焦 鵬 朱 海 高大遠(yuǎn)

（海軍潛艇學(xué)院 青島 266000）

1 引言

由于UUV在水下長(zhǎng)時(shí)航行時(shí)采用慣性導(dǎo)航系統(tǒng)會(huì)存在誤差累積問(wèn)題，因此需要對(duì)其進(jìn)行校正，常用的北斗系統(tǒng)、GPS需要其定時(shí)浮起，不利于保持UUV隱蔽性。因此，目前水下常采用水聲定位的手段進(jìn)行校正，而水下單標(biāo)定位系統(tǒng)由于布放簡(jiǎn)單、各信標(biāo)獨(dú)立工作等優(yōu)點(diǎn)，已逐漸成為了水聲定位技術(shù)的一個(gè)新的發(fā)展方向。但是水下單標(biāo)定位技術(shù)對(duì)UUV自身航跡有一定要求，在特殊航跡下存在著導(dǎo)航算法失效的問(wèn)題，基于此，本文引入非線(xiàn)性系統(tǒng)中的局部弱可觀(guān)測(cè)性概念對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析，并給出了幾類(lèi)滿(mǎn)足可觀(guān)測(cè)性要求的軌跡。

2 非線(xiàn)性系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性定義

考慮如下所示的非線(xiàn)性系統(tǒng)：

其中x∈Rn為狀態(tài)向量，u為輸入向量，y為觀(guān)測(cè)向量，f與h為C∞內(nèi)光滑的函數(shù)。

定義1 在任意系統(tǒng)允許的輸入下，如果滿(mǎn)足初始條件x(0)=z和 x(0)=z′的狀態(tài)量在時(shí)間[0，tf]產(chǎn)生相同的輸出，則認(rèn)為z與z′是不可區(qū)分的。

定義2 對(duì)于每個(gè) z∈Rn，令Γ(z)?Rn代表所有與z不可區(qū)分的狀態(tài)量集合。對(duì)于z∈Rn，如果其不可區(qū)分量為其本身，即Γ(z)=z，則稱(chēng)系統(tǒng)在z點(diǎn)是可觀(guān)的，如果對(duì)于任意z∈Rn都滿(mǎn)足Γ(z)=z，則稱(chēng)系統(tǒng)可觀(guān)。

定義3 如果對(duì)于z∈Rn，總存在輸入u(t)使得z是Γ(z)上的孤立點(diǎn)（即存在一領(lǐng)域使得z∈Rn在該領(lǐng)域上滿(mǎn)足Γ(z)=z），則認(rèn)為系統(tǒng)在z點(diǎn)是局部弱可觀(guān)的，如果對(duì)于任意點(diǎn)z∈Rn都是局部弱可觀(guān)的，則稱(chēng)該系統(tǒng)局部弱可觀(guān)。

即根據(jù)非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的局部弱可觀(guān)的定義，只要存在著一種輸入使得系統(tǒng)狀態(tài)量可以區(qū)分即認(rèn)為是局部弱可觀(guān)的，這意味著在特定輸入下，系統(tǒng)仍然存在著不可觀(guān)測(cè)的問(wèn)題，即UUV在采用特定航行軌跡時(shí)SBP系統(tǒng)仍有可能無(wú)法完成導(dǎo)航定位。

為了方便就不同軌跡下系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性問(wèn)題進(jìn)行分析，我們給出一種更弱的可觀(guān)測(cè)性定義，以方便進(jìn)行后續(xù)分析。

定義4 在特定輸入u(t)下，如果滿(mǎn)足初始條件 x(0)=z和 x(0)=z′的狀態(tài)量在時(shí)間[0，tf]產(chǎn)生相同的輸出，則認(rèn)為z與z′是在u(t)上不可區(qū)分的。

定義5 對(duì)于每個(gè) z∈Rn，令 Γu(t)(z)?Rn代表所有與z在特定輸入u(t)下不可區(qū)分的狀態(tài)量集合。對(duì)于z∈Rn，如果其不可區(qū)分量為其本身，即Γu(t)(z)=z，則稱(chēng)系統(tǒng)在z點(diǎn)是在u(t)上可觀(guān)的，如果對(duì)于任意z∈Rn都滿(mǎn)足Γ(z)=z，則稱(chēng)系統(tǒng)在u(t)上可觀(guān)。

定義6 如果對(duì)于 z∈Rn，使得 z是Γu(t)(z)上的孤立點(diǎn)（即存在一領(lǐng)域使得z∈Rn在該領(lǐng)域上滿(mǎn)足Γu(t)(z)=z），則認(rèn)為系統(tǒng)在 z點(diǎn)是在u(t)上局部弱可觀(guān)的，如果對(duì)于任意點(diǎn)z∈Rn都是在u(t)上局部弱可觀(guān)的，則稱(chēng)該系統(tǒng)在u(t)上局部弱可觀(guān)。

3 不可觀(guān)測(cè)軌跡分析

1）二維模型下特殊可觀(guān)測(cè)軌跡分析

其中VC為UUV所在海域的海流值，HC為UUV所在海域海流流向，VCN、VCE分別為沿當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)北向與東向的海流分量，θ為UUV相對(duì)于信標(biāo)的方位角，r?為測(cè)得的信標(biāo)與UUV之間的距離。

則UUV在極坐標(biāo)系下的模型為

根據(jù)定義6可知，對(duì)于滿(mǎn)足局部弱可觀(guān)測(cè)性要求的路徑，我們只能保證估計(jì)的狀態(tài)量在其某個(gè)鄰域內(nèi)可區(qū)分點(diǎn)只有其自身。也就是說(shuō)，在更大的范圍內(nèi)，即使是在滿(mǎn)足了局部弱可觀(guān)測(cè)性要求的軌跡下機(jī)動(dòng)，仍然有可能存在著與真實(shí)狀態(tài)量不可區(qū)分的狀態(tài)。即如果UUV初始狀態(tài)估計(jì)誤差較大從而脫離了真實(shí)狀態(tài)滿(mǎn)足可觀(guān)測(cè)要求的鄰域范圍，則SBP定位系統(tǒng)仍然不可觀(guān)測(cè)。

考慮到UUV在水下工作時(shí)多采用定速直線(xiàn)航行，本節(jié)重點(diǎn)就在采用定速直航軌跡下的可觀(guān)測(cè)性進(jìn)行分析。分別設(shè) r?1(t)、r?2(t)為兩條不可區(qū)分軌跡的距離測(cè)量值，H1(t)、H2(t)為兩條不可區(qū)分軌跡的偏航角測(cè)量值，θ1(t)、θ2(t)代表各自的方位角。并且易知兩條軌跡有同樣的輸入信息和輸出信息，由此可得對(duì)于任意時(shí)刻滿(mǎn)足：

即對(duì)于軌跡 P1()，θ1(t)，H)，其不可區(qū)分的軌跡為 P2(?1(t)，2Hm- θ1(t)，H)。

根據(jù)計(jì)算畫(huà)出兩條軌跡，如圖2所示。

其中，實(shí)線(xiàn)為實(shí)際的軌跡，虛線(xiàn)為AUV的不可區(qū)分軌跡，由圖可知兩條軌跡為互相平行的直線(xiàn)，起點(diǎn)分別為 (?(t0)，θ1(t0))，(?1(t0)，2Hm- θ1(t0))。

結(jié)論：UUV采用定速直航時(shí)，其不可區(qū)分軌跡為與真實(shí)航跡關(guān)于過(guò)信標(biāo)所在點(diǎn)且方向沿UUV真實(shí)軌跡方向的矢量對(duì)稱(chēng)的軌跡。

由上述分析可知，當(dāng)UUV初始估計(jì)誤差較大時(shí)，利用SBP技術(shù)導(dǎo)航很有可能是收斂到與真實(shí)軌跡平行的不可區(qū)分軌跡上的。

2）三維模型下特殊可觀(guān)測(cè)軌跡分析

本小節(jié)通過(guò)研究一類(lèi)三維特殊軌跡下的可觀(guān)測(cè)性問(wèn)題來(lái)驗(yàn)證利用二維模型分析結(jié)論的有效性。

給定輸入量為u2(t)=a，u3(t)=0，即UUV采取俯仰角保持常值α0，初始偏航角為H0，偏航角速度為a，航行速度為常值V（V、VC代表航行速度與航行海域的海流速度，均為矢量形式）的螺旋線(xiàn)航行軌跡。本小節(jié)重點(diǎn)對(duì)該軌跡下的可觀(guān)測(cè)性問(wèn)題進(jìn)行研究。根據(jù)以上分析，UUV在該軌跡下航行的動(dòng)力學(xué)模型為

變控制理論狀態(tài)方程的求解方法可得：

（1）考慮偏航角速度為零的情況，即a=0

則模型可化為

結(jié)論：在三維模型下，只選取信標(biāo)測(cè)距與偏航角作為觀(guān)測(cè)量信息時(shí)，UUV采取定速直航軌跡是不可觀(guān)的。其不可區(qū)分點(diǎn)集為Γa=0(x0)==R(B，β)x0，β∈(-∞，∞)}。將所得結(jié)論利用圖像進(jìn)行直觀(guān)的分析，如圖3所示。

實(shí)線(xiàn)代表UUV真實(shí)航跡，其與矢量B平行，與x0不可區(qū)分的點(diǎn)集為虛線(xiàn)環(huán)形軌跡，可得，UUV真實(shí)軌跡的不可區(qū)分軌跡為任意起始點(diǎn)在圖中虛線(xiàn)環(huán)形軌跡上，且與真實(shí)軌跡航行方向平行的軌跡上（如圖虛線(xiàn)所示）。

考慮到UUV自身攜帶有深度傳感器可以獲得其實(shí)時(shí)的深度值Z0，因此與UUV真實(shí)軌跡不可區(qū)分的軌跡如圖4所示。

由圖可知，當(dāng)考慮深度信息后UUV的不可區(qū)分軌跡為圖中虛線(xiàn)所示，其水平分量與真實(shí)軌跡水平分量關(guān)于B的水平分量對(duì)稱(chēng)。該結(jié)論與二維簡(jiǎn)化模型下得到的“UUV定速直航時(shí)其不可區(qū)分軌跡為與真實(shí)航跡關(guān)于過(guò)信標(biāo)所在點(diǎn)且方向沿UUV真實(shí)軌跡方向的矢量對(duì)稱(chēng)的軌跡”結(jié)論一致。

（2）考慮偏航角速度不為零的情況，即a=a0時(shí)

則模型可化為

則根據(jù)線(xiàn)性時(shí)變控制理論狀態(tài)方程的求解方法可得：

根據(jù)矩陣論中的克萊姆法則可知，為保證上述 方程有唯一零解，即-)=0，則：

結(jié)論：不考慮深度信息當(dāng)UUV俯仰角為零時(shí)，x0的不可區(qū)分點(diǎn)x′0與x0關(guān)于信標(biāo)所在的水平面對(duì)稱(chēng)。當(dāng)UUV俯仰角不為零時(shí)，x0的不可區(qū)分點(diǎn)集為x0本身，即在該種航行軌跡下系統(tǒng)可觀(guān)。

而考慮深度測(cè)量值信息后，當(dāng)UUV俯仰角為零時(shí)，易知x0的不可區(qū)分點(diǎn)集為x0本身，即系統(tǒng)可觀(guān)。即當(dāng)考慮深度測(cè)量值信息后，當(dāng)UUV偏航角不為零時(shí)系統(tǒng)是可觀(guān)的。該結(jié)論與二維簡(jiǎn)化模型下得到的結(jié)論一致。

4 結(jié)語(yǔ)

由于UUV在采用水下單標(biāo)定位時(shí)存在著不可觀(guān)的問(wèn)題，本文利用非線(xiàn)性控制理論中的更弱的局部弱可觀(guān)的概念對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了分析，在二維平面內(nèi)，當(dāng)UUV采用定速直航時(shí)，如果UUV初始誤差較大，則采用SBP估計(jì)UUV位置時(shí)可能會(huì)收斂到與真實(shí)航跡關(guān)于“過(guò)信標(biāo)所在點(diǎn)且方向沿UUV真實(shí)軌跡方向的矢量”對(duì)稱(chēng)的軌跡上。在三維空間內(nèi)，當(dāng)UUV采用定速直航時(shí)，仍存在利用SBP估計(jì)UUV位置時(shí)可能會(huì)收斂到與真實(shí)軌跡關(guān)于“過(guò)信標(biāo)所在點(diǎn)且方向沿UUV真實(shí)軌跡方向的矢量”對(duì)稱(chēng)的軌跡上去的可能。而在UUV采用俯仰角速度為零，偏航角速度不為零的螺旋形軌跡條件下，當(dāng)UUV獲得深度量測(cè)量信息時(shí)，利用SBP估計(jì)UUV位置是全局可觀(guān)的，即不存在不可區(qū)分軌跡。

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