陳歡歡， 薛 瓊， 陳愛(ài)云， 李 奧

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院， 湖北 武漢 430070)

1 主要結(jié)果

設(shè)M是n維完備非緊黎曼流形,滿足

RicM≥-(n-1)c(c>0).

Bishop-Gromov體積比較定理[1]說(shuō)明

r→(vol[B(p,r)])/(αn(r,-c))

是非增函數(shù),其中B(p,r)為M上以點(diǎn)p為中心r為半徑的開(kāi)球,αn(r,-c)表示常曲率-c的空間形式Mn(-c)中半徑為r的測(cè)地球體積,其中

(1)

這里

(2)

ωn是Sn(1)的體積.

對(duì)任意p∈M,令

(3)

定義

總有

當(dāng)v-c(M)>0時(shí),稱M具有大體積增長(zhǎng).關(guān)于體積增長(zhǎng)，文獻(xiàn)[2-14]在此領(lǐng)域取得了一系列有意義的成果.

一個(gè)流形M稱為具有有限拓?fù)湫?若存在一緊致區(qū)域Ω,使得?Ω是一拓?fù)淞餍危襇Ω同胚于?Ω×[0,+).文獻(xiàn)[2]證明了滿足截曲率的黎曼流形M微分同胚于Rn.文獻(xiàn)[3]證明了黎曼流形M滿足共軛半徑conjM≥c，v-1(M)>0具有有限拓?fù)湫?文獻(xiàn)[4]證明了滿足射線截面曲率的黎曼流形M微分同胚于Rn.文獻(xiàn)[5]證明了黎曼流形M滿足射線截面曲率具有有限拓?fù)湫?

(4)

(5)

則M具有有限拓?fù)湫?

2 預(yù)備知識(shí)及引理

設(shè)M是一個(gè)完備非緊的n維黎曼流形,首先引進(jìn)射線截面曲率的定義.

接下來(lái)介紹射線密度函數(shù)及幾種距離函數(shù).

定義2設(shè)M是一個(gè)完備非緊的n維黎曼流形,p∈M,令R(p,r)為所有從p點(diǎn)出發(fā)的射線集合,顯然R(p,r)是測(cè)地球S(p,r)上的閉子集.對(duì)任意x∈S(p,r),r≥0,定義

Rp(x)=d(x,R(p,r)).

(6)

對(duì)于r>0,

(7)

是射線密度函數(shù).

定義3[7]給定p∈M，定義從p點(diǎn)出發(fā)的一條射線γ相關(guān)的Busemann函數(shù)為

(8)

注1記

(9)

再結(jié)合Rp(x)的定義,有

d(p,x)-Rp(x)≤Bp(x)≤d(p,x).

(10)

定義4給定p∈M，定義在p點(diǎn)的Excess函數(shù)為

ep(x)=d(p,x)-bp(x),x∈M,

(11)

記

,

(12)

其中

為p點(diǎn)處的廣義Busemann函數(shù).

注2由定義4與(10)式有:

Bp(x)≤bp(x),x∈M;
ep(x)≤Rp(x),x∈M.

(13)

3 主要結(jié)果的證明

為了證明定理，還需要以下引理.

(14)

證明任取數(shù)列tn→+使得

收斂到bp(x),存在xn∈S(p,tn),使得

d(q,xn)=d(q,S(p,tn)).

取γ是p到xn的極小測(cè)地線,σ是q到xn的極小測(cè)地線.由于q是p的臨界點(diǎn),存在一條從q到p的極小測(cè)地線τ,使得

應(yīng)用引理1,即射線截面曲率Toponogov型比較定理,對(duì)于三角形{γ,σ,τ},有

因此引理2得證.

類似于文獻(xiàn)[2]中引理2.5的證明,易驗(yàn)證下述引理.

引理3設(shè)M是一個(gè)完備非緊的n維黎曼流形,滿足

RicM≥-(n-1)c(c>0)，v-c(M)>0,

則對(duì)任意p∈M,?r>0,有

(15)

其中ωn表示Rn空間中單位球的體積.

綜合上述定義及引理,下面給出定理證明.

定理1的證明任取點(diǎn)x(≠p)∈M,并令r=d(p,x).由(15)式再結(jié)合條件(4)有

因此

再由H(p,r)的定義,結(jié)合(13)式有

又由引理2知若x是p的臨界點(diǎn)，有

因此x不是p的臨界點(diǎn),即定理得證.

定理2的證明由合痕引理[15]，任意x∈M，如果d(p,x)足夠大,則x不是p的臨界點(diǎn).由條件(5)知，存在足夠小的ε和足夠大的r1使得

(16)

由于

因此有足夠大的r2使得

(17)

令r0=max(r1,r2),當(dāng)?r≥r0,由(16)和(17)式有

(18)

再類似于定理1的證明,得到MB(p,r0)不含p的臨界點(diǎn),因此定理得證.

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