天，它已成為制約三維數(shù)字化集成應(yīng)用技術(shù)發(fā)展的瓶頸。

公差分析（Tolerance Analysis）是指在公差制定后根據(jù)誤差的傳遞路線驗(yàn)證設(shè)計(jì)公差是否滿足裝配功能和精度要求。而早期公差分析是以二維圖紙為基礎(chǔ)依賴于尺寸鏈和公差帶圖，通過傳統(tǒng)的尺寸鏈計(jì)算分析方法（如極值法、統(tǒng)計(jì)法）進(jìn)行設(shè)計(jì)，同時(shí)常規(guī)的計(jì)算手段與計(jì)算方法工作量大，計(jì)算效率低并且校核困難。對(duì)此國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，文獻(xiàn)[2]首次提出通過數(shù)學(xué)方程式來描述零件的幾何特征，并以此來進(jìn)行零件的尺寸和公差設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[3]在空間運(yùn)動(dòng)分析法的基礎(chǔ)上，提出了在幾何變動(dòng)中利用Monte Carlo進(jìn)行模擬的公差分析方法。文獻(xiàn)[4]對(duì)比分析了利用矢量環(huán)與雅克比矩陣進(jìn)行三維公差分析求解的不同。隨著CAT技術(shù)在我國(guó)迅速推廣及應(yīng)用，國(guó)內(nèi)很多學(xué)者對(duì)此也進(jìn)行了研究[5-7]。

重點(diǎn)以M16自動(dòng)步槍為例進(jìn)行裝配精度分析方法的研究，將特征要素離散化處理，利用矢量坐標(biāo)矩陣描述物體特征要素在空間中的位置變動(dòng)，物體的裝配偏差累積采用齊次特征矩陣變換來表示。通過在公差域范圍內(nèi)的隨機(jī)取值，模擬配合表面的誤差變動(dòng)。結(jié)合小位移旋量理論，利用旋量參數(shù)與公差邊界的數(shù)學(xué)關(guān)系作為約束條件，建立符合自動(dòng)武器結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的三維公差分析模型，進(jìn)行裝配精度分析，獲得了間隙的變動(dòng)范圍。

2 理論分析

裝配精度分析也稱為公差累積分析，目的在于分析單個(gè)零件的變動(dòng)范圍對(duì)裝配精度的影響，通過建立裝配公差模型，利用蒙特卡洛仿真分析零件的公差累積，從而得到裝配間隙變動(dòng)范圍。

小位移旋量（Small Displacement Torsor，SDT）通過六個(gè)運(yùn)動(dòng)分量組成的矢量來表示剛體產(chǎn)生的微小位移。公差可以看作是幾何要素的變動(dòng)約束，可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)特征點(diǎn)在公差域內(nèi)的變動(dòng)。而物體的點(diǎn)、線、面等基本幾何要素在公差域中的變動(dòng)均可以通過旋量參數(shù)來表示。文獻(xiàn)[8]在1996年首次將SDT引入到公差領(lǐng)域，提出了基于SDT的公差數(shù)學(xué)表示方法。零件的幾何要素的變動(dòng)可以用三個(gè)平移矢量D=［Δx，Δy，Δz］T和三個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量R=［Δα，Δβ，Δγ］T來表示，則 SDT表示為τ=［R，D］＝（Δα，Δβ，Δγ；Δx，Δy，Δz）T。

幾何特征的變動(dòng)可理解為名義要素上的點(diǎn)在公差帶約束條件下，經(jīng)過一定的空間運(yùn)動(dòng)后所形成的偏移。由此，特征點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)可以利用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中坐標(biāo)變換理論，通過D-H矩陣的形式來表示

用上式的表述方法描述配合特征的變動(dòng)形式，采用隨機(jī)數(shù)模擬實(shí)際特征要素的變動(dòng)，通過矢量元素之間的約束方程，保證變動(dòng)位于公差域內(nèi)。使每個(gè)裝配關(guān)系中配合面的變動(dòng)符合實(shí)際裝配。

2.1 幾何特征公差域參數(shù)化建模

理想平面是通過幾何要素（點(diǎn)、線、面等）來描述的，在兩個(gè)理想平面間的任何相對(duì)位置均可以用小位移旋量的形式來表示。在此，考慮一個(gè)名義平面S0和一個(gè)擬合加工表面S1的變動(dòng)關(guān)系。構(gòu)造一個(gè)平面S0，平面上任一點(diǎn)N（a，b，c）處的法線單位矢量為ZN，且為實(shí)體外法向矢量方向，如圖1所示。在S0附近設(shè)置一個(gè)間距為T的兩平行表面組成公差帶，使S0位于這兩個(gè)平行表面的約束范圍內(nèi)。擬合表面S1，只能在距離基準(zhǔn)平面S0-TL～S0+TU間變動(dòng)，這個(gè)空間區(qū)域是由S0的正負(fù)兩個(gè)偏移構(gòu)造而成。

圖1 有限個(gè)點(diǎn)擬合變動(dòng)平面Fig.1 Finite Point Method for Fitting Plane

擬合表面S1偏移范圍如下：?N∈S0

任一平面能離散化為n個(gè)點(diǎn)Ni，這n個(gè)點(diǎn)在公差范圍內(nèi)變動(dòng)可用上述方程表示。通過在名義平面S0上沿著法線矢量ZN方向構(gòu)造n個(gè)點(diǎn)，即n個(gè)點(diǎn)Ni的映射，可確定S0到Si的每一對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離。通過研究極限點(diǎn)在SDT的作用下產(chǎn)生的偏差必須限制在公差域，可以消除某些自由參數(shù)。

2.1.1 平面特征

在閉鎖機(jī)構(gòu)裝配中，配合特征多為圓形表面接觸或軸孔配合。故先建立圓形平面特征變動(dòng)模型：在圓形平面圓周上任取一點(diǎn) N，與 x 軸正方向夾角為 θ，則點(diǎn)坐標(biāo)值為（rcosθ，rsinθ，0）。點(diǎn)N在公差域內(nèi)變動(dòng)，通過齊次坐標(biāo)變換如下：

故 Z 坐標(biāo)軸方向的變化量為 δz=Δz-Δβ·rcosθ+Δα·rsinθ，由于δz的變動(dòng)范圍必須限制在公差域［-TL，+TU］區(qū)間內(nèi)，則有：?θ∈［0，2π）

2.1.2 圓柱面特征

孔-軸配合公差可以看作是圓柱面的方位變動(dòng)，即建立圓柱面的特征變動(dòng)模型：設(shè)名義圓柱表面上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（rcosθ，rsinθ，z）在旋量矩陣Δτ作用下M點(diǎn)轉(zhuǎn)換到新位置點(diǎn)M′：

圓柱度偏移的極限情況，如圖2所示。在XOZ平面內(nèi)圓柱度公差帶繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的傾角β取得極大值。

圖2 圓柱度公差帶極限位置Fig.2 Limit Position of Cylindrical Tolerance Zone

圓柱度公差帶處于極限位置時(shí)，其邊界與XOZ平面的交線Lab的方程為：X=R+Δz+z·Δβmax

由于是微小位移的偏轉(zhuǎn)，故cosβmax≈1代入上式可得：

2.1.3 圓錐面特征

槍管與彈型樣柱之間的接觸面為圓錐面，其錐面的配合對(duì)裝配偏差累積有較大影響，為了滿足裝配要求需建立斜面圓跳動(dòng)公差模型。斜面圓跳動(dòng)的公差帶是在與基準(zhǔn)同軸的任一半頂角的圓錐面上，距離為t的兩圓之間的區(qū)域，如圖3所示。

圖3 斜面圓跳動(dòng)公差域Fig.3 Circular Run-Out Tolerance Region

設(shè)名義圓錐面上任意一點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（tcosθ，tsinθ，t）在旋量矩陣Δτ作用下P點(diǎn)轉(zhuǎn)換到新位置點(diǎn)P′：

故 Z 坐標(biāo)軸方向的變化量為 δz=Δz-tcosθ·Δβ+tsinθ·Δα，由于δz的變動(dòng)范圍必須限制在距離為t的兩圓之間的區(qū)域內(nèi)，則有：

3 實(shí)例分析

3.1 閉鎖機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)分析

閉鎖機(jī)構(gòu)是武器發(fā)射時(shí)關(guān)閉彈膛，承受彈殼底平面對(duì)槍機(jī)的軸向作用力并防止后逸的機(jī)構(gòu)，對(duì)自動(dòng)武器工作的可靠性和射擊準(zhǔn)確性都有重要的影響。M16自動(dòng)步槍采用回轉(zhuǎn)式閉鎖機(jī)構(gòu)，閉鎖機(jī)構(gòu)由槍機(jī)、節(jié)套、機(jī)框和槍管的有關(guān)部件組成，如圖4、圖5所示。通過槍機(jī)上沿圓周均勻布置的閉鎖凸筍，作用在節(jié)套閉鎖槽內(nèi)的閉鎖支撐面上完成閉鎖。

圖4 閉鎖機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure Diagrams of Locking Mechanism

圖5 閉鎖機(jī)構(gòu)裝配爆炸圖Fig.5 Assembly Exploded Diagram of Locking Mechanism

表1 閉鎖機(jī)構(gòu)名義尺寸及其公差值Tab.1 Nominal Dimension and Tolerance Value of Locking Mechanism

表2 閉鎖機(jī)構(gòu)加工裝配要求Tab.2 Requirements for Processing and Assembling of Locking Mechanism

而在推彈進(jìn)膛和閉鎖過程中，軸向間隙可能出現(xiàn)在不同部位。此時(shí)槍彈與彈膛定位面貼合，槍機(jī)與節(jié)套閉鎖支撐面貼合，在彈殼底平面與槍機(jī)彈底窩鏡面之間所形成的軸向間隙稱之為彈底間隙。為了保證武器在壽命期不發(fā)生斷殼故障，需要對(duì)產(chǎn)生間隙的各組成部分進(jìn)行分析。根據(jù)加工圖紙，相關(guān)名義尺寸及其公差值，如表1所示。具體加工裝配要求，如表2所示。

3.2 分析計(jì)算

在公差分析中，幾何變動(dòng)的誤差累積是按照運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系在裝配體中傳遞的，采用齊次坐標(biāo)變換的方法來描述零件特征要素之間的幾何關(guān)系。首先以彈型樣柱底面的圓心為原點(diǎn)，以中心線為Z軸，建立固定坐標(biāo)系。在每個(gè)接觸表面建立局部坐標(biāo)系，幾何關(guān)系傳遞，如圖6所示。該裝配模型共4處誤差傳遞。從固定坐標(biāo)系原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過各個(gè)變動(dòng)特征，再回到固定坐標(biāo)點(diǎn)，形成一個(gè)封閉的回路。那么，裝配體中每個(gè)特征在固定N坐標(biāo)系下的相對(duì)位置可以通過幾個(gè)齊次變換矩陣相乘得到：

將各個(gè)特征面的小位移旋量參數(shù)引入到旋量矩陣中，則有包含幾何變動(dòng)信息的特征從局部坐標(biāo)系向固定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，得到各參數(shù)的偏差累積模型：

式中：Ti—一個(gè)局部坐標(biāo)系向另一個(gè)局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的變換矩陣；Δτi—含有旋量參數(shù)的偏差傳遞矩陣；P—固定坐標(biāo)系特征面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣；δP—沿三坐標(biāo)軸的偏差累積。

圖6 閉鎖機(jī)構(gòu)裝配幾何特征傳遞關(guān)系圖Fig．6 Geometric Features of Locking Mechanism Transfer Relation Graph

蒙特卡洛模擬法是以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，通過對(duì)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)和隨機(jī)模擬來求解問題近似解。由于實(shí)際表面相對(duì)于名義表面的變動(dòng)是無法預(yù)知的，具有隨機(jī)性，因此，公差分析中的旋量參數(shù)也是隨機(jī)量。而零件在實(shí)際加工的過程中通常會(huì)受眾多因素的影響，各種加工方法在隨機(jī)性因素的影響下所得加工尺寸的分散規(guī)律符合正態(tài)分布，其尺寸分散范圍為6σ。所以在一般情況下，加工方法的標(biāo)準(zhǔn)差σ與公差帶寬度T之間具有以下關(guān)系：

通過Matlab編程計(jì)算，在配合特征公差域內(nèi)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，模擬零件特征要素的幾何變動(dòng)，所取得的隨機(jī)數(shù)只有在滿足公差邊界條件與旋量參數(shù)約束方程的情況下才有效，否則重新取值直到滿足條件。進(jìn)行10000次模擬，將每次分析結(jié)果存入分析矩陣，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。得出閉鎖間隙在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中的空間誤差沿x，y，z軸坐標(biāo)的誤差統(tǒng)計(jì)分布圖，如圖7所示。

由分析結(jié)果可知，閉鎖間隙沿三坐標(biāo)軸的誤差變動(dòng)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，近似服從正態(tài)分布，如圖8所示。且在x軸和y軸方向上變動(dòng)較小，在有裝配功能要求的z軸方向上有較大的誤差變動(dòng)，Δz變動(dòng)范圍在（-0．06～0．16）mm 其中滿足裝配要求范圍的樣本占98．2%，與實(shí)際裝配情況相一致。由于沿x軸和y軸為實(shí)際配合表面的徑向方向，表現(xiàn)在同軸度的誤差變動(dòng)。沿z軸為實(shí)際配合面的軸向方向，是全局誤差累積較大的地方，也是裝配要求重點(diǎn)保證的。

圖7 公差分析流程圖Fig．7 The Flow Chart of Tolerance Analysis

圖8 沿三坐標(biāo)軸誤差統(tǒng)計(jì)分布圖Fig．8 Statistical Distribution of Deviation Along the Three Coordinate

3.3 軟件仿真分析

Vis VSA（Visualization Variation Simulation Analysis）軟件是基于三維模型，采用Monte Carlo模擬法進(jìn)行公差分析，預(yù)測(cè)設(shè)計(jì)公差是否能夠滿足其關(guān)鍵的尺寸控制要求。分析步驟如下：（1）在UG中建立閉鎖機(jī)構(gòu)的三維模型，轉(zhuǎn)換成VSA軟件可識(shí)別的JT格式，導(dǎo)入分析軟件。定義裝配基準(zhǔn)、功能特征、裝配關(guān)系和測(cè)量要求。（2）設(shè)定尺寸公差與形位公差等參數(shù)，將這些具有偏差的零件按照裝配順序組裝起來，在模擬多次裝配過程中，產(chǎn)品偏差的變化量被記錄下來，形成統(tǒng)計(jì)分布圖，如圖9所示。

圖9 公差分析模型Fig．9 Tolerance Analysis Model

本例采用10000個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行仿真模擬，得到閉鎖間隙沿Z軸方向的誤差統(tǒng)計(jì)分布圖，如圖10所示。當(dāng)樣本點(diǎn)分布在±3σ范圍內(nèi)，我們認(rèn)為結(jié)果是可信的。由分布圖可知間隙變動(dòng)范圍為（-0．04～0．16）mm。

圖10 誤差統(tǒng)計(jì)分布圖Fig．10 Deviation Statistical Distribution

若只考慮線性尺寸公差可以得到極值法的計(jì)算結(jié)果：（-0．04～0．15）mm，將以上幾種方法進(jìn)行分析對(duì)比，如表3所示。從結(jié)果可以看出，進(jìn)行公差累積分析時(shí)，考慮形位公差和裝配間隙后計(jì)算出的變化范圍比極值法的范圍更大。這是由于形位誤差表現(xiàn)為配合表面形狀上的變化，在實(shí)際裝配中槍管和槍彈的配合是錐形面貼合，由于形狀誤差的存在，槍彈在彈膛中的實(shí)際接觸位置具有不確定性，從而對(duì)裝配精度造成影響。在線性尺寸鏈計(jì)算時(shí)考慮理想表面的接觸方式，忽略了幾何變動(dòng)對(duì)接觸點(diǎn)的影響。而通過旋量矩陣法可以模擬特征面的實(shí)際變動(dòng)，并同時(shí)分析沿三坐標(biāo)軸的裝配誤差，相對(duì)于極值法來說真實(shí)反映了裝配的不確定性。同時(shí)，利用VisVSA公差仿真軟件分析可以快速、直觀、準(zhǔn)確地對(duì)裝配精度進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表3 三種公差分析方法對(duì)比Tab.3 Comparisonof Three Kinds of Tolerance Analysis Method

4 結(jié)論

（1）基于三維模型的公差分析考慮了形位公差和裝配間隙等影響因素，提出了特征要素離散化處理的方法，解決了以往在建立約束條件時(shí)，因存在取點(diǎn)數(shù)量與位置不同而產(chǎn)生誤差的問題。（2）通過在公差范圍內(nèi)的隨機(jī)取值，模擬配合表面的誤差變動(dòng)，在滿足公差邊界條件與旋量約束條件下進(jìn)行裝配誤差累積分析，提出了基于三維模型的閉鎖機(jī)構(gòu)裝配精度預(yù)測(cè)方法。所得出的結(jié)果比線性尺寸鏈的分析結(jié)果較為嚴(yán)格，真實(shí)反映了加工的不確定性，更符合工程實(shí)際。

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