馮小倫

摘 要：就高中數(shù)學(xué)來說，分類討論較為常用，解題時以分類討論為導(dǎo)向，能夠?qū)︻}目進行有效分解，使其向簡單化轉(zhuǎn)變，使解題難度得以有效降低的同時，發(fā)散、拓寬了學(xué)生思維。分類討論對數(shù)學(xué)解題意義重大，應(yīng)用時應(yīng)對其標準、以及應(yīng)用范圍進行明確。本文主要就高中數(shù)學(xué)對該思想的應(yīng)用進行探討分析。

關(guān)鍵詞：分類討論思想 高中數(shù)學(xué) 解題 應(yīng)用

引言

分類討論可實現(xiàn)解題的化繁為簡，還可對學(xué)生思維及其轉(zhuǎn)換能力進行有效培養(yǎng)?，F(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)在內(nèi)容方面相對多且比較抽象，其理解難度愈加升高。而該思想應(yīng)用至諸如函數(shù)等問題當中，可使解題思路更為明晰，將抽象向著形象思維推進，進而使解題速率得以有效增強。若想強化解題速率、效率，必然應(yīng)對分類討論具體運用進行分析。[1]

一、分類討論思想對數(shù)學(xué)解題的意義及其分類標準

1.分類討論對解題的重要性

數(shù)學(xué)問題往往含有多類情形，而分類討論則對其主要因素進行關(guān)注，對其條件范圍以及發(fā)展方向進行有效把握，從而緊抓各類情形特點來分類討論。該思想要求進行分類意識的重點強化，并明確如何分類與研究，最終統(tǒng)一整合形成完整答案。以分類討論為導(dǎo)向，能夠有效對邏輯思維進行強化，因為高中數(shù)學(xué)通常比較抽象，解題時存有較大難度。而利用邏輯思維便可實現(xiàn)問題的有效把握，從而使解題不論是精度還是效率都得以提升。同時，分類討論有助于對實際問題進行解決，能夠?qū)⑵浠麨榱愣髮崿F(xiàn)各個擊破，對于學(xué)生概括、條理以及邏輯等能力的強化有著重要意義。但教師需明確數(shù)學(xué)思想并非分類一種，實際解題需要與諸如數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等多種思想進行有效結(jié)合，從而使解題更為迅速與精確。教學(xué)時切忌使學(xué)生對該方式進行機械背誦或者是盲目地套用，必須以題目實際為基礎(chǔ)，選取正向思路。[2]

2.分類討論具體劃分標準

首先，分類需要保證科學(xué)與合理，在分類方面不可發(fā)生遺漏，而后避免分類重復(fù)現(xiàn)象的發(fā)生。以不重不漏為基準與題目性質(zhì)、條件等進行有效結(jié)合，降低分類數(shù)量。其次，需要對分類標準進行明確。下面從多角度來明確標準：首先，可以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)來劃分，部分概念本身便以分類進行定義，例如絕對值。其次，可以運算法則或者相關(guān)定理來劃分。高中數(shù)學(xué)包含較多法則、定理，它們一般以分類形式來給出，比如等比數(shù)列相關(guān)求和、求積等便分成了q（公比）是否為1來介紹；還有指數(shù)函數(shù)在單調(diào)性方面，其以a的值為基準分成大于1或者是介于0、1間兩類。第三，可以圖形位置為基準來劃分。通常位置變化也會導(dǎo)致問題分類：兩點處于平面上的同側(cè)或者是異側(cè)；對稱軸就定義域的位置等等。第四，還能夠以特殊要求為導(dǎo)向來劃分，比如排列組合相關(guān)的計數(shù)、概率等問題。第五，可以根據(jù)參數(shù)量變來分類，若函數(shù)問題存有參數(shù)，其參數(shù)有時的“量變”會使其問題出現(xiàn)“質(zhì)變”，而這便需分類。[3]

二、高中數(shù)學(xué)對分類討論進行有效運用的具體策略

1.集合解題的應(yīng)用

集合題目一般要以元素和集合或者是集合間各類關(guān)系為導(dǎo)向進行分類。在部分含參集合中，只有分類才可對其進行解答。此類問題一般出現(xiàn)于選擇、填空等，應(yīng)對其進行謹慎分類，切忌遺漏等問題的出現(xiàn)，進而整合出正確結(jié)論。

2.函數(shù)解題的應(yīng)用

解題時，函數(shù)參數(shù)與其結(jié)果密切相關(guān)。因此，以分類討論形式來解決函數(shù)題目，必須對其參數(shù)進行恰當分類，使學(xué)生可從多維度來剖析函數(shù)問題，強化其解題精度、效率。比如，在“若k=？時，函數(shù)y=（k+2）x2k+3+3x-4（x≠0）應(yīng)為一次函數(shù)”進行解答，便可考慮分類進行研究，綜合考慮其參數(shù)變化。首先，如果2k+3=1，同時k+2不為0，也就是k是-1時，那么此時y=4x-4，便成了一次函數(shù)；其次，如果2k+3=0，也就是k為-3/2時，這是函數(shù)就是y=3x-4，也成為一次函數(shù)；第三，如果k+2為0，即k為-2時，這時y=3x-4也為一次函數(shù)。由于該題在（k+2）x2k+3并不知道其具體形式，所以需要對該式子進行分類。

3.概率解題的應(yīng)用

概率模對分類應(yīng)用較廣，該思想需從其本質(zhì)出發(fā)，以問題要求為導(dǎo)向進行分類，從而整合求得最終結(jié)論。首先，需要對其概率類型進行明確，而后對條件內(nèi)數(shù)字采取編號措施，最后通過分類來假設(shè)其變量數(shù)值，從而確定有效計算的方式。比如，某地對足球隊員進行選拔，共有編號從1到16的隊員，若想從群體中選擇3人，前三人中必須選擇一個，并且他們的編號可以構(gòu)成公差是4的等差數(shù)列，那么概率應(yīng)為多少？該題就其類型而言，應(yīng)是古典概型。基本事件共有C163種，也就是16*5*7=560種，我們可設(shè)其編號是a=a1+4（n-1），如果a1是1的話，那么隊員便可從編號是1、5、9、13里面選擇3個，也就是4種選取方式；如果a1是2的話，那么隊員便可從編號是2、6、10、14里面選擇，也是4種；如果a1是3的話，那么隊員便可從3、7、11和15里面選擇，也是4種，所以綜上而言，其概率P=16/560=1/35。該種分類方式對概率問題而言至關(guān)重要，其不論是節(jié)約時間還是準確度方面都較強。[4]

4.數(shù)列解題的應(yīng)用

數(shù)列解題對于分類的應(yīng)用主要表現(xiàn)于等比求和、數(shù)列周期等方面。學(xué)生以該思想為基準來討論相關(guān)數(shù)列問題十分有效。比如，“若等比數(shù)列，其公比是q，并且前n項和需要大于0，其中n=1，2... 對q范圍進行計算”，因為此題并未對q范圍進行明確，因此解題應(yīng)對其分類來深入研究。解答時，可以q是否是1為導(dǎo)向來討論，對其取值范圍進行合理確定。

結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)解題對分類討論進行正向應(yīng)用，不但能夠使解題效率得以強化，還可使學(xué)生思維等得到有效拓寬與發(fā)散。此外，教師應(yīng)將該思想滲透至教學(xué)之中，指引學(xué)生以分類觀點對數(shù)學(xué)問題進行觀察，并掌握好相應(yīng)分類標準以及范圍，為其后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

參考文獻

[1]成壘.淺談分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的運用[J].科技風(fēng)，2016（21）：41.

[2]劉祝蕓.關(guān)于分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用思考[J].經(jīng)貿(mào)實踐，2016（19）：80.

[3]王芳芳.淺談分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].亞太教育，2015（18）：41.

[4]周劍.分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].求知導(dǎo)刊，2014（05）：123-124.