王德鑫 那仁滿都拉

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,通遼 028043)

1 引 言

液體中的微小氣泡在超聲作用下會發(fā)生一系列的非線性振蕩,這就是聲空化.空化氣泡內(nèi)部的極端條件可能會促進液體中的物理化學(xué)反應(yīng),并在一定條件下會伴隨光輻射現(xiàn)象,這就是聲致發(fā)光.最早對于液體中空化氣泡的理論研究是Rayleigh建立的球形空腔的氣泡動力學(xué)理論模型[1].之后人們不斷對其進行改進和完善,提出了經(jīng)典的Rayleigh-Plesset方程[2]和常用的Keller-Miksis(K-M)方程[3].這些模型對于研究聲致發(fā)光現(xiàn)象的內(nèi)在機理有重要意義.

有研究表明,在多泡聲致發(fā)光(MBSL)中,氣泡半徑的大小隨著超聲波頻率的減小而增加[4].Ida等[5]對不同多泡模型進行了研究,并且對液態(tài)汞中空化氣泡進行了觀察.王成會等[6]從氣泡輻射場影響下的均勻球狀氣泡群的耦合振動以及非線性聲響應(yīng)方面分析了增強和抑制泡群空化的因素.由于空化和MBSL的復(fù)雜性,為簡化模型以便于貼近實際環(huán)境,人們開始關(guān)注雙泡的理論研究.Mettin等[7]通過考慮氣泡的非線性振動,研究了水中不同驅(qū)動壓力下的雙泡之間的相互作用力.盧義剛和吳雄慧[8]由速度勢疊加原理得到雙泡超聲空化方程并對其運動規(guī)律進行了分析.蒲中奇等[9]建立了空化泡輻射噪聲的理論模型,對雙泡在崩潰時空化噪聲規(guī)律進行了分析.在雙泡的實驗研究中,Shirota等[10]利用聲致發(fā)光的實驗系統(tǒng)觀察了雙泡的運動軌道,同年張文娟和安宇[11]對實驗中觀察到的雙泡相互繞圈運動的現(xiàn)象進行了理論研究.Rasoul等[12]分析了不同濃度硫酸溶液中兩個聲致發(fā)光氣泡間的次Bjerknes力.

Bjerknes力是聲場對氣泡的作用力,具體可表現(xiàn)為:單個氣泡在靜止聲場的壓力節(jié)點或波腹處的吸引或排斥現(xiàn)象,以及振蕩氣泡的相互吸引或排斥現(xiàn)象.當(dāng)影響氣泡的力是由外加聲場作用引起的時,其被稱為“主Bjerknes力”;由于相鄰氣泡輻射聲場引起的兩個氣泡之間的力稱為“次Bjerknes力”[7].關(guān)于氣泡間的次Bjerknes力,早在1993年P(guān)elekasis和Tsamopoulos[13,14]采用混合邊界的有限元法,通過對無限遠(yuǎn)流體靜壓力的階躍性變化和振蕩壓力場下雙泡間的次Bjerknes力的研究來說明它們的形變和界面的電位變化.通過將平均Bjerknes力與平均浮力相等的方法,計算了穩(wěn)定聲波中的單泡聲致發(fā)光氣泡的平衡位置[15].由于次Bjerknes力對氣泡體積的影響,馬艷等[16]利用Lagrange方程推導(dǎo)出了次Bjerknes力作用下氣泡體積的振動方程,并探討了次Bjerknes力作用下不同參數(shù)對氣泡體積振動振幅和振動初相位的影響.胡靜等[17]在考慮了不同泡群間的次級輻射聲響因素,對不同大小泡群間的相互作用進行了分析.為了更貼近實際情況,在空化氣泡非球形效應(yīng)的基礎(chǔ)上,馬艷等[18]對非球形空化氣泡和球形氣泡間的次Bjerknes力的影響因素進行了分析討論.

本文通過考慮雙泡之間的輻射壓力波,利用改進的K-M方程和van der Waals方程,研究了不同大小、不同間距、含不同惰性氣體的雙泡在聲空化過程中半徑的變化、次Bjerknes力的變化和雙泡內(nèi)溫度的變化.

2 耦合雙泡動力學(xué)模型

當(dāng)雙泡中心間距足夠小時,由于氣泡間輻射壓力波的存在,作用在氣泡上的壓力不等于外部驅(qū)動壓力,所以必須考慮雙泡之間的相互作用.假設(shè)雙泡在振蕩過程中位置保持不變,并且始終保持球形,雙泡可以在驅(qū)動聲場的作用下同步振蕩.雙泡中任一球形氣泡的輻射壓力可以從如下歐拉方程和流體介質(zhì)的連續(xù)性方程獲得[5]:

式中,u(r,t)和p(r,t)分別是氣泡在液體中的速度和壓力,r是氣泡的徑向坐標(biāo).氣泡周圍的速度場可以表示為

由(3)式可知u(R,t)=R˙(t),并假設(shè)u(r→∞,t)=0,則將(3)式代入(1)式并進行積分得

由于p(r→ ∞,t)=0,故可忽略無窮小項.在氣泡1的壓力梯度場?P1的作用下,體積為V2的氣泡2受到氣泡1作用的次Bjernes力可表示為

式中L,er分別為兩個氣泡之間的距離和徑向單位矢量.(5)式兩邊對時間進行二次積分就可得到[12]

式中Lij是氣泡i和氣泡j的中心距離;pa(t)=?Pasin(ωt)為外部驅(qū)動力.(7)式中的最后一項是雙泡之間的聲場相互耦合作用項.假設(shè)氣泡內(nèi)部的氣體為理想氣體,因此氣泡內(nèi)氣體壓強的變化滿足van der Waals方程:

式中,P0為環(huán)境壓強,σ為液體的表面張力,Ri0是第i個氣泡的初始半徑,hi是第i個氣泡的van der Waals硬核半徑,γ為氣體的多方指數(shù).對于不同氣體,多方指數(shù)γ可以通過下式得出[19]:

上式中瞬時Pelect數(shù)由式Pe=|R˙|R/κgas確定,其中κgas可由下式計算[19]:

這里ag,Rg,T和μg分別是氣體有效原子直徑、理想氣體常數(shù)、氣體溫度和氣體分子質(zhì)量,G(g)是一個無量綱的密度函數(shù).考慮到氣泡壁上氣體熱擴散所導(dǎo)致的氣泡內(nèi)部的溫度變化,氣泡內(nèi)部溫度的表達(dá)式修正為[19]

其中Tliq是無窮遠(yuǎn)處的液體溫度.方程(12)與方程(7)給出了雙泡系統(tǒng)中氣泡半徑和氣泡內(nèi)溫度的計算模型.本文所采用的計算氣泡內(nèi)部溫度的模型進行了較多的簡化,并沒有考慮氣泡內(nèi)的蒸汽壓強,以及在氣泡振蕩過程中的熱傳導(dǎo)和質(zhì)量交換.在下面的計算中各物理參數(shù)的初始值分別取為:μ =10?3Pa·s,c=1485 m/s,σ =0.0725 N·m?1,ρ=1000 kg/m3,f=20 kHz,Pa=1.3 atm,T0=293.13 K.

3 不同大小雙泡的聲空化特性

在MBSL實驗中,所形成氣泡的大小是隨機的,因此研究不同大小雙泡的相互作用對聲空化特性的影響,在實驗方面可以提供理論指導(dǎo).本節(jié)考慮三種情況:1)雙泡的大小分別為R10=2μm,R20=5μm;2)雙泡的大小均為R10=R20=2μm;3)雙泡的大小均為R10=R20=5μm.假設(shè)雙泡處于耦合狀態(tài),即L=100μm,氣泡內(nèi)是Ar氣,其van der Waals硬核半徑為hAr=Ri0/8.86.另外在運動過程中雙泡受到的次Bjerknes力是對稱的,即〈Fij〉= ?〈Fji〉[9],并且在本文的計算中忽略了延遲效應(yīng)對次Bjerknes力的影響.利用改進的K-M模型,計算了不同大小耦合雙泡的聲空化特性,結(jié)果如圖1所示.

圖1顯示的是耦合雙泡大小對聲空化氣泡半徑、次Bjerknes力和內(nèi)部溫度變化的影響.當(dāng)雙泡分別為2和5μm時,小氣泡膨脹的最大半徑為R1max=18.087μm,崩潰時間為22.6355μs,最高溫度為3.8294×103K,大氣泡膨脹的最大半徑為R2max=50.919μm,崩潰時間為27.2705μs,最高溫度為1.8729×104K,此時最大正次Bjerknes力為2.8426 × 10?6N,最大負(fù)次Bjerknes力為2.5546×10?6N;當(dāng)雙泡大小均為2μm時,雙泡振蕩的頻率是一樣的,膨脹的最大半徑為Rmax=28.647μm,崩潰時間為24.632μs,最高溫度為1.1958×104K,此時最大次Bjerknes力為1.6899×10?5N;當(dāng)雙泡大小均為5μm時,膨脹的最大半徑為Rmax=46.368μm,崩潰時間為27.664μs,最高溫度為1.6608×104K,此時最大次Bjerknes力為1.5976×10?4N.

圖1 一個周期內(nèi)不同大小雙泡的聲空化特性的變化(a)氣泡半徑;(b)次Bjerknes力;(c)氣泡內(nèi)溫度Fig.1.Property changes of ultrasonic cavitation of the double bubbles with different sizes in one period:(a)Radius of bubble;(b)secondary Bjerknes force;(c)temperature of bubble.

從圖1(a)和圖1(b)以及上面的數(shù)據(jù)可以看出,當(dāng)兩個氣泡大小不同時,次Bjerknes力主要的貢獻來自于大氣泡在第一次潰滅之前氣泡壁運動.當(dāng)小氣泡潰滅之后,因為輻射壓力場的耦合將次Bjerknes力由吸引力轉(zhuǎn)變?yōu)榕懦饬?這就意味著在兩個氣泡之間存在著一個平衡點[7].在大氣泡潰滅后的反彈階段由于快速的振蕩,平均的次Bjerknes力約為零.當(dāng)兩個氣泡大小相同時,從圖1(b)可以看出在一個周期內(nèi)次Bjerknes力屬于吸引力,并且在一個周期內(nèi)次Bjerknes力有兩次徑向振蕩,第一次在20μs左右,第二次在氣泡發(fā)光的瞬間,說明在膨脹和崩潰過程中雙泡是相互吸引的[11].

圖2 一個周期內(nèi)耦合雙泡和單泡的氣泡半徑和氣泡內(nèi)溫度的變化(R1,R2為單泡模型氣泡初始半徑;R10,R20為雙泡模型的兩個氣泡初始半徑)Fig.2.Changes of radius and temperature of the coupling double bubbles and the single bubble in one period(R1and R2are the initial radii of bubbles in the single bubble model,R10and R20are the initial radii of bubbles in the double bubbles model,respectively).

從圖1(c)可以看出,當(dāng)雙泡大小不同時,雙泡間的相互作用對小氣泡的影響比大氣泡大,在小氣泡崩潰過程中大氣泡會對小氣泡起到非常明顯的抑制作用,使其內(nèi)部溫度與相同半徑雙泡相比明顯降低.對于大氣泡,相互作用力與半徑相同時的大氣泡相比降低,使得大氣泡在潰滅時溫度有所提高.為了研究雙泡大小不一樣時哪個氣泡受影響的程度比較大,研究了初始半徑為2和5μm的耦合雙泡的半徑變化和內(nèi)部溫度變化,并與初始半徑為2和5μm的單泡的半徑變化和溫度變化進行了比較,結(jié)果如圖2所示.當(dāng)單泡半徑R1=2μm時,膨脹的最大半徑Rmax=30.670μm,崩潰時間為24.490μs,最高溫度為1.2609×104K;當(dāng)單泡半徑為R2=5μm時,膨脹的最大半徑Rmax=50.819μm,崩潰時間為27.2485μs,最高溫度為1.8456×104K.

可以看出,雙泡中半徑2μm的氣泡比初始半徑為2μm的單泡膨脹的最大半徑減少將近12μm,由于膨脹半徑的減小,直接導(dǎo)致氣泡內(nèi)部的溫度下降了約104K.初始半徑為5μm的單泡與雙泡中5μm的氣泡半徑相比幾乎沒有變化,氣泡內(nèi)部的溫度同樣沒有明顯的變化.由此可以看出,大氣泡輻射出的聲壓相對于小氣泡來說非常大,對小氣泡的運動起到了非常明顯的抑制作用,而小氣泡對大氣泡的影響卻很微弱.因此,當(dāng)雙泡大小不同時,大氣泡對小氣泡有非常明顯的抑制作用.該結(jié)論與文獻[19]中兩個半徑大小不一樣的球形氣泡群相互作用時的結(jié)論類似.

4 不同間距雙泡的聲空化特性

對于雙泡聲空化問題中,雙泡之間的距離是影響雙泡空化特性的一項非常重要的因素.通過文獻[9]可知,如果雙泡間距非常小,它們之間的相互運動就受到影響.本節(jié)考慮水中不同間距的兩個大小相同的氣泡,并假設(shè)雙泡的大小均為4.5μm,氣泡內(nèi)部氣體都為Ar氣.下面分別計算雙泡間距L=100μm,1 mm,1cm時氣泡半徑、次Bjerknes力以及氣泡內(nèi)部溫度的變化情況.

計算結(jié)果表明:當(dāng)L=100μm時,氣泡的崩潰時間為27.372μs,膨脹的最大半徑為44.550μm,最大次Bjerknes力為1.3286×10?4N,最高溫度為1.6932×104K;當(dāng)L=1 mm時,氣泡的崩潰時間為27.0395μs,膨脹的最大半徑為48.205μm,最大次Bjerknes力為2.1165×10?6N,最高溫度為1.7608×104K;當(dāng)L=1cm時,氣泡的崩潰時間為26.994μs,膨脹的最大半徑為48.867μm,最大次Bjerknes力為2.2390×10?8N,最高溫度為1.8814×104K.

從圖3(a)可以清晰地看到隨著雙泡間距的增加,雙泡膨脹的最大半徑也在逐漸增大,從崩潰放大圖可看出氣泡的崩潰時間明顯提前,這與文獻[8]中的計算結(jié)果是一致的.隨著雙泡間距的增大,氣泡壁膨脹的曲線趨于重合,說明當(dāng)雙泡間距大于一定值時,可以將其簡化成單泡模型.

圖3 一個周期內(nèi)不同間距雙泡的聲空化特性的變化(a)氣泡半徑;(b)次Bjerknes力;(c)氣泡內(nèi)溫度Fig.3.Property changes of ultrasonic cavitation of the double bubbles with different distances in one period:(a)Radius of bubble;(b)secondary Bjerknes force;(c)temperature of bubble.

圖3(b)表示的是不同間距下計算出的雙泡間次Bjerknes力,三種情況對比可以看出,隨著雙泡間距的增加,次Bjerknes力的數(shù)量級從10?4N減小到10?8N,即氣泡間相互作用力的大小隨著氣泡間距的減小而增大.文獻[12]中認(rèn)為當(dāng)雙泡間距為1cm時處于未耦合狀態(tài),從計算結(jié)果可以看出此時氣泡間次Bjerknes力的數(shù)量級為10?8N,基本可以忽略不計.這說明雙泡間的次Bjerknes力隨著雙泡間距的增大而逐漸衰減,當(dāng)雙泡間距大于1cm時逐漸衰減為零[18].從圖3(c)氣泡內(nèi)部溫度的變化可以看出,隨著雙泡間距的增加,雙泡間相互作用力的減小,它們內(nèi)部的溫度也在增加.

5 含不同惰性氣體雙泡的聲空化特性

惰性氣體在聲致發(fā)光過程中的作用是非常明顯的,有研究表明當(dāng)空氣泡中注入1%的Ar氣時,在聲致發(fā)光過程中所發(fā)出的光與未注入Ar氣相比亮度增加幾百倍[20],且惰性氣體對聲致發(fā)光光譜的研究也有重要作用[21].因此在雙泡聲空化中不同惰性氣體的影響也是必須考慮的一個因素.通過文獻[22]可知,在聲致發(fā)光過程中隨著氣泡中惰性氣體分子量的增加,氣泡的相對半徑變化不明顯,但是所產(chǎn)生的溫度和亮度都隨之增加.

本節(jié)考慮雙泡由不同惰性氣體構(gòu)成,雙泡大小均為4.5μm,雙泡間距L=100μm,計算中采用的惰性氣體參數(shù)列于表1.

表1 不同惰性氣體的參數(shù)[19]Table 1.The characteristic parameters of the noble gases[19].

圖4為含不同惰性氣體雙泡在聲空化過程中其半徑和溫度的變化.計算結(jié)果表明,當(dāng)泡1內(nèi)含有Xe氣、泡2內(nèi)含有Ar氣時,雙泡膨脹的最大半徑分別為44.554,44.549μm,最高溫度分別為3.3766×104,1.6869×104K,崩潰時間分別為27.3725,27.3721μs,最大次Bjerknes力為1.3288×10?4N;當(dāng)泡1內(nèi)含有Xe氣、泡2內(nèi)含有He氣時,兩氣泡膨脹的最大半徑分別為44.559,44.532μm,最高溫度分別為3.3676×104,7.0395×103K,崩潰時間分別為27.3725,27.3705μs,最大次Bjerknes力為1.3280×10?4N.

兩種情況的比較可看出,不同的惰性氣體對耦合雙泡膨脹的最大半徑的影響很小.但從放大圖4(b)和圖4(e)可以看出,不同的惰性氣體氣泡在回彈階段表現(xiàn)出明顯不同的振蕩規(guī)律,即半徑的變化明顯不同.這由于在氣泡膨脹和收縮的過程可以看作是等溫過程,此時氣體的多方指數(shù)γ≈1,所以不同惰性氣體對氣泡膨脹和收縮過程中半徑的影響可以忽略.在氣泡崩潰的瞬間,氣泡內(nèi)部可以看作是絕熱過程,由(10)式可知分子量大的惰性氣體的多方指數(shù)的變化快,影響了氣泡內(nèi)部氣體壓強,導(dǎo)致在第二個膨脹過程中膨脹的最大半徑的差異,進而影響了回彈階段的振蕩.

圖4 一個周期內(nèi)不同惰性氣體雙泡的聲空化特性的變化(a)Xe氣泡和Ar氣泡的半徑;(b)圖(a)回彈階段的放大圖;(c)Xe氣泡和Ar氣泡內(nèi)溫度;(d)Xe氣泡和He氣泡的半徑;(e)圖(d)回彈階段的放大圖;(f)Xe氣泡和He氣泡雙泡內(nèi)溫度Fig.4.Property changes of ultrasonic cavitation of the double bubbles with different noble gas in one period:(a)Radius of Xe and Ar bubble;(b)magni fied figure of panel(a)in the stage of rebound;(c)temperature of Xe and Ar bubble;(d)radius of Xe and He bubble;(e)magni fied figure of panel(d)in the stage of rebound;(f)temperature of Xe and He bubble.

由(6)式可知,最大次Bjerknes力與氣泡膨脹最大半徑的平方成正比,因此不同惰性氣體對雙泡間的相互作用力大小的影響是不明顯的,所以沒有給出次Bjerknes力的變化圖.由于單泡和雙泡內(nèi)溫度的計算都與氣泡內(nèi)部氣體和氣泡膨脹的半徑有關(guān),當(dāng)雙泡含有相同的惰性氣體且膨脹的最大半徑相同時,單泡和雙泡聲空化時內(nèi)部溫度是一樣的[19].當(dāng)雙泡分別含有不同的惰性氣體且膨脹的最大半徑也相同時,單泡和雙泡都是分子量大的惰性氣體氣泡內(nèi)部的溫度更高,這表明耦合雙泡聲空化中惰性氣體的作用與單泡聲空化中的作用是一樣的.

6 結(jié) 論

如果兩個空化氣泡間距足夠小時,由于相鄰氣泡間的輻射壓力波的存在,必須考慮它們之間的次Bjerknes力.本文通過考慮雙泡間的相互作用,得到了次Bjerknes力的表達(dá)式,并通過雙泡動力學(xué)方程對耦合雙泡聲空化時的氣泡半徑變化、氣泡內(nèi)溫度變化以及次Bjerknes力變化進行了分析.

對于不同大小的雙泡,由于大氣泡的輻射壓力波較強,所以小氣泡受到抑制作用較強,溫度變化也比較明顯.當(dāng)雙泡大小相同時,雙泡間的次Bjerknes力均為負(fù),表明耦合的雙泡在振蕩過程中相互吸引,并且在一個周期內(nèi)次Bjerknes力有兩次徑向振蕩.隨著雙泡間距的增加,雙泡間的相互影響減弱,因此雙泡受到的次Bjerknes力逐漸減小,膨脹的最大半徑在逐漸增大,并且氣泡內(nèi)溫度也隨之增加.當(dāng)雙泡間距足夠大時,次Bjerknes力就可以忽略不計,可將雙泡模型簡化為單泡模型.

當(dāng)雙泡內(nèi)含有不同惰性氣體時,由于潰滅時氣泡內(nèi)氣體的多方指數(shù)變化的差異導(dǎo)致在潰滅之后的回彈階段表現(xiàn)出明顯不同的振蕩規(guī)律.而在雙泡膨脹階段多方指數(shù)不變,所以最大半徑?jīng)]有明顯差異.本文的研究對于不同數(shù)量氣泡的聲空化模型的建立,以及不同數(shù)量氣泡間相互作用的研究提供了理論基礎(chǔ).

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