李家穩(wěn) 劉思勤

(北方工業(yè)大學(xué)，北京 100144)

彈塑性力學(xué)在橋梁中有著重要的應(yīng)用意義，因?yàn)榛趶椝苄粤W(xué)，當(dāng)橋梁遇到地震時(shí)，能夠有效地減少地震所造成的傷害，大大地保護(hù)好橋梁。所以橋梁設(shè)計(jì)者應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)彈塑性力學(xué)的研究，并且加強(qiáng)彈塑性力學(xué)在橋梁設(shè)計(jì)中的運(yùn)用。

1 經(jīng)典塑性力學(xué)在巖土類材料應(yīng)用上的問題

1.1 巖土類的塑性應(yīng)變量不遵守傳統(tǒng)的塑性勢(shì)理論

經(jīng)典的塑性力學(xué)一般只適用于金屬材料，當(dāng)將其用于巖土材料時(shí)，會(huì)導(dǎo)致一些不符合實(shí)際情況的問題出現(xiàn)，導(dǎo)致理論計(jì)算和實(shí)際試驗(yàn)結(jié)構(gòu)存在矛盾，通過大量的試驗(yàn)，經(jīng)典塑性力學(xué)在巖土類材料中應(yīng)用會(huì)存在幾點(diǎn)問題。首先，根據(jù)經(jīng)典塑性力學(xué)的塑性勢(shì)理論分析，關(guān)于塑性的應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)當(dāng)只是取決于應(yīng)力的狀態(tài)，和應(yīng)力的增量無關(guān)，但是在實(shí)際的試驗(yàn)當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)巖土的塑性應(yīng)變?cè)隽坎粌H和應(yīng)力的狀態(tài)相關(guān)，還和應(yīng)力的增量有著密切的關(guān)系。巖土類的塑性應(yīng)變?cè)隽坎粌H和應(yīng)力的狀態(tài)相關(guān)，更是與應(yīng)力增量相關(guān)。

1.2 經(jīng)典塑性力學(xué)沒有考慮應(yīng)力主軸旋轉(zhuǎn)，難以適應(yīng)巖土工程

通過相關(guān)學(xué)者的試驗(yàn)證明，盡管巖土類的塑性主應(yīng)力相同，但是如果塑性的應(yīng)力主軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)，其方向變化也會(huì)發(fā)生塑性變形，但是如果是按照經(jīng)典塑性力學(xué)理論，是無法算出這種塑性變形的，所以由此表明經(jīng)典塑性力學(xué)如果應(yīng)用到巖土類材料當(dāng)中，是沒有充分考慮到主軸的旋轉(zhuǎn)，因此不應(yīng)用于巖土工程。

2 彈塑性力學(xué)的內(nèi)容

2.1 應(yīng)力分析

彈塑性力學(xué)主要是對(duì)線彈性體以及理想彈塑性體進(jìn)行研究，對(duì)這兩種線體進(jìn)行關(guān)于應(yīng)力的分析、應(yīng)變的分析。所以彈塑性力學(xué)的主要研究內(nèi)容是應(yīng)力分析和應(yīng)變分析，我們可以通過使用理論方法分析以及試驗(yàn)的方法對(duì)彈塑性力學(xué)進(jìn)行分析研究。應(yīng)力分析主要是對(duì)彈塑性體內(nèi)的任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)以及微元體的平衡條件進(jìn)行分析。所以一般來說，關(guān)于彈塑性力學(xué)的應(yīng)力分析，主要包括有以下的內(nèi)容：1)對(duì)任一斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力進(jìn)行分析；2)對(duì)任一單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力以及主平面進(jìn)行分析；3)對(duì)等傾面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力進(jìn)行分析，并且分析建立應(yīng)力偏量和應(yīng)力強(qiáng)度以及應(yīng)力狀態(tài)特征角的關(guān)系；4)在應(yīng)力空間中進(jìn)行應(yīng)力lode參數(shù)的研究；5)對(duì)應(yīng)力張量進(jìn)行分解分析；6)對(duì)平衡微分方程進(jìn)行分析。

2.2 應(yīng)變分析

關(guān)于彈塑性力學(xué)的應(yīng)變分析，主要是對(duì)彈塑性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)以及物體的幾何方程進(jìn)行分析研究。所以彈塑性力學(xué)應(yīng)變分析的內(nèi)容主要包括有六點(diǎn)，分別是：1)對(duì)任一斜截面上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變進(jìn)行分析；2)對(duì)任一單元體的主應(yīng)邊和最大剪應(yīng)變進(jìn)行分析；3)對(duì)等傾面上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變進(jìn)行分析，并且分析建立應(yīng)變偏量和應(yīng)變強(qiáng)度以及應(yīng)變狀態(tài)特征角的關(guān)系；4)在應(yīng)變空間中進(jìn)行l(wèi)ode參數(shù)的研究；5)對(duì)應(yīng)變張量進(jìn)行分解分析；6)對(duì)幾何方程及應(yīng)變協(xié)調(diào)方程進(jìn)行分析。

2.3 應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系

彈塑性力學(xué)除了研究應(yīng)力分析和應(yīng)變分析外，還包括對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系的分析，關(guān)于彈塑性力學(xué)中針對(duì)于應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的分析內(nèi)容主要有五點(diǎn)，具體如下：1)通過對(duì)材料拉壓曲線的研究中得出常用的簡化彈塑性力學(xué)模型；2)對(duì)彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行分析說明，彈塑性力學(xué)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也稱之為廣義的胡克定律；3)彈塑性力學(xué)中研究應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的常用塑性屈服準(zhǔn)則主要有Tresca屈服準(zhǔn)則和Mises屈服準(zhǔn)則；4)關(guān)于彈塑性應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，主要是增量型和全量型；5)對(duì)德魯克公設(shè)以及伊柳辛理論進(jìn)行說明。

德魯克公設(shè)是指德魯克根據(jù)強(qiáng)化的材料單向拉伸，使之進(jìn)入到塑性的變形狀態(tài)后，然后在加載和卸載的應(yīng)力循環(huán)過程當(dāng)中，附加外力橫來做正功的性質(zhì)以及有關(guān)熱力學(xué)的規(guī)律所提出的彈塑性材料強(qiáng)化假設(shè)。

3 彈塑性力學(xué)中的簡化問題

3.1 材料的簡化

關(guān)于工程中彈塑性力學(xué)的計(jì)算是非常復(fù)雜和困難的，所以要計(jì)算彈塑性力學(xué)時(shí)，可以對(duì)問題進(jìn)行簡化處理，首先，需要對(duì)材料進(jìn)行簡化處理。因?yàn)樵谶M(jìn)行彈塑性力學(xué)計(jì)算過程中，常常需要進(jìn)行一些假設(shè)才能進(jìn)行計(jì)算，而這些假設(shè)則是對(duì)問題的簡化，有利于幫助學(xué)者更加解決問題，提高解決效率。比如，在進(jìn)行彈塑性力學(xué)過程中，一般會(huì)將物體假設(shè)成是連續(xù)性的，因?yàn)橹挥袑⑽矬w假設(shè)成為連續(xù)性的才能保證物體內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變都是連續(xù)性的變化，才能更好地用函數(shù)以及坐標(biāo)來表示。其次，對(duì)于物體的形狀也假設(shè)是均勻的，并且具有向同性的，這樣當(dāng)物體處于無初始應(yīng)力的時(shí)候，就可以將物體各個(gè)部位的彈塑性都假設(shè)是相同的，并不會(huì)隨著物體位置的改變而發(fā)生改變，更有利于解答問題。在實(shí)際的彈塑性力學(xué)計(jì)算當(dāng)中，常常會(huì)作出小變形假設(shè)，也就是假設(shè)物體在受到外力的作用下，物體中各個(gè)點(diǎn)的變形都要小于物體的尺寸，所以在計(jì)算過程中，就可以忽略由于物體變形所引起的物體位置以及尺寸的變化，簡化計(jì)算。

3.2 對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的簡化

關(guān)于應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，可以結(jié)合實(shí)驗(yàn)的資料來將其進(jìn)行簡化，因?yàn)樵谘芯课矬w應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的時(shí)候，其計(jì)算的基本依據(jù)是物體是單向拉伸曲線的，所以就要簡化物體的單向拉伸曲線，簡化的前提是保證物體要比較好，應(yīng)力和應(yīng)變之間的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式也比較簡單。一般情況下，研究人員會(huì)采用簡化后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系模型進(jìn)行分析探討，常用的簡化模型主要有7種，分別是線彈性模型、非線性彈性模型、理想彈塑性模型、線彈性線性強(qiáng)化模型、剛塑性模型、冪強(qiáng)化模型以及脆塑性模型，線彈性力學(xué)模型在彈性力學(xué)中的應(yīng)用是最為廣泛的。因?yàn)樵诰€彈性力學(xué)模型當(dāng)中，此時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系遵循胡克定律，所以彈性的常數(shù)不會(huì)跟著應(yīng)力或者應(yīng)變數(shù)據(jù)大小的變化而發(fā)生改變，這樣就比較符合小變形假設(shè)，有利于進(jìn)行問題的簡化，提高問題解答的效率。相反，非線性彈性力學(xué)，由于其變形比較大，不能忽略其變形的影響，所以解答問題的方法非常復(fù)雜，因此至今所能夠解答的問題是非常少的。

3.3 求解彈塑性力學(xué)問題的方法簡化

關(guān)于彈塑性力學(xué)問題的計(jì)算方法簡化可以分成兩個(gè)方面進(jìn)行研究，分別是對(duì)線彈性力學(xué)問題的求解以及對(duì)彈塑性力學(xué)問題的求解。首先，在彈塑性力學(xué)當(dāng)中，為了保證能夠從已知的數(shù)據(jù)當(dāng)中求解出應(yīng)力、應(yīng)變等數(shù)據(jù)，所以在分析計(jì)算過程中需要結(jié)合問題的靜力學(xué)、幾何學(xué)以及物理學(xué)進(jìn)行綜合分析，從而建立滿足彈性力學(xué)方程的要求條件。比如在幾何學(xué)方面就假設(shè)物體在變形前后都是連續(xù)的，在靜力學(xué)方面就假設(shè)物體是處于平衡的，在物理學(xué)方面就要建立好應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系，比如在線彈性體當(dāng)中，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系就成線性關(guān)系。如果要解決平面問題，就比較簡單，要解答線彈性力學(xué)當(dāng)中的平面問題，比如有3個(gè)應(yīng)力分量、3個(gè)應(yīng)變分量以及2個(gè)位移分量，也就是說一共有8個(gè)未知數(shù)據(jù)，而已知的條件則有8個(gè)，分別是2個(gè)平衡方程、3個(gè)幾何方程以及3個(gè)物理方程，所以在解答問題的時(shí)候則需要聯(lián)立解答5個(gè)微分方程以及3個(gè)代數(shù)方程。如果此時(shí)使用應(yīng)力函數(shù)來解決彈性力學(xué)中的平面問題，則可以通過找取一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)要滿足一些線彈性模型的假設(shè)條件，比如要滿足平衡條件、要滿足變形條件以及物理?xiàng)l件。而此時(shí)該函數(shù)所表示的應(yīng)力則是要解答出來的應(yīng)力，然后就可以通過應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式來計(jì)算出應(yīng)變數(shù)值，然后再計(jì)算出位移數(shù)值。

其次，要解決彈塑性力學(xué)問題，因?yàn)閺椝苄粤W(xué)的關(guān)系研究非常復(fù)雜，在彈塑性力學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系不再是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，比如應(yīng)變的大小變化不僅和荷載相關(guān)，還和物體變形的歷史相關(guān)，所以計(jì)算難度大大地增加。因此，在進(jìn)行塑性力學(xué)問題解答時(shí)，需要對(duì)屈服函數(shù)進(jìn)行簡化，當(dāng)主應(yīng)力的大小次序都是已知條件的時(shí)候，就可以選用特雷斯卡屈服條件，當(dāng)最大正應(yīng)力滿足屈服條件的時(shí)候，就會(huì)大大地簡化計(jì)算過程。常用的而且比較成功塑性力學(xué)簡化方法主要有兩個(gè)，分別是靜定問題求解法以及界限法。

4 彈塑性力學(xué)在橋梁中的應(yīng)用

4.1 纖維單元

彈塑性力學(xué)在橋梁中有著重要的應(yīng)用，特別是當(dāng)橋梁遇到地震時(shí)，彈塑性力學(xué)發(fā)揮著重要的作用。橋梁中彈塑性力學(xué)所使用的纖維單元可以將梁單元截面分割成為多個(gè)只有軸向變形的纖維模型，在使用該纖維模型的時(shí)候可以將纖維材料中的應(yīng)力和應(yīng)變直觀的關(guān)系以及截面應(yīng)變的分布形狀都假設(shè)成為比較準(zhǔn)確的截面彎矩—曲率關(guān)系，所以應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)由于軸力所引起的纖維單元中和軸的變化。運(yùn)用到橋梁中的彈塑性力學(xué)中的纖維模型主要有三種假設(shè)，分別是：第一，纖維的截面變形能夠維持平截面的狀態(tài)，并且和構(gòu)件的軸線保持垂直的狀態(tài)；第二，該纖維模型不考慮鋼筋和混凝土之間存在的滑移；第三，該纖維模型中的梁單元截面形心的連線呈直線。所以在該纖維模型當(dāng)中，每個(gè)纖維的軸向變形都能夠和截面的軸向變形和彎曲變形相對(duì)應(yīng)，纖維的應(yīng)力狀態(tài)由纖維應(yīng)變狀態(tài)來決定，而且可以通過纖維的應(yīng)力狀態(tài)來計(jì)算出纖維截面的軸力和彎矩大小。

4.2 彈塑性動(dòng)力時(shí)程反應(yīng)分析

當(dāng)橋梁遇到地震時(shí)，可以根據(jù)彈塑性動(dòng)力時(shí)的反應(yīng)關(guān)系式來計(jì)算出等效塑性鉸長度，等效塑性鉸長度和懸臂墩的高度、塑性鉸截面到反彎點(diǎn)的距離、橋梁縱向的鋼筋抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值以及縱向鋼筋的直徑有著密切的關(guān)系。為了加強(qiáng)對(duì)地震情況下橋梁中的彈塑性力學(xué)變化的研究，可以通過構(gòu)建彈塑性纖維單元模型來進(jìn)行研究，所構(gòu)建的模型所采用的是雙折線型的隨動(dòng)硬化模型，當(dāng)橋梁預(yù)應(yīng)力小箱梁結(jié)構(gòu)橫橋箱是框架墩結(jié)構(gòu)的時(shí)候，當(dāng)出現(xiàn)橫橋向地震時(shí)，橋梁的結(jié)構(gòu)墩底則會(huì)和墩頂進(jìn)入到塑性的工作狀態(tài)，當(dāng)出現(xiàn)順橋向地震時(shí)，就會(huì)在橋梁的墩底出現(xiàn)彈塑性狀態(tài)，所以橫橋向和順橋向地震時(shí)，橋梁的塑性狀態(tài)所處的位置會(huì)有所不同。

總的來說，彈塑性力學(xué)的計(jì)算是非常復(fù)雜的，而且所包含的關(guān)系也是非常復(fù)雜，但是將彈塑性力學(xué)運(yùn)用到橋梁當(dāng)中，可以有效減少地震時(shí)對(duì)橋梁造成的損害，大大地保護(hù)好了橋梁，所以我們應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)彈塑性力學(xué)在橋梁中的應(yīng)用。