蒲實

一個時刻

麻省理工學院數(shù)學系學生的數(shù)學題討論題

2018年除夕的前一晚，在一家川菜館與我們吃完晚飯，袁新意開車，先去他在伯克利北邊的家。席間他一點酒也沒喝。他說，自從北大畢業(yè)那年喝畢業(yè)酒喝吐之后，他就不怎么喝酒了。18年前，還在北大數(shù)學系讀本科時，他身上那股“三杯吐然諾，五岳倒為輕”的俠氣，曾給住在他宿舍隔壁的同學張偉留下了深刻印象。后來，倆人同在哥倫比亞大學讀博，都師從數(shù)學家張壽武，有了更長久的交往。

加州大學伯克利分校校園內(nèi)的薩特門，今年是伯克利建校150周年

袁新意在北大數(shù)學系只待了三年就拿到哥倫比亞大學的錄取通知書，去紐約讀博。那一年和他一起提前畢業(yè)的還有王東。他倆一起做東，宴請00級數(shù)學系的同學，愿意來喝酒的都可以來喝，喝了好幾輪。三年匆匆，在袁新意同班同學的記憶里，他上專業(yè)課的時候“全在看英語”，似乎不需要花時間學數(shù)學，就輕松完成了絕大多數(shù)人四年學下來通常很吃力的全部數(shù)學課程。剛來北京時，從湖北小地方出來的他說普通話的口音還很濃重，就更別提英語了，基本功很差。即便如此，他還是順利在三年內(nèi)去了美國。那是2003年。

我們跟他走在加州伯克利大學的校園里，經(jīng)過熱鬧非凡的薩特門（Sather Gate）。“看，這里好多社團在招新宣傳，和北大的‘百團大戰(zhàn)有得一比?！彼v足指向門前排開的許多小展臺，介紹說。在北大的時候，袁新意沒有參加過社團，可以想見，留給他參加社團活動的時間也不多。我問他為什么一定要急著提前一年畢業(yè)，壓縮出來的那一年在日后的歲月里是否真的很重要。他說，在他拿到哥倫比亞大學錄取通知書時，他突然有些后悔趕這么一年;似乎還有很多時光可以享受，卻已來不及改變。說這句話的時候，我們正穿過薩特門，走到門的另一側(cè)。他說：“人總是埋頭想邁過一道道門，邁過的那一刻回頭看，卻又留戀門內(nèi)。”好在他是一個運動愛好者，在北大時，足球賽、籃球賽他都愛參加，晚上還愛在理科樓國際交流中心前的那片空地上和一幫輪滑愛好者玩輪滑——黑夜中，那片空地上的地燈把輪滑者腳下的路照得格外清晰。這讓他有不少朋友，00級的同班同學提起他時，都親切地喊他“老袁”。和外人想象中數(shù)學家所具有的理性應伴隨的冷漠感不同，他是個能讓人感受到熱度的人。即使面對我這樣一個數(shù)學外行，面對可能解答了也不一定能讓我聽懂的一些專業(yè)問題，他依舊不遺余力地回答。后來我聽他太太說，美國這邊把工作和生活分得很明確，工作上的朋友最多一起吃個午飯，很少一起晚餐，更別說去家里做客。袁新意接過話說：“我對待中國人還是按中國的習俗來，對中國以外的所有國家都按美國通行的規(guī)則來?！?p>

伯克利校園內(nèi)的學生

現(xiàn)在，他在伯克利弗吉尼亞街買了房，安置了下來?！鞍捕ㄏ聛怼边@個主題在他博士后結(jié)束拿到“終身教軌”（tenure track）的時候，甚至在他博士后期間，就開始成為他所考慮的問題。按照他的說法，作為班級里最早來美國的人，他什么都走在別人前面一年，既然要在舉目無親的美國扎根下來，這些有關(guān)生活安定的問題也就按部就班、表率性地先考慮起來。

初見他時，我想他的生活已足夠靜好：他每周騎車去伯克利的辦公室，通常去三次;去的時候是上坡，大約騎20分鐘，回來的時候是下坡，十來分鐘就到家。他的辦公室在加州伯克利校園里埃文斯教學樓（Evans Hall）的第九層，俯瞰沿山而建的郁郁蔥蔥的校園。兩面采光的玻璃窗外，刺穿伯克利天際線的薩特鐘樓（Sather Tower）成了一道裝飾的風景線，只要抬頭平視鐘樓的指針就可知道時間。下午6點鐘時，鐘樓的音樂鐘聲就在咫尺處的同一個高度回旋，在人心中喚起某種遠離塵囂的宗教情緒。再遠處，北加州的遠山描畫出起伏的淡影。一排淡黃色的沙發(fā)靠倚在窗前，正對著灑滿陽光的黑板，真是很理想的思考和辦公環(huán)境。2012年，結(jié)束克萊數(shù)學研究所的博士后項目，他短暫回到哥倫比亞大學，隨即又從紐約搬來加州，轉(zhuǎn)眼六年又已過去。

伯克利的薩特鐘樓

那天我們開了車。夜色降臨時走出他的辦公室，袁新意把他騎來的自行車搬回辦公室，開車帶我們?nèi)ゲ宛^。他到伯克利以后迅速被偷了兩輛自行車，這讓他變得謹慎。在波士頓讀博士后的那一年，他也買了一輛高檔自行車，因為時常停在校園里，還搞了兩把巨大的鎖。但是和在北大時一樣，沒過多久他的車就被偷走了。他說加州伯克利作為一個文理學校，有很多與北大的相似之處;也許自行車容易被偷也應被列入這種相似性中。在他還沒有離開北大的時候，大概是2003年的春天，中國經(jīng)濟研究中心的林毅夫教授在理科樓開的中國經(jīng)濟專題課上講，北大本科生在大學四年里平均每人被盜約3.4輛自行車。

伯克利校園內(nèi)

袁新意的家很快到了。從餐廳去往他家的路上，我們聊到了袁新意在北大時的數(shù)學系同班同學——張偉和惲之瑋2014年來加州伯克利時，他們?nèi)齻€之間一次關(guān)于數(shù)學的討論。正是那一次討論，成為張偉和惲之瑋具有創(chuàng)造性的合作的開始——他們兩個人一個研究數(shù)論，一個研究代數(shù)幾何，在那個時刻，各自的研究產(chǎn)生了清晰的交集。20世紀70年代，加拿大裔美國數(shù)學家羅伯特·朗蘭茲提出了雄心勃勃的革命性工程——朗蘭茲綱領(lǐng)，試圖建立數(shù)論與幾何之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，用一個領(lǐng)域的工具和方法研究另一個領(lǐng)域的問題。這個綱領(lǐng)被視為“數(shù)學家的大一統(tǒng)理論”。張偉和惲之瑋的工作，是與朗蘭茲綱領(lǐng)相關(guān)的突破。

聊到這里，袁新意打開了話匣子。伯克利不大，很快就到他家門口了，他泊好車，決定在車上把這個話題聊完。四年前那一次，開車的人也是袁新意，談話的時間也是在吃完晚飯后——那天他們吃飯間全都在討論那個數(shù)學話題，路線是從袁新意在伯克利的家去惲之瑋的住處。討論一路上也未進行完，以至于到了惲之瑋那兒，袁新意停下車，三個人又坐在車上討論了很久。這一次，當袁新意在家門外的小路上停下車，在駕駛座上談論起他們曾討論的那個數(shù)學問題，并把它納入到一個更大的問題中時，我開始較為清晰地知道，三個人都曾為解決它準備和工作了許多年。而四年前那次見面時，他們已各自走向了不同方向。

夜晚，黯淡的路燈燈光透進車內(nèi)，視覺不再警醒，唯有耳朵更加靈敏地浸泡在回旋于幾平方米密閉空間的聲波里，使得每一個詞、每一句話都能吸引不同尋常的專注。2014年冬天的那個時刻，此刻，變得明朗起來一些。

驚奇的風景

惲之瑋和張偉的辦公室離得不遠，都在麻省理工2號樓第4層，各處在L形走廊的兩端。這個L型走廊的拐彎處是一個數(shù)學系學生和老師可以休息和討論的公共空間，有一張綠色的大黑板，永遠寫滿密密麻麻的符號和公式。數(shù)學系的人像是一個運用某種由密碼符號構(gòu)成的特殊語言進行交流的小群體。在這個公共空間里，好幾次，我看到認識的人相互打招呼，說不上兩句日常話語，就拿起粉筆在黑板上寫畫和討論起來，相互可以在只有他們才懂的那種語言間長時間游走。

張偉中學就讀于成都七中，惲之瑋在常州高級中學，他們都是數(shù)學奧賽冬令營成員，但張偉沒有進國家集訓隊。進了大學，張偉通過一道除惲之瑋之外無人能解的數(shù)學題，認識了他。惲之瑋“竟然沒有半點得意之色”，讓張偉覺得“掃地僧”可以不完整地刻畫他。去年，惲之瑋從紐黑文的耶魯大學轉(zhuǎn)來麻省理工，他們又成為一棟樓里的同事。

同一層樓還有一個辦公室，門外貼著“許晨陽”的名字，離張偉的辦公室很近。這個名字貼就像在等待許晨陽今年秋天到來。他現(xiàn)在還在北大國際數(shù)學研究中心任職，目前在巴黎龐加萊研究所做講席教授。許晨陽1999年進入北大數(shù)學系，比張偉和惲之瑋早一年。因為都是奧賽國家隊隊員，許晨陽和惲之瑋在高中時就認識，一起在北京的清華附中參加過集訓。99級是本碩連讀五年學制，00級是四年本科制，三個人實際上同一年來的美國。

我第一次見到張偉和惲之瑋，是2017年12月在舊金山舉行的科學“突破獎”頒獎儀式上。這是一個2013年由億萬富翁尤里·米爾納和Facebook創(chuàng)始人馬克·扎克伯格等硅谷投資人和企業(yè)家共同設(shè)立的獎項，贊助人包括中國的馬云和劉強東。頒獎典禮在美國國家航空航天局埃姆斯研究中心舉行，在通往主會場的紅地毯上，我見到這兩張年輕的面孔，他們獲得了給青年數(shù)學家的“新視野獎”。

那天兩人穿著挺括的西裝，在好萊塢明星、硅谷企業(yè)家等名流云集的場合，氣場淡定。記者們被安排站在紅毯一側(cè)劃定的采訪區(qū)內(nèi)，嘉賓走過，紛紛探身線外進行群訪。短暫的采訪結(jié)束，他們再往前走，就進入攝影記者守候的拍攝區(qū)，長槍短炮密集的鎂光燈將轟炸一番。如果說尤里·米爾納設(shè)立這個“科學界奧斯卡”獎的初衷之一，是讓數(shù)學家和科學家在社交網(wǎng)絡時代享有與他們的智力貢獻相稱的媒體關(guān)注，我想，他成功實現(xiàn)了。那種場合下，我匆匆問張偉和惲之瑋，學術(shù)圈的人如何看待這個獎項。張偉說：“是一個新穎的模式吧，做一些新嘗試。”惲之瑋接著活潑地回答：“數(shù)學家平時沒有機會穿得這么帥，現(xiàn)在可以穿得帥帥的?！蹦鞘撬麄兘o我留下的最初印象。

頒獎典禮的第二天，有一場在斯坦福大學舉辦的研討會，由“突破獎”的獲獎者們介紹自己的研究。早餐時，一位記者拿出一張求來的“字”給我們看，紙條上用黑色鋼筆寫著一個等式：

等式左側(cè)下面標注了“幾何”，右側(cè)下面標注了“數(shù)論”——這就是張偉和惲之瑋獲得“新視野獎”的那個等式。這個等式的簡潔對不懂數(shù)學的人也有一種審美上的吸引力：等式兩邊的量都有各自確定的定義，是在不同領(lǐng)域以不同方式定義的量;等號像一座橋，把這兩個量聯(lián)系起來，且明確它們是相等的。惲之瑋向這位記者解釋，這個等式連接了數(shù)論和幾何的兩個量，幾何一邊和代數(shù)幾何中的霍奇猜想有關(guān)，數(shù)論一邊和黎曼假設(shè)中的黎曼Zeta函數(shù)有關(guān)，“這個等式本身可以看作是在BSD猜想框架下的一些拓展”。

2000年，也就是惲之瑋、張偉和袁新意通過數(shù)學奧賽從各自的中學保送到北大數(shù)學系那一年，美國克萊數(shù)學研究所列出了七個數(shù)學上的“千禧難題”，它們是：P（確定性多項式算法）對NP（非確定性多項式算法），霍奇猜想，黎曼假設(shè)，楊-米爾斯理論存在性和質(zhì)量缺口，納維葉-斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性與光滑性，以及貝赫（Birch）和斯維訥通-戴爾（Swinnerton-Dyer）猜想（BSD猜想）?？巳R數(shù)學研究所董事會為此建立了700萬美元的獎勵基金，每個問題的解決可獲得100萬美元——雖然吸引世界一流數(shù)學家們的，不是百萬美元，而是難以企及的智力挑戰(zhàn)。張偉和惲之瑋的等式，與最后這個BSD猜想有關(guān)，而BSD猜想又與朗蘭茲綱領(lǐng)密切相連。

麻省理工學院數(shù)學系的學生結(jié)束了一場討論課，那天討論的問題是丟番圖方程的另一種解法

那天在斯坦福的研討會結(jié)束后，惲之瑋和張偉一起從研討會的場地走到下一個對話式論壇的大廳。兩人都拎著行李箱，論壇結(jié)束后準備奔赴機場，參加另一場學術(shù)會議。我那時對他們所做的研究還很無知。十來分鐘的轉(zhuǎn)場間，我問他們是否在大學里就是同一個研究方向，從本科就開始一起做研究？他們說不是，也是在偶然的機會下，兩個人的研究發(fā)生了交集，才開始了合作，“一個從數(shù)論，一個從代數(shù)幾何，兩種不同路徑各自切入，來解決同一個數(shù)學問題”。那次短暫的對話，張偉告訴我，他們的等式并沒有最終解決BSD猜想，但“實際上我們自己創(chuàng)造了一些新的問題，它們還挺有意思的”。我問，他們是否還是想解決大問題或世紀難題，“就像張益唐那樣？”張偉說，他們這一代數(shù)學家跟張益唐那一代人不同，“并不是一定要去解決一個數(shù)學上的大問題，解決不了，路上也有很多風景;一個問題暫時解決不了，還可以先去解決別的問題”。張偉打比方說他的研究，最初是沖著解決BSD猜想去的，但“就像從成都到北京的旅行途中，我發(fā)現(xiàn)了上海，覺得上海也挺不錯，就待下來了，也很好。上海與北京之間有沒有路還不知道，但不一定要去北京了，哪怕回成都也很好”。他說這段話的含義我當時并不完全清楚，只聽出其中有點“隨遇而安”的意味，不刻意追求解決大問題的目標。

再次見，在麻省理工。張偉的辦公室?guī)缀蹩諢o一物，他平時不愛待在辦公室里。辦公桌上只散落著兩支圓珠筆，黑板上卻寫滿了符號和公式，仿佛這個空間里除了數(shù)學討論，什么別的活動都沒有發(fā)生過。他也講述了2014年冬天在加州伯克利與惲之瑋、袁新意的那次會面，也就是他們的研究“發(fā)生交集”，并最終產(chǎn)生了前面那個等式的“偶然”時刻。

麻省理工學院教授張偉在他的辦公室里

惲之瑋當時正在伯克利參加數(shù)學科學研究所（MSRI）關(guān)于幾何方法與數(shù)論的一個學期活動，張偉則去參加數(shù)學家邁克爾·哈里斯（Michael Howard Harris）的60歲生日會議，在會議上給一個報告。對朗蘭茲綱領(lǐng)，張偉、惲之瑋和袁新意在各自的領(lǐng)域都已研究多年，也有過一些非正式的討論。張偉和袁新意之前思考過Gan-Gross-Prasad的問題，惲之瑋則在做幾何朗蘭茲綱領(lǐng)算術(shù)基本引理方面的研究。張偉說，因為之前有一些先例，特別是數(shù)學家吳寶珠用函子性猜想解決了朗蘭茲綱領(lǐng)的幾何基本引理，受到他的啟發(fā)，“我們也想做這種轉(zhuǎn)化，看能不能用幾何工具來解決算術(shù)問題”。一開始出發(fā)點“其實比較低”，“想法很簡單，只是想把數(shù)域上的問題轉(zhuǎn)化到函數(shù)域（幾何性）上，就可以用幾何工具來解決算術(shù)基本引理”。

生日會結(jié)束后，他們一起去袁新意家吃晚飯。張偉向惲之瑋講起之前他在研究中的一些意外發(fā)現(xiàn)，“函數(shù)域上有很多新的現(xiàn)象，實際上在數(shù)域上是不存在的”。惲之瑋在之前的工作中也在考慮函數(shù)域上的基本情形，也有一些新的想法。一說出來，“我們發(fā)現(xiàn)L函數(shù)的高階導數(shù)有幾何意義，這是函數(shù)域上特有的現(xiàn)象”。就在這個點上，他們剎那間獲得了一種前所未有的視角。那天，飯間飯后他們一直在繼續(xù)討論這個問題。對于數(shù)學中那些富有創(chuàng)造性的時刻，要不要相信那些意外發(fā)現(xiàn)的新現(xiàn)象是對的，是一個特別關(guān)鍵的問題。就像一腳踏入無人之境，舉目四望，全然是與那一刻之前所到之處都不再相同的荒原。這是一個真實的地方嗎？如何給它命名？前方有路嗎？能走到哪兒？如果說腳下所站之處是通往新方向的起點，那么這個時間上的“開始”是否存在？這些問題都會隨之浮現(xiàn)出來。張偉說他當時一直在不停想，“這是不是一個幻覺”，“是不是我們倆搞錯了？”吃驚，難以置信，怕所見不過是海市蜃樓般的幻象——站在一片未曾有人涉足過的風景前，沒有任何已知情形，地圖上從沒有標識，他和惲之瑋不斷討論的是，眼前所見是否是真實的存在？倘若邁步出去，會不會發(fā)現(xiàn)前面的路表面之下其實是空的？四年后，張偉回憶他們第一次意識到“高階導數(shù)的情形在數(shù)域上不存在”時的感受，“不可思議的第一眼”所帶來的驚奇體驗依舊清晰。

麻省理工學院數(shù)學系第四層走廊里的一個討論和休息空間

在袁新意家的討論之前，他們對這些函數(shù)域上的新現(xiàn)象到底對不對，還不夠確定。那天的飯桌上還有一些灣區(qū)聚過來的朋友，晚飯時沒討論完，飯后袁新意開車送他們，先到惲之瑋住的地方，一路繼續(xù)討論。到了住地，袁新意把車停下來，又在車上繼續(xù)討論了很久。第二天又接著討論，袁新意在伯克利找了個有黑板的教室讓他們可以計算。張偉說，此后幾天開會的空隙期間全部都在討論這個問題了，以至于那個會議開的是什么，別人做了什么報告，自己全然已不記得，只把自己要給的報告做了，“其他很多報告都曠掉了”。幾天討論下來，“幾乎已確定不是一個幻覺”。

解除“幻覺”，是因為回頭看，張偉之前的一些具體運算已指向了這個方向，惲之瑋對基本引理函數(shù)域情形的研究也指向這個方向，兩人都一直在從不同的路徑往這個方向走。只是兩人都沒有意識到，會在伯克利這個時刻，出現(xiàn)一個沒有人提到過的交叉口，它面向新的風景。

惲之瑋說，對這個方向上可能存在著某個地方的想象，可以追溯到2009年，但最后把要證什么問題敘述出來，是在伯克利的那天，“張偉得到了一個關(guān)鍵性的敘述，第一次明確了要證什么”。確認的過程小心翼翼，如履薄冰，在幾天里回溯了兩人多年各自所做的跋涉。BSD猜想說的是“高階導數(shù)，但它說的是泰勒展開的第一項”，這是一個還未被最終證明的猜想。但即使假設(shè)BSD猜想是對的，“這個領(lǐng)域里也沒有任何猜想指向‘泰勒展開后的每一項都有幾何意義”。在那幾天里，他們確認了這種新的可能性。對L函數(shù)特殊值的研究已經(jīng)進行了200多年，黎曼研究了L函數(shù)的特殊值（零點），BSD猜想則研究L函數(shù)和幾何量之間的聯(lián)系，揭示了泰勒展開第一項的意義?！皵?shù)學世界里有很多條源流，我們正是從這一條數(shù)學的河流順流而下，發(fā)現(xiàn)了一些新的現(xiàn)象。”

對張偉來說，“靈光乍現(xiàn)”的時刻就是在袁新意家里的那次討論，“那是決定性的”。那種興奮的狀態(tài)持續(xù)了好幾天，之后便歸于平靜，各自著手寫論文了。2015年5月，大的難關(guān)已經(jīng)過去，卡在了最后一步。惲之瑋去瑞士訪問，所坐的火車在伯爾尼的玫瑰園停留了兩個小時，他坐在花園里，想了一個多小時。一個月后，他用數(shù)學競賽時所受到的“游擊隊式”的訓練，“不限工具、方法，爆炸也行，只要能把盒子打開”，最終做了出來。最后的論文引言分為兩個部分：一個是Gan-Gross-Prasad猜想，就是數(shù)域上零階導數(shù)的情形;一個是高階導數(shù)的幾何意義，這是函數(shù)域上特有的現(xiàn)象。

在斯坦福那一次，為了讓人理解，張偉將他們的研究所到達的地方象征性地命名為“上海”。那里不一定會有通往BSD猜想最終證明（“北京”）的路，但張偉看到了新的綠洲。“我們雖然證明了這個定理，但并不知道能否在函數(shù)域的情形上提出精確的猜想，也不知道怎么提猜想”?！皵?shù)域高階導數(shù)上的幾何意義，目前雖然沒有，但這是不是我們的知識局限性使得我們未能發(fā)現(xiàn)它？什么樣的幾何才能在數(shù)域情形上解釋高階導數(shù)？”這是個新的方向，“目前還沒有本質(zhì)上的知識更新”?！吧虾！庇谑浅闪艘粋€可以繁衍生息的地方。

這個等式證明后，就像穿過了一條真實的細長峽谷，更廣闊的新風景在眼前展開。

那聲音召喚的時候

惲之瑋習慣走樓梯去他在頂樓的辦公室。麻省理工數(shù)學系的樓梯中庭有個金屬雕塑模型，像DNA那樣螺旋上升，一直攀升到樓頂，上面點綴著一些金屬圓球，大概是粒子。這是個引人注意的抽象作品。周六那天采訪結(jié)束，我們跟他一起下樓，便問他這是什么。他打量了一下，就像第一次注意到它一樣，思索幾秒鐘，回答說他也不知道。穿過長廊，從數(shù)學系的正門出去，再走一段路到停車場，惲之瑋找到他那輛銀色的舊豐田。車后座中間有一張嬰兒椅，地毯上有一些未來得及清理的餅干屑;他的兒子今年5歲，在離哈佛很近的一所小學上學，女兒即將出生。

他去波士頓藝術(shù)館接太太和兒子，順路捎我們過去。他不太熟悉路。為了保持專注，他不用智能手機，一直用的是諾基亞直板，導航儀暫時也不在車里，我們用手機上的谷歌地圖導了個航。以終身教授的身份來麻省理工之前，惲之瑋曾在波士頓待過兩年，這所大學也是他讀博士后的地方。但那兩年的時間顯然并未增進他對波士頓其他方面的了解。他說，除了去中國城吃中餐，他主要是在劍橋的麻省理工與哈佛一帶“稍微走走”。最常從事的活動，就是和許晨陽在查爾斯河邊跑步，從麻省理工出發(fā)，跑過一座橋，再繞回來。波士頓對他來說，是一個數(shù)學中心，一座“很多數(shù)學家的職業(yè)生涯都或多或少與它有交集”的城市。他地圖上的波士頓，大學密集，討論班、會議也很多，數(shù)學氛圍濃厚。除此以外，他并不以別的方式與它發(fā)生聯(lián)系。

這讓我想起，袁新意從北大初到紐約時的感受。他說，最鮮明的印象是高樓大廈，尤其是站在紐約時代廣場，置身無數(shù)光怪陸離的廣告牌中，感到很繁華。我問，這種國際大都會的景象有沒有對他的內(nèi)心產(chǎn)生什么沖擊。他好像第一次意識到這個問題的存在，在記憶里搜尋了一下，回答說：“沒有任何想法，看一看也就忘了?！备鐐惐葋喆髮W在紐約的曼哈頓，袁新意租住的哥大房子就在校園外，百老匯大街附近，他每天步行去學校。他在百老匯劇院聚集的街區(qū)步行了五年，在我的提示下，他仔細回憶，想起來看過兩場歌劇表演，其中一場還能記得起名字，叫《歌劇魅影》。

麻省理工學院的教學大樓

袁新意的記憶力其實驚人。他在北大的同班同學說自己一直都能清晰地記住一件事：大三時學不懂實變函數(shù)，去向“老袁”請教;大二就已考完了這門課的袁新意告訴他，這是教材后的第幾道習題，編號準確無誤。也許是在費力回憶紐約印象的過程中，袁新意發(fā)現(xiàn)自己不假思索的生活有另外一面，自嘲說：“我一直木訥，興趣也不廣泛，除了愛好運動?！鄙硖幗鹑谥行模瑢σ粋€數(shù)學才能卓越的人來說，誘惑時時刻刻就在門外。袁新意有時會收到獵頭郵件，身邊的一些師兄師姐讀完博士也去了華爾街，但他對外部世界有一種與生俱來的鈍感。他說，在紐約時，他最喜歡的地方是學校附近的河畔公園，愛去那里散步。這不是他抵制誘惑之后的選擇，而出自他質(zhì)樸的本能。

真正向袁新意撲面而來的，是紐約數(shù)學圈的樂觀氛圍?！霸趪鴥?nèi)的時候，有一種悲觀的氣氛，前輩常說做數(shù)學非常難，很艱苦。”但哥倫比亞的數(shù)學圈非常樂觀，“一到紐約，就覺得做數(shù)學不是很難。最好的數(shù)學家就在身邊，他們有完全不同的精神面貌”。如果說在北大還有過短暫的猶疑，一到美國，他就確定下來要做數(shù)學家。經(jīng)濟問題如影隨形，但一直不是個事兒，“我出身貧寒，父母都是農(nóng)民，反而不在意賺多少錢，再怎么也不會窮到哪里去，總比以前好”。直到2009年他有了孩子，錢才第一次成為一道需要考慮的選擇題：他從未考慮在數(shù)學和其他職業(yè)間做選擇，那么能選擇的只能是何種生活方式;這需要家人同步。

數(shù)學以某種方式召喚著它的信徒。在北大，00級數(shù)學系的袁新意、惲之瑋、張偉、朱歆文，這幾個后來的數(shù)學家都沒有參加社團活動，也不怎么主動與人交流。惲之瑋、朱歆文他們和99級數(shù)學系的師兄許晨陽和劉若川組成了一個數(shù)學圈子，經(jīng)常在一起討論問題，游離于校園生活之外。早在高中數(shù)學奧賽集訓隊的時候，他們其實就都見過或認識了。

許晨陽和好友劉若川搬出了28樓各自的宿舍，在校外的志新橋附近合租一個兩居室，以便不受干擾地鉆研數(shù)學。張偉在40樓206室的宿舍白天很安靜，上課的上課，睡覺的睡覺，一到晚上就熱鬧起來：沉醉于《星際爭霸》或《文明》游戲的，把宿舍門框用來模擬練習攀巖的，24小時不離電腦狂熱編程的。他讀到英國數(shù)學家G.H.哈代寫的《一個數(shù)學家的自白》，被書里一段話所吸引。那段話說：“一個人要是能成為數(shù)學家，根本不應該猶豫。因為通常情況下，一個人能精通一件事就不錯了（精通不止一件事的人可以忽略不計），更何況數(shù)學研究是令人尊重，能極大滿足人的求知欲，同時令人雄心萬丈的職業(yè)?！痹?0樓被拆掉的第四年，隔壁204室的袁新意去了美國，張偉他們搬進了39樓。他和在奧賽時就早已認識的朱歆文依舊在食堂慢悠悠地吃飯，未預料到去美國后，數(shù)學家群體的吃飯速度將再也無法讓他們沒有時間壓力地進食。朱歆文說自己大三、大四的時候主要以學為主，研究還無從談起，他總感到?jīng)]有真正得要領(lǐng)，背后隱秘的、根本性的東西隱隱約約吸引著他，又還看不清。惲之瑋度過了很快樂的時光，那是他還不需要操心任何生活事務，可以把全部時間用來深度探尋數(shù)學的時光，他別無所求，將所有的熱情都用來讀數(shù)學書、想數(shù)學問題。

麻省理工學院數(shù)學系第四層走廊的休息空間

這幾個人成了志同道合的朋友。他們常聚在一起吃飯，聊數(shù)學，自發(fā)組織討論班。世紀之交，中國在數(shù)學世界已不再邊緣，特別在微分幾何、數(shù)學分析領(lǐng)域，受到丘成桐、陳省身這些頂級數(shù)學家的影響，多年來處于中心地位，幾何學家一直引領(lǐng)潮流。但在數(shù)論和代數(shù)幾何領(lǐng)域，“北大還處于起步階段”。也許是機緣巧合，99級與00級數(shù)學最好的這幾個人，都對數(shù)論和代數(shù)幾何感興趣。廣泛接觸數(shù)學的全貌后，他們對自己思維方式的傾向性逐漸有了認識。

惲之瑋大三的時候，曾跟做拓撲學的姜伯駒院士做過一些科研，然后參加王詩宬院士的討論班，他們的方向很接近，都是做扭結(jié)理論。那時許晨陽研一，也在那個討論班，他們經(jīng)常見面。兩個人都發(fā)現(xiàn)，這個方向不是特別適合自己，空間想象能力不夠，而97級的倪億在這方面非常有天賦，兩人遂排除了干這行的可能。袁新意對數(shù)論的興趣，則從他中學做奧賽時就開始了。即使奧賽做的是初等數(shù)論，他也從中發(fā)現(xiàn)了關(guān)聯(lián)、前因后果，“像一個完整的敘事”，這套系統(tǒng)的理論很吸引他。

在當時的北大，做數(shù)論和代數(shù)幾何方向并不是一件可以輕松從教學體系借力的事。他們幾個人采取了一起自學的方式。他們有計劃地用一段時間共同閱讀了《代數(shù)幾何原理》，學校沒有開這門課，也沒有老師教，書很厚，是英文的，他們合作把這本書學了下來。他們還自發(fā)組織閱讀了克萊茵的《正十二面體》。這種形式對他們來說其實并不陌生：早在奧賽冬令營和集訓隊的時候，他們就以這種方式自己找題，和隊友相互出題，一起交流解題方法了。許晨陽、朱歆文和張偉分別來自成都的三所名校，但那時成都的奧賽水平在全國來說很一般，進冬令營之前，他們?nèi)ニ拇ㄅ碇葜袑W訓練了一段時間。惲之瑋所在的常州高級中學，也不是奧賽的傳統(tǒng)強校，沒有準備奧賽的大綱和教材，主要靠自學和相互切磋。劉若川所在的東北育才和袁新意所在的黃岡中學，那時在奧賽水平上全國領(lǐng)先，有系統(tǒng)的培訓內(nèi)容，但主要形式仍是自學和相互討論。集訓隊里令人羨慕的是后來進入01級物理系的肖梁，他在人大附中時有很多聽講座的機會。但無論如何，最后在集訓隊里成績出類拔萃的人，都是自學出來的。

跨過界河的人

大學四年里，數(shù)學系成績的分化發(fā)生在大二、大三，很多人的成績從90多分逐漸下滑到80多分，再滑到70多分。對數(shù)學系的很多人來說，這是一件特別自然發(fā)生的事情。00級數(shù)學系后來做了數(shù)學培訓老師的郭化楠說，平時學習中的點點滴滴，讓人對這種“后來看起來有階段性退化的事特別習以為?！?。大二上學期結(jié)束，數(shù)學系要分班分方向，每個系的老師代表上去介紹各自的方向。金融方向的人一貫過于火爆，老師話語里是往外推人;選工程計算的人通常較少，老師言語間都是拽人。唯有基礎(chǔ)分析的老師說，學基礎(chǔ)數(shù)學的人“腦子里都有一種物理結(jié)構(gòu)”，存在這種結(jié)構(gòu)的人才來選基礎(chǔ)數(shù)學。從大一到大二，數(shù)學的時間飛快地從古代跳躍到18、19世紀，又飛快地從18、19世紀跨入現(xiàn)代。這幾個人的大腦以各自不同的方式加速，穿越了那條橫亙在初等與高等數(shù)學、古典與現(xiàn)代數(shù)學、計算與高度抽象之間的河流。

袁新意一開始對抽象代數(shù)有點不適應，但他很快發(fā)現(xiàn)了“法則”的存在?！耙坏┌阉胂蟪梢粋€法則，像一套游戲規(guī)則，在規(guī)則上構(gòu)建一個體系，就理解了?！彼矎募夹g(shù)性的解題轉(zhuǎn)變?yōu)閷λ枷胄缘淖非?，更多地讀數(shù)學家寫的書，而不是教材。

惲之瑋很習慣，高中時他看到的是“一些孤立的數(shù)學問題，就像海面上散落的島嶼”，進入大學，“海水下降，你看到原來這些島都是通過海床連在一起的，只是一個整體的局部而已”，而把“島嶼”聯(lián)成整體的“海床”，就是“從定義到定理的這種形式化方式”。他對這種形式化的東西很敏感，能夠迅速適應把問題放到一個適當?shù)目蚣芾?，用適當?shù)恼Z言來描述它。他發(fā)現(xiàn)了“語言”：現(xiàn)代數(shù)學重要的是發(fā)展合適的語言來談論它，“一個看似重新命名的過程，將推進下一步的研究”。比如，代數(shù)里“群”的概念，就概括了所有的對稱性，“一個圓盤能旋轉(zhuǎn);一個正三角形旋轉(zhuǎn)60度或120度，就可以回到它自己。這些群的例子，人們古代就已經(jīng)知道，但直到19世紀末，才真正把這個概念抽象出來”。 大學里，惲之瑋的數(shù)學專業(yè)課幾乎全是滿分，但真正的數(shù)學對他來講已遠不止于此。

張偉一接觸到數(shù)學分析，就被數(shù)學里“極限”“收斂性”“無窮小性”這些觀點深深吸引，清晰地意識到正從18世紀以前的同余、歐式幾何，跳躍進19世紀，“語言詞匯迅速擴大，數(shù)學對象拓展了很多”，他感到自己“從一個精致漂亮的小花園，進入到了一個大植物園里，非常興奮”。

朱歆文大一時的校園生活還很豐富，當他大二、大三越來越專注于數(shù)學時，他就自然而然不再與外部世界互動了。他發(fā)現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)”，不過他自己那時還在“囫圇吞棗”，驀然回首，那時常常聊的高斯、黎曼和格羅滕迪克這樣的“大人物”，如今愈加明白，“仿佛來自虛空”，難以企及。

對惲之瑋來說，數(shù)學很早就是“一件很個人的事”，他們按照自己的品味選擇問題，就像作家和畫家選擇創(chuàng)作主題和語言風格一樣。數(shù)學的語言和知識在他們各自的腦子里按每個人的特點排列組合，即使日后走向了不同的研究方向，哪怕相距甚遠，也可以相互理解對方，并在這種差異化的排列組合中發(fā)現(xiàn)新的秩序。

這些各自向內(nèi)心探求、喜歡獨處，看上去從不主動與人交流的人，結(jié)成了一個基于欣賞和信任的群體——用許晨陽的話說，數(shù)學家傾向于過古希臘哲學家的生活方式，適應在一個智識上“少數(shù)人的小圈子”里交流。跨過那條界河，數(shù)學世界的風景變得遼闊，卻也更險象叢生。他們一到美國，就將意識到已在看不到邊際的大海里游泳，在容易迷路的熱帶雨林里穿行，未知新世界誘惑著好奇心，把風險作為籌碼交換自由。多年后回頭看，這個“小圈子”里的相互激勵和啟發(fā)，讓他們?nèi)蘸蟮臄?shù)學之路顯得更順理成章。畢竟，數(shù)學研究充滿著不確定性，提不出有創(chuàng)造性的真問題，或問題做不出來，都如達摩克利斯之劍懸在頭頂，時刻可能終結(jié)作為職業(yè)數(shù)學家的生涯。但若跋涉于荒野，雖舉目不見人，卻有正與人同行的默契，不孤獨，也就多了幾分勇氣。

純數(shù)學家對絕對主義有天生的偏好，這讓他們有一種單純的心性。數(shù)學有清晰明確和被人公認的標準，對就是對，錯就是錯。惲之瑋說，這一點是他追隨數(shù)學的重要原因，他無法接受模棱兩可的答案，也不能接受做隨機選擇的策略。他不擅長下棋，這種每一步都有太多選擇的思維活動，與他靈活運用的排除法的智慧相悖。惲之瑋“像一臺雙核1.4G的精密儀器”，連他留在普林斯頓辦公室里的草稿紙都寫得一絲不茍，摞得整整齊齊，后面來的人以為是寫好的論文，一直留在桌上。生活里的無序、日常的繁亂、有人不守時、孩子無紀律，這些對他來說，大多數(shù)時候是不得不忍受的。

與惲之瑋相比，其他幾個人似乎只把絕對主義留在了抽象世界里。許晨陽的辦公室桌子亂糟糟的，他對美食的嗅覺也很敏銳，見多識廣善交際，是喜歡獨處的劉若川的“信息樞紐”。朱歆文和張偉興趣廣泛，也愛玩，冬令營在一起時就愛搞惡作劇，聚在一起有時徹夜打牌，朱歆文還業(yè)余下了很多年的棋。袁新意熱愛籃球、足球和多項運動，這讓他不懂數(shù)學的太太覺得他在生活里是個挺正常的人。但在與數(shù)學20多年的相處中，數(shù)學召喚著他們傾聽自然深處的聲音，這聲音很早就占據(jù)了他們的頭腦與心靈，讓他們異乎尋常地專注，外部世界似乎未在他們身上留下什么痕跡。用朱歆文的話說，與近20年前初次認識時相比，“本質(zhì)沒有變化”。

在“新視野獎”的獲獎詞里，惲之瑋寫道，他覺得自己“就像生活在童話里”。他告訴我，“童話”的意思是，可以把數(shù)學當作一個安身立命的職業(yè)，“僅僅做熱愛的事，對社會的回報還看不見摸不著，就可以過雖不富裕，但也衣食無憂的生活，這似乎有悖經(jīng)濟規(guī)律”。如果說對藝術(shù)家而言，是否能用藝術(shù)創(chuàng)作維持生計的問題不完全取決于他的藝術(shù)，也沒有什么作品可以一勞永逸地保障藝術(shù)家的榮譽，那么對數(shù)學家而言，幸運的是，數(shù)學的創(chuàng)造總能得到公平的評價。

惲之瑋做過一個反復出現(xiàn)的夢。拿國際奧賽金牌時他上高二，按照慣例，他本應在高三時再為學校出征下一屆奧賽。但他申請?zhí)崆爱厴I(yè)，早一年去北大報到，學校比較開明，放了人。手續(xù)稍微復雜一點，2000年秋天北大開學時，他到校得晚了一些。那一年，他經(jīng)常夢見國家隊召喚他回去參加國際奧賽，他回去了，在賽場上，面對競賽題，卻一道也做不出來。他說，這是他潛意識里焦慮和不自信的投射。這讓我想起《一個數(shù)學家的自白》這本書里，寫到過羅素做的一個噩夢?！八麎粢娮约涸趧虼髮W圖書館的頂樓上，時間大約是2100年，一個管理員手拿著一個巨桶來回穿梭于書架之間，取下一本又一本的書，瞥一眼，把它們或者重新放回書架，或者丟到桶里。最后他走到了三大卷《數(shù)學原理》的孤本跟前，羅素認出那是他的書。那位管理員拿下其中的一冊，翻了幾頁，似乎被那些稀奇古怪的符號困惑了一陣子，然后合上書本，在手里掂量著，猶豫著……”即使是聽到過數(shù)學召喚的聲音的人，也害怕被數(shù)學拋棄和面對時間的失敗。

新世界的激情

2004年的北大畢業(yè)季和任何一個畢業(yè)季沒有什么不同。留在張偉記憶里的，是飯局，西門雞翅、啤酒、K歌，校園里的喊鬧，離愁別緒，對新開端的向往。大概是被各種情緒慫恿，那一級不知道是誰，趁著天黑砸了校園內(nèi)餐館的玻璃。惲之瑋和劉若川、01級物理系的肖梁、00級數(shù)學系的李馳，用跑步來紀念即將離開北京。他們從北大西門一直跑到建國門，劉若川騎著自行車一路隨行。朱歆文、許晨陽、劉若川和惲之瑋互贈了禮物。朱歆文還記得送給惲之瑋了一本《圣經(jīng)》，自己則不知從誰那兒收到了一張黑膠唱片。

加州理工學院教授朱歆文在他的臨時辦公室，數(shù)學系大樓正在裝修中

在北大的相聚，讓他們從數(shù)學上成為志同道合的摯友。惲之瑋、朱歆文經(jīng)常與許晨陽、劉若川見面，聚在一起吃飯、聊數(shù)學。許晨陽說，他們開始談論“整體的數(shù)學”，那些他們都還不懂的數(shù)學理論和前沿方向，以及數(shù)學界的信息;哪些數(shù)學家獲獎了，也會去看一下他做的工作。許晨陽那時喜歡在圖書館里讀一本關(guān)于數(shù)學歷史的雜志，叫《數(shù)學意林》，有很多大數(shù)學家的訪談錄，講他們的數(shù)學探索，看了后就講來聽。惲之瑋說，那時他看到了數(shù)學的豐富和寬廣，“路是越走越寬的，不會一輩子鉆入死胡同里”?，F(xiàn)在回過頭看，當時所知道的“前沿”，其實已是現(xiàn)代數(shù)論和代數(shù)幾何三四十年前就廣為人知的東西，至于像“類域論”這種第一次聽說、不知何意的名詞，那都是100年前的事情了。他們對這些領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識還不了解，北大也沒有開這方面的課程，但遙遠的風景已讓他們“莫名其妙地神往”。

惲之瑋和朱歆文讀大四時，也是許晨陽和劉若川研究生的最后一年。他們自發(fā)組成一個討論班，一起讀《代數(shù)幾何原理》這樣的書，每周一兩次碰頭，每次在吃完晚飯后，分章節(jié)每人講一部分，討論1～2個小時。最開始他們在40樓聚集，40樓推倒后他們又在39樓聚集，最后常去的地點是老舊的第四教學樓，在那里可以找個無人的教室討論。有一次樓里突然熄燈了，正在講的許晨陽并沒有停下來，在黑暗中連續(xù)又講了十幾分鐘，直到燈重新亮起來。這黑暗中的十幾分鐘清晰地留在他們記憶中，是那段不知疲倦學習的歲月里，一個昂揚的激情時刻。

加州理工學院的校園內(nèi)

他們都不約而同地接觸到朗蘭茲綱領(lǐng)，一項影響深遠的數(shù)學工程。1967年，在給數(shù)學家安德魯·懷爾斯的信中，加拿大數(shù)學家羅伯特·朗蘭茲提出一個猜想，“朗蘭茲互反猜想”，這個猜想后來演變成朗蘭茲綱領(lǐng)。朗蘭茲綱領(lǐng)指出，三個相對獨立發(fā)展起來的數(shù)學分支——數(shù)論、代數(shù)幾何和群表示論，實際上相互間有深刻聯(lián)系，而連接這些數(shù)學分支的紐帶是一些特別的函數(shù)，被稱為“L函數(shù)”，它是朗蘭茲綱領(lǐng)的中心研究對象。1994年，數(shù)學家安德魯·懷爾斯證明了費馬大定理。他在費馬大定理的證明中用到了朗蘭茲綱領(lǐng)里的思想，讓人得以領(lǐng)略朗蘭茲綱領(lǐng)所描繪的新世界風景是如此美麗壯闊：它將用一種全新的方式去理解數(shù)學和幾何。費馬大定理的證明也導致了谷山―志村猜想的解決。谷山―志村定理揭示了橢圓曲線與模形式之間的關(guān)系，前者是具有算術(shù)性質(zhì)的幾何對象，后者是數(shù)學分析領(lǐng)域的高度周期性的函數(shù)，它的解決是朗蘭茲綱領(lǐng)的一個重大突破。一個大的進展，證明過程的中間結(jié)果可以解決很多問題，這個領(lǐng)域吸引來很多年輕的數(shù)學家，變得活躍。與此同時活躍的領(lǐng)域，還有BSD猜想和龐加萊猜想。

北大數(shù)學系當時是年輕的老師楊磊教數(shù)學分析，每個星期兩次課，外加兩個小時習題課。題做完之后，他就開始聊數(shù)學歷史，包括正活躍的朗蘭茲綱領(lǐng)。他數(shù)學思想獨立，不受體系影響，喜歡談大數(shù)學家，比如格羅滕迪克、安德魯·懷爾斯、皮埃爾·德利涅這些人，他的激情對這幾個數(shù)學好的學生影響很大。到了高年級，高峽老師在課上講的一些跡公式模型，就已經(jīng)是朗蘭茲綱領(lǐng)里面的東西了。那時，與安德魯·懷爾斯合作證明了谷山-志村定理的布萊恩·康拉德（Brian Conrad）也來北大講過課。2003年的暑假，張偉和惲之瑋都參加了浙江大學數(shù)學中心普及朗蘭茲綱領(lǐng)的暑期學校。來講課的人包括證明局部朗蘭茲猜想的法國數(shù)學家亨尼爾特（Guy Henniart），普林斯頓大學的斯金納（Christoph Skinner），與康拉德、懷爾斯合作證明谷山-志村定理的布魯威爾（Christophe Bruiel）等。那個夏天，杭州持續(xù)高溫，暑期課程持續(xù)了好幾個星期，每天內(nèi)容都是滿的。他們抽空去了紹興游覽，在咸亨酒店喝了黃酒吃了茴香豆，還去了一趟蘭亭，惲之瑋對王羲之的《蘭亭序》情有獨鐘。

其他幾個人也都在大學里與朗蘭茲綱領(lǐng)產(chǎn)生了交集。袁新意在大三做畢業(yè)論文時，閱讀了數(shù)學家約翰·泰特（John Tate）的博士論文，是數(shù)論里朗蘭茲綱領(lǐng)的開端和出發(fā)點。回過頭看，朱歆文說，在他們進大學的時候，數(shù)學經(jīng)過20世紀60年代之后的專業(yè)細分，已經(jīng)開始了聯(lián)系和統(tǒng)一的趨勢。只是每個數(shù)學家跨越進現(xiàn)代數(shù)學后，還要在專業(yè)化的歷史里跋涉很久，才能到達朗蘭茲綱領(lǐng)就已提出的“用一個領(lǐng)域的工具解決另一個領(lǐng)域的問題”的地界。

到了美國，許晨陽和惲之瑋都在普林斯頓，97級的倪億也在那里。3年后，00級的李馳在北大數(shù)學系讀完研究生院后，也將前往匯合。許晨陽和惲之瑋繼續(xù)一起吃飯，打籃球，考駕照，住學校的公寓。他們大部分時間都待在數(shù)學系里，要么就是在圖書館，熬夜到一兩點。普林斯頓圖書館藏書豐富，許晨陽愛看西方哲學，惲之瑋則喜歡古典明清小說，還在許晨陽的影響下開始看金庸武俠。剛到不久的10月，他們見到仰慕已久的比利時數(shù)學家皮埃爾·德利涅（Vicomte Pierre René Deligne），與格羅滕迪克有過交集的人物。在高等研究院的食堂里，數(shù)學家們都坐在一個長桌上，其中一位數(shù)學家問了德利涅一個問題。德利涅聽了后，一言不發(fā)，只是繼續(xù)邊吃邊想，沉默了5分鐘，然后回答說“不知道”。惲之瑋說，沉默經(jīng)常是德利涅談話的方式，在那5分鐘里，他的思維大概已經(jīng)歷了普通大腦幾年的時間。許晨陽則記得，他們問了很多如今看來很簡單很傻的問題，但德利涅都詳盡地做了回答。2016年，惲之瑋去普林斯頓，在代數(shù)幾何討論班上講他與張偉合作的那個問題。剛要走進數(shù)學系大樓，72歲的德利涅騎著自行車來了，問惲之瑋討論班的教室怎么走。那兩天的報告德利涅都來聽，這對年輕人來說是莫大的鼓勵。

博士生所看到的數(shù)學又是另一番風景，這時它已經(jīng)邁入當代的門檻。朗蘭茲綱領(lǐng)就像“有人告訴你地球內(nèi)部有一個很深的洞，里面埋了一些東西，好奇心讓人想挖到下面去看個究竟”。于是他們從各自的隧道開始往深處挖洞，這些隧道深幽，漸漸分岔出更細的隧道，與別的隧道相距甚遠，不斷往深處去，可能有一天會與別的隧道打通。這與他們在大學里最喜歡談論的法國數(shù)學家格羅滕迪克的數(shù)學很不同。格羅滕迪克是個人英雄主義的，他無中生有地構(gòu)建出一幢理論大廈，廣泛而完整，是一直被津津樂道的傳奇。許晨陽和惲之瑋曾經(jīng)是帶著這樣的憧憬向風景深處行進的，那是他們“想象中最美好的數(shù)學”。當他們開始讀研究生，卻發(fā)現(xiàn)從上世紀80年代開始，當代數(shù)學呈現(xiàn)的是高度細分和技術(shù)化的景象，與想象中的數(shù)學有些差距。

惲之瑋在普林斯頓的導師羅伯特·麥克弗森（Robert MacPherson）是非常有眼光的數(shù)學家。朗蘭茲綱領(lǐng)前提成立的一個基石是基本引理，數(shù)學家們?yōu)樽C明它努力了近30年。麥克弗森將基本引理翻譯轉(zhuǎn)化為另一個可用許多工具去解決的問題，越南數(shù)學家吳寶珠再在這個基礎(chǔ)上將其從數(shù)論翻譯成代數(shù)幾何問題，最終將其證明。在惲之瑋心中，麥克弗森“有點像廟里的和尚，能給人指點迷津”，每次見他總有一種和“先知”“智者”的對話感。這位導師要求他從小的問題入手，解決幾何表示論領(lǐng)域里的具體代數(shù)幾何問題，然后再從小做到普遍。這對惲之瑋影響很大，改變了他過去追求普遍、漂亮定理的方式，開始采取更現(xiàn)實的方式去做數(shù)學，“也許自然中并不存在想象中那么完美的數(shù)學，也許是時機未到。也許通過具體的努力，可以在未來看到統(tǒng)一的數(shù)學”。

這個時代一些最優(yōu)秀的數(shù)學家，都把看到朗蘭茲綱領(lǐng)所描繪的統(tǒng)一未來視為需要付出幾代人努力才可能出現(xiàn)的景象。比如吳寶珠。2006年到2007年，吳寶珠到普林斯頓高等研究院做了一學期報告，能堅持聽下來的人從最先的10個人，最后只剩下一兩個人，惲之瑋是其中一個。他當時博士三年級，正為如何找到自己的問題而感到痛苦。一進入普林斯頓，他們就像“被扔進大海”，“能否游到岸全靠你自己”。最難的就是獨立找到自己的問題，導師只幫助判斷方向是否有前途——惲之瑋的整個博士階段都在學習找問題。這時他發(fā)現(xiàn)吳寶珠的問題可以與以前學習的表示論聯(lián)系起來，就決定做這個。當時，吳寶珠證明了基本引理的酉群情形，想繼續(xù)證明它的普遍形式，這個階段正是他寫作論文，不停舉行講座解釋自己想法的過程。吳寶珠在2008年5月最終證明了基本引理。在這之前，數(shù)學家們關(guān)于朗蘭茲綱領(lǐng)的研究，都建立在假設(shè)基本引理正確的基礎(chǔ)上;在這之后，所有這些研究成果都得以確立。數(shù)學家們原來都在河對岸工作，等著有人能架好一座橋梁，現(xiàn)在橋梁架好了，每個人的工作都有了意義。惲之瑋目睹了這座橋梁架設(shè)的全過程，“把他的東西全部學下來，做任何東西都是新的”。

向隧道深處走

袁新意到紐約一年后，張偉也來了。之前袁新意在郵件里告訴張偉很多關(guān)于哥倫比亞大學的好處。袁新意在哥大的出色表現(xiàn)，讓他的導師張壽武也欣然接受了張偉。在張壽武眼里，袁新意是一個“很沉穩(wěn)的人，不會輕易對新問題下結(jié)論”，“他要先找很多反例，當找不到反例時，他就把它做出來了”。而張偉想法很多，“給人天馬行空的感覺”，對文學、歷史什么都感興趣。張壽武最初時常提醒張偉，“不能到我辦公室胡說八道，要好好做學問”。而從另一個角度看，以大學同學朱歆文的視角，袁新意和惲之瑋都屬于計算能力和技術(shù)非常強大的人，而張偉直覺很強，經(jīng)常能做一些過度簡化的發(fā)現(xiàn)，經(jīng)常還是對的。

朱歆文那一年去了加州伯克利，遠離東海岸;劉若川到了麻省理工，00級獲國際數(shù)學奧賽金牌的還有吳忠濤，他也去了那里。

在普林斯頓，許晨陽和惲之瑋，剛開始仍像在北大時一樣，討論很多數(shù)學。隨著各自的研究越深，他們的領(lǐng)域和話題也逐漸越離越遠。許晨陽做的代數(shù)幾何，漸漸離數(shù)論更遠一些，離幾何更近一些。惲之瑋所做的幾何表示論，處于代數(shù)幾何、數(shù)論和表示論之間。這個領(lǐng)域當時剛?cè)〉昧撕艽筮M展，狀況很活躍。惲之瑋告訴我，吳寶珠最關(guān)鍵性的突破，是在閱讀1987或1988年一本期刊時受到了啟發(fā)。他本來是想查閱導師拉爾·洛蒙（Gérard Laumon）的文章，在那本期刊中，排在洛蒙文章之后的，恰好是一位英國數(shù)學家關(guān)于楊-米爾斯場論的文章，與數(shù)論完全沒有關(guān)系，和理論物理的關(guān)系更大一些。他閱讀了那篇文章，當時并沒有產(chǎn)生靈感，但若干年后，他卻靠這篇文章取得了突破。吳寶珠發(fā)展的這套工具，可以用來解決基本引理剩下的其他問題。惲之瑋開始了漫長的探索，到博士第四年時，發(fā)現(xiàn)可以與表示論中的一些問題結(jié)合起來，產(chǎn)生一些新的結(jié)果。他說，這些問題是從來都沒有人到達過的地方，那種感覺有點像在荒原中獨自散步，很孤獨，但他很享受這種感覺，一步步推進，向?qū)毑亟咏?p>

北大國際數(shù)學研究中心教授許晨陽，他即將到麻省理工任教

博士第四年的冬天，惲之瑋在高等研究院開會。吃飯時，在與他人閑聊時，為了向別人解釋自己的想法，他的思維似乎要活躍一些，自言自語說了幾句話，對方聽沒聽見他不知道，但自己突然覺得有所觸動，獲得了靈感構(gòu)造一個新的群的表示。在這之前，很多框架性的東西已經(jīng)清楚了，現(xiàn)在找到了把那些東西表述出來的精確表達，后面就只是細節(jié)性的證明。他建立了整體斯普林格理論，這是他的博士論文。博士后階段，惲之瑋與吳寶珠合作，借鑒吳寶珠證明經(jīng)典跡公式的基本引理的想法，證明了自守形式相對跡公式的基本引理。

這樣的靈感時刻在2011年初再度到來。那時他在普林斯頓的高等研究院做博士后研究，吳寶珠和他，還有一位高等研究院的訪問學者海因洛施（Jochen Heinloth）有一天聊起一個問題，當時還不知道如何解決。過了一個禮拜后，惲之瑋突然覺得這個問題和他之前做的另一個問題有聯(lián)系，那是他和麻省理工一位教授正在合作的問題。這兩個問題看上去很不一樣，但這兩個問題都在他腦子里，所以他很驚奇地發(fā)現(xiàn)，這兩個問題非常有聯(lián)系。他把這個想法告訴了吳寶珠和海因洛施。這個聯(lián)系其實很簡單，就是“同一個對象會出現(xiàn)在兩個不同的問題里”，“它不難，但發(fā)現(xiàn)它很困難”，一旦看透，后面的解決就順理成章了。吳寶珠他們將信將疑，不確定是不是會這么簡單，需要構(gòu)造出一個例子才能肯定?；氐郊?，惲之瑋就驗證了這個基本例子，發(fā)現(xiàn)確實是對的，然后他們開始了合作。這個合作一直到2010年春天，文章被《數(shù)學年刊》接收。

2010年暑假，惲之瑋在法國高等研究院訪問，在那邊待了一個月。他想把文章中的方法推廣，解決塞爾問題，但一個月沒有取得任何進展。2011年2月，他已經(jīng)半年時間不怎么想這個問題了，但在偶爾和研究生聊起這個問題的時候，他們追問他用這個方法能否做其他的事情，給了他一些啟發(fā)，他又重新拾起來。也是在麻省理工與人閑聊的時候，他獲得了構(gòu)造一個例子的靈感，成為解決問題的突破口。這是一個完全意外的靈感。他突然發(fā)現(xiàn)，之前與吳寶珠他們合作的那個問題的方法可以用來解決塞爾問題。

在數(shù)學家所熟悉的領(lǐng)域里，從特例到一般性其實并不難，往往最難的是找到那個特例。他很快構(gòu)造了一個特例來解決塞爾問題。如果說與吳寶珠和海因洛施合作的問題，還只是建立了同一個分支上兩個方法之間的聯(lián)系的話，那么塞爾問題的解決，則打通了不同分支。之前他與吳寶珠合作的領(lǐng)域，屬于幾何表示論的領(lǐng)域，以幾何為主，塞爾問題則是一個更偏數(shù)論的問題。這兩者之間通常有很多相似性，但很少有邏輯上的嚴格論證從一邊走向另一邊。解決塞爾問題，就相當于給出了這樣一種聯(lián)系的方法。惲之瑋說，以前的數(shù)學家用寫信來交流，有時候其實對方看不看沒關(guān)系，但數(shù)學家正是在這種表達過程中整理思路的，有些問題想不明白，寫出來就明白了。到了2014年的時候，丘成桐邀請他在哈佛的現(xiàn)代數(shù)學進展上做一個報告，張益唐和張偉也受邀去做報告。報告結(jié)束后，要寫一個書面的論文，發(fā)表在報告的論文集里。他利用書面論文的機會，把一開始和吳寶珠與海因洛施討論的例子，一直到后續(xù)發(fā)展，以及除了解決塞爾問題之外，這套理論所解決的另兩個問題，都寫了出來，把它系統(tǒng)化地進行了發(fā)展。

2011年初那個時刻是他在數(shù)學上最幸福的時刻。獲得靈感時，他內(nèi)心的狂喜持續(xù)了一兩個禮拜。大多數(shù)時候，數(shù)學家在他的思想世界里都是在茫然前行，日常的情況是走彎路，走不通，最終回到原點，或者不清楚前方是否有意義，處于長期的低谷。惲之瑋說，那種幸福時刻雖然短暫，但它的極大樂趣，讓之前的這些沮喪都變得值得。

但能夠與他分享這些短暫狂喜的人很少，因為他很難向人去描述他在那里所看到的前所未有的奇景。惲之瑋告訴我，現(xiàn)代數(shù)學之所以難以向人講解，是因為它每一項定義都過于復雜，將它們每個都展開，需要太長的時間，“就像面對跑著汽車的馬路，極少有人懂得每輛車里每個零件的構(gòu)造”，那些零件才是與我們物質(zhì)世界經(jīng)驗還能發(fā)生關(guān)聯(lián)的古典數(shù)學的概念，數(shù)學家則是那些開車的人。其實，如果有足夠的耐心，有人愿意講也有人愿意聽，這些極為抽象復雜的定義都可以一層層、一步步拆開，最后回到最初那些古典概念。但現(xiàn)代數(shù)學已經(jīng)像一個以極快速度向前推進的世界，讓普通大眾難以理解，大眾也失去了理解它的動機。純數(shù)學轉(zhuǎn)而慢慢成為數(shù)學家的專業(yè)趣味，而不是像古典數(shù)學一樣，可以與大眾分享興趣。

當惲之瑋獲得了解決塞爾問題的想法時，他第一個想告訴的人是哈佛大學的格羅斯（Benedict Gross）教授，他就是格羅斯-扎基亞公式的提出者之一。從發(fā)表在《數(shù)學年刊》的那篇文章起，格羅斯就開始注意到他。以前他們相互不認識，通過這項工作就熟悉起來，他于是一直關(guān)注惲之瑋在做的這個問題，也給了他很多鼓勵。惲之瑋也想與研究這個問題的一些專家分享。對家人則要含蓄一點，無法想象向他們宣布一個發(fā)現(xiàn)，會收到反應。那時他還沒有孩子，空余時間很多，任何時間都在想數(shù)學問題，無論在何種環(huán)境中，在飛機上、火車上，都在想數(shù)學，靈感也比較多地接踵而至。靈感到來后，他并不廢寢忘食，也并不急于做出來，但每天結(jié)束工作時都知道第二天早晨起來有一個好的開頭，知道自己要做什么，而不是茫然不知道從何開始——那種感覺很好。

張偉一開始并沒有找到自己的題目，2005年初，他的導師張壽武讓他嘗試解決一下庫達拉猜想中的模性（Modularity）問題。據(jù)張壽武說，本來的想法只是讓他忙著，沒想到2005年底，他不僅做出了例子，而且找到了獨創(chuàng)性的證明方法，做出了一般情況。張壽武當時已經(jīng)在一些假設(shè)條件下證明了格羅斯-扎基亞公式，一個對解決BSD猜想有重要意義的公式。張壽武曾這樣描述庫達拉猜想與格羅斯-扎基亞公式這兩個問題之間的關(guān)聯(lián)和路徑：要把這些假設(shè)條件去掉，做一般的公式，“就必須要有新的辦法，新辦法最重要的一步就是母函數(shù)的模性”。張偉把這一步做了出來，接下來，張壽武、袁新意和張偉合作完成了格羅斯-扎基亞公式的證明。三人最終的合作成果，以書的形式出版在《普林斯頓數(shù)學研究年刊》上。

張偉之后的工作，都是從這里繼續(xù)系統(tǒng)性地往前推進。張壽武接著讓張偉做自守形式中相對跡公式下的基本引理。這是張壽武還在讀博士的時候，從他哥倫比亞的導師那里師承下來的問題，他知道這個問題對推廣格羅斯-扎基亞公式很重要。2008年的夏天，張偉在北京晨興參加張壽武組織的一個討論班，聽到中科院數(shù)學所的田野給的一個報告，講賈凱特（Jacquet）的相對跡公式。他告訴我，當時他并沒有完全理解，“因為細節(jié)太繁瑣”?；氐矫绹蠹s兩個月之后，他在紐約和波士頓往返的三天時間里，旅途中無事可做，他突然想起田野的那個報告，“當時大腦里已經(jīng)把大部分細節(jié)都忘記得差不多了，只剩下一個大致輪廓，這個輪廓變得容易理解，可以得心應手地使用”。那三天時間里，他獲得了靈感，由此他第一次自己發(fā)現(xiàn)了一個研究方向。這項工作后來寫成文章《算術(shù)基本引理》（Arithmetic Fundamental Lemmas），后來他的很多工作都是這篇論文的延續(xù)。在他的領(lǐng)域，這些工作都撥開了新的路，讓后面的人可以繼續(xù)往前走。張壽武說，張偉沒有做那么多東西，“他只做好了一個東西，但這個東西處于數(shù)論＼代數(shù)幾何和表示論所有這些領(lǐng)域的交叉中心”。張偉告訴我，做出算數(shù)基本引理后，隨之產(chǎn)生的問題是，還不知道怎么把它轉(zhuǎn)化到函數(shù)域。這本來是他和惲之瑋合作的出發(fā)點，但他們在合作中發(fā)現(xiàn)了意外的現(xiàn)象。這就是2014年在袁新意伯克利家里的那個突破性時刻。

張偉自認為過去是個惰性和慣性比較強的人。小學畢業(yè)的暑假，要從他所在的四川大竹縣農(nóng)村去千里之外的成都參加數(shù)學夏令營，他覺得蜀道難，并不希望去，是他的父親堅決要帶他去參賽的。進入大學和博士階段，他才漸漸擺脫了生來的惰性，這是他父親一次次不斷將他置于新環(huán)境的結(jié)果。他變得很努力。與所有數(shù)學家的日常狀態(tài)一樣，他大部分時間在卡殼，有時為驗證一個想法通宵演算，偶爾發(fā)現(xiàn)想法其實是已有的，時常發(fā)現(xiàn)路不對而回到原點。在長時間工作也不能有定論，或者睡覺前突然有了靈感時，他常常選擇先睡一覺。他的理論是，“即使在睡眠時，大腦似乎還在自行運算，好比睡前輸入了一個程序，清早一覺醒來，答案自行浮出水面”。

在2017年“突破獎”的晚宴上，張偉發(fā)言說：“我的父母對我在做的事情很放心，他們以為我是在做與數(shù)字打交道的工作。但他們不知道，其實我一直在與虛擬的數(shù)字打交道?！蔽覇査敶鷶?shù)學已成為需要經(jīng)過漫長訓練才能理解的語言，無法與大眾溝通，那么它在數(shù)學之外更廣泛的意義何在？他回答說，300多年前人們發(fā)現(xiàn)的微積分，100多年前才真正地被嚴格化和簡化，而現(xiàn)在已經(jīng)是高中生就可以學習的數(shù)學內(nèi)容，這期間經(jīng)歷了漫長的時間跨度。當代數(shù)學發(fā)展起來的內(nèi)容，由于技術(shù)細節(jié)太繁瑣，暫時會被認為與我們的經(jīng)驗世界相去甚遠，更難以與更普遍的文化思想產(chǎn)生關(guān)系，但是“數(shù)學如果按照現(xiàn)在的方向發(fā)展，復雜概念和原理會被簡化。當50年后的數(shù)學家回望今天的數(shù)學，也許會有與我們現(xiàn)在相同的困擾，但是他們也許會發(fā)現(xiàn)，50年前的數(shù)學在新的框架下變得更容易理解”。

重逢

2008年到2009年，在張偉他們博士高年級的時候，張壽武在哥倫比亞大學舉行了一個非正式討論會，每次確定一個主題，每個人學習一部分，一起研討。除了袁新意、惲之瑋、張偉和朱歆文，還有00級數(shù)學系的陳琳，01級的肖梁和03級的劉亦峰來參加。他們討論一些熱點話題，提前幾個月確定主題，每個人學習一部分，在討論會上一起學習討論。張壽武之前做了些組織和資助，后來大家基本自費來參加。2009年第一次討論主題是跡公式，2010年討論的主題是格羅滕迪克-卡茲猜想，中間還討論過一些別的主題。一次討論大概兩三天，強度很高。2014年張偉和惲之瑋合作用到的一些東西，恰好是第一次討論的內(nèi)容。當時這六七個人都處于差不多的研究階段，思考的問題有很多重合，又有不同側(cè)重，討論起來彼此的關(guān)注點和疑點都相契，彼此有些啟發(fā)。

袁新意在給本科生上微積分

張偉回憶說，在那個階段，在不同方向上深鉆了很多年后，他們彼此之間有了比較多的共同問題。同樣重要的是，他們相互理解起來很容易，“換人講同樣問題我們可能就聽不懂”。這個階段的高深數(shù)學，很大程度上取決于敘述的方式，在向另一個領(lǐng)域的人做解釋時，“可理解程度取決于講的人和聽的人，如果這兩個人差距大，就完全無法理解”。

早在北大，他們在上暑期班或?qū)ｎ}班的時候，就開始接觸到快速增長的新詞匯。到了美國，信息的節(jié)奏又陡然加快很多，他們發(fā)現(xiàn)，把所有問題的證明搞清楚已經(jīng)是不可能的，每個證明都很繁瑣，“只能盡力搞懂語言”。他們很快適應了在高度抽象的語言中快速學習、轉(zhuǎn)換和組合的能力。聽惲之瑋和麻省理工學院的學生交流時，我聽到他用了好幾次“故事”和“敘述”這樣的詞，也用了好幾次“自然”或“不自然”這樣的詞——后來張偉向我解釋，“不自然”的意思就是兩句話之間跳躍感太大。這讓我感到，當代數(shù)學家在某種意義上，已經(jīng)是數(shù)學抽象語言的作家。他們在進行“寫作”時，使用的是打包的概念和定義，而他們所體會到的“美感”，大概可以類比我們在閱讀文字時所體會到的完美結(jié)構(gòu)和流暢表達。這種用抽象符號進行閱讀的能力，很可能在他們大學的時候就已經(jīng)具備了。惲之瑋的同學們至今都流傳著他讀數(shù)學書如讀小說的傳奇。當惲之瑋告訴我，他在北大圖書館里，經(jīng)常通過閱讀書架上書的書名和目錄，了解數(shù)學前沿的時候，我意識到，這種高度抽象的閱讀方式可能在那時就已經(jīng)形成了。如果說一個數(shù)學定義可以展開為一本書，我想象，每一個成熟的數(shù)學家腦中，都有一個虛擬圖書館，他們的大腦像一個圖書管理系統(tǒng)一樣，通過書名調(diào)度每本書，并按不同的分類法，將這些書在自己腦中組合排列。當許晨陽告訴我，他和惲之瑋的研究已經(jīng)相距甚遠，但他還是會去聽惲之瑋的講座時，我想，這對他來講，就是去翻閱另一個圖書館的館藏目錄吧。

即使已如此抽象，但在討論課上，講的人也不可能把每一個知識點都過一遍，張偉告訴我，這個量太大。因此，講的人只能選一個關(guān)心點，而如果大家關(guān)心的點共同性比較強，那就可能相互對話了。他們之間幾乎80%到100%都是共同點，這非常奇妙。這讓他們能順暢地溝通和相互理解。

到了2009年，這幫同學都陸續(xù)集聚到了波士頓，這樣的討論形式也延續(xù)了下來。波士頓作為數(shù)學研究的傳統(tǒng)重鎮(zhèn)，聚集了涵蓋數(shù)學各個領(lǐng)域的專家，研究氛圍極其活躍。張偉說，回想起來，波士頓最吸引他的一點是，這里在任何時刻都有一大批來自世界各地的活躍學者，不一定是成名已久的大學問家。這批流動的人員帶來新鮮的思想，互相啟發(fā)。許晨陽、袁新意、惲之瑋、朱歆文和張偉，在取得博士學位之后都先后來到這里，他們是那幾年在波士頓的許多年輕學者的一部分。

剛到波士頓的第一年，袁新意、許晨陽和張偉一起在薩默維爾租了一個三居室，地點距離哈佛和麻省理工差不多一樣，朱歆文則住在劍橋。張偉和袁新意各買了一輛自行車，每天騎車從薩默維爾穿過畢肯，再到哈佛科學中心的同一間辦公室。這條路上有一棟看上去有些破舊的樓房，騎了很多次，發(fā)現(xiàn)竟然是美國科學與藝術(shù)學院的所在地。袁新意買了一輛很炫的自行車，沒多久就被偷走了，張偉的自行車幸存了一年之后，也被偷走了。

一年之后，袁新意離開波士頓，惲之瑋則從高等研究院來到麻省理工。張偉搬到劍橋，住在與朱歆文相鄰的樓，而許晨陽則和惲之瑋合租了一個兩居室。秋季學期，張偉教了一門跡公式的課，每次課后，他、朱歆文，以及另外幾位旁聽的訪問學者，會一起去吃午飯。他們開始回憶起，在北大食堂吃飯時，中午經(jīng)常很擁擠，需要端著買來的飯菜等座位，那時他倆還暗自想，“要等我倆座的這位運氣實在不大好”。再一年之后，張偉和許晨陽離開波士頓，張偉去了哥倫比亞，許晨陽去了猶他。朱歆文和惲之瑋還有一年才離開，朱歆文先后去了西北大學和香港科大，惲之瑋去了斯坦福。張偉和許晨陽離開的那個夏天，他們?nèi)チ艘患也宛^慶祝。服務員為張偉和許晨陽自動倒上了酒，朱歆文和惲之瑋等了一會兒，忍不住請服務員為他們也倒上。服務員要求查看他們的身份證，因為他們看起來還不到喝酒的年齡。

他們的生活有了更多的交集。他們之間長期以來形成的友誼，讓他們能夠自由交流思想。如果說在北大的時候，他們因為很難跟其他人討論數(shù)學問題而結(jié)成了一個共同體，那么現(xiàn)在，他們在數(shù)學世界里，因為相互知根知底，又恰好是有聯(lián)系的不同方向，彼此互補，這讓他們能夠自由討論問題。惲之瑋告訴我，他們在一起“是沒有壓力的討論”，而跟其他同行討論，“怕自己的想法不夠好，也怕自己不夠成熟的想法被別人拿去，多少有一些競爭關(guān)系”。他們從大學在一起就無話不談，“沒有什么保留，也不會因為自己不知道什么就不好意思”。惲之瑋說，即使是一個教授，也可能會有一個基本的概念沒有聽說過，在其他同行面前可能會不好意思承認這一點，“但我們之間沒有這種不好意思，完全可以直接說‘這個我不懂，‘這個怎么定義的？”。

在這幾年里，他們有了許多交流。2011年，在一次交談中，惲之瑋告訴張偉，他有了一些想法，但因為“缺乏數(shù)論的眼光”，還不能精確地描述，張偉也不肯定是否是對的。三年后，在伯克利，張偉突然意識到，惲之瑋那時的直覺是對的，他精確定義了惲之瑋的猜想。

2011年，許晨陽在德國上沃爾法赫小鎮(zhèn)遇到在普度大學的李馳，發(fā)現(xiàn)李馳的微分幾何工具，可以用來解決許晨陽的代數(shù)幾何問題。那一次他們用代數(shù)幾何中的“極小模型綱領(lǐng)”解決了田剛在1997年提出的“K-穩(wěn)定性猜想”。2014年，也是在伯克利的一次學期活動上，劉若川和朱歆文之間的研究有了一些交集，前者的數(shù)論工具可以解決后者的表示論問題。劉若川發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)時候離東海岸數(shù)學中心熱點和潮流較遠的朱歆文，是位類型不多見、可以縱覽全局的數(shù)學家，如同有“吸星大法”，很快就能吸收別人很長時間的技術(shù)積累。

分岔的小徑

2014年在袁新意家發(fā)生的那個時刻里，袁新意扮演著盡地主之誼的主人角色，在數(shù)學問題討論的話語中卻始終不在場。張偉曾邀請袁新意，三個人一起合作。對他的缺席，惲之瑋說：“一開始袁新意本來要和我們一起寫這篇文章，但他因為要做其他問題，就退出了。”

最初張壽武、張偉和袁新意從L函數(shù)出發(fā)，一起做格羅斯-扎基亞公式，初衷是打開通往BSD猜想的路徑。但在做這個問題的時候，袁新意對這條路徑有了些不同的想法。如果說BSD猜想猜的是1米=3尺，從格羅斯-扎基亞公式出發(fā)，包括張偉在內(nèi)的數(shù)學家們一步步開山辟路的工作，走到了把它轉(zhuǎn)化為證明1米=3.28英尺。這是一個很重要的轉(zhuǎn)化。1米相當于BSD猜想等式的左邊，但等式的右邊，尺與英尺如何之間換算，還不知道。但它構(gòu)造了一個繞路，可以通過證明3尺=3.28英尺，來證明1米=3尺。這條繞路里，3尺本來含有一個與1米相等的條件假設(shè)，在證明1米=3.28英尺的過程中，用到了3尺中含的這個假設(shè)，也就是說1米=3.28英尺是一個有假設(shè)條件的結(jié)果。但如果能夠證明3.28英尺=3尺，就能夠自動證明假設(shè)成立。

但在這里，有一條分叉的小路：通過直接證明假設(shè)，也可以最終得證。那么證明假設(shè)更可能，還是證明等式的右邊更有可能？這就像在沒有標識過的岔路口，僅能憑直覺判斷。2008年到2009年，當張偉和惲之瑋在哥倫比亞大學張壽武組織的非正式研討會上發(fā)現(xiàn)了彼此研究的互補時，袁新意也繼續(xù)在做格羅斯-扎基亞公式，和另一個領(lǐng)域——阿萊克勒夫（Arakelov）幾何的一些問題。但隨著時間推移，他有了一些不同的判斷。

加州理工學院的校園內(nèi)

2012年，袁新意搬到伯克利，生活發(fā)生了一些變故。雖然外部看起來運轉(zhuǎn)如常，事實上，日常里不足為人道的煩擾，深潛于生活的表層之下，不易察覺，改變著無數(shù)毛細血管般細小的時刻上所做的選擇與方向。2014年張偉和惲之瑋在袁新意家討論時，袁新意說他想去做其他問題。那時他經(jīng)歷了一段時間的低潮，婚姻變故后，他一邊上課、做研究，一邊獨自照顧年幼的兒子，被生活纏繞。他說，那時他對一般的數(shù)學問題想不進去，而需要找到一個具有英雄主義氣質(zhì)的數(shù)學問題，來吸引他的注意力。

他與數(shù)學世界的關(guān)系若即若離了一段時間。從中學時代親近數(shù)學開始，美國是數(shù)學世界的中心這個觀念就不知不覺植入了他腦中，成為順理成章的目的地。他幾乎是急不可耐地來到這里。然而，生活的意外侵入既定的軌道，美國對他來講有了新的意義——這個數(shù)學家的棲居地，開始變成人生的異鄉(xiāng)。在象牙塔里，幸運的人可以一路順著理性之光向高處與深處探索漫溯;但生活不可捉摸的偶然性，會向人突然呈現(xiàn)出另一重空間里自我投射出的未曾被察覺的軌跡。那條軌跡只有在與數(shù)學之路發(fā)生牽扯與相悖的張力時，才清晰揭示出它自身的意義。前兩年，父母接連病倒，牽引他去留美國的力量再一次超出了數(shù)學世界的維度，生活的選擇差點試圖將他帶離數(shù)學的中心。在他失眠的時候，他就思考獨辟蹊徑的問題，這個問題吸附了他的專注力，即使想不出來，心情也可以平靜下來。

加州理工學院的校園內(nèi)

張偉有時會告訴袁新意，做學問要順勢而為，有什么工具就解決什么問題，在“欲出”時“呼出來”。袁新意很贊同張偉，理智也告訴他該這么做，然而，這違背了他的本性。當初他義無反顧選擇數(shù)學，正是基于他“從不做兩手準備，走不下去再走別的路”的人生哲學。比如，他發(fā)現(xiàn)一位前輩數(shù)學家多年來時不時地持續(xù)關(guān)注過一個更難的問題，但那位前輩做出的許多出色結(jié)果都不在這個問題上;袁新意覺得自己無法這樣選擇。對另一些數(shù)學家而言，數(shù)學的極致樂趣甚至可以令他們拋開生活中的責任，但袁新意也不做這樣的選擇。他在等待不僅是數(shù)學，也是生活所給予的啟示。回憶起到伯克利后最幸福的時刻，袁新意說，是看到孩子可以與新的家庭融洽相處，“感動涌上心頭”。

那天我與袁新意從餐廳走出來，收款臺上方的電視機正播放金州勇士隊對火箭隊的NBA常規(guī)籃球賽，他駐足看了一小會兒。他說，2012年他曾經(jīng)買過一張票，準備去看金州勇士隊的比賽。恰逢一位臺灣學者來伯克利訪問，也很喜歡NBA，他就把票送給了對方。他心想自己就住在加州，以后還有很多看球賽的機會。沒想到2012年那一年，過去經(jīng)常勝少負多的金州勇士隊扭轉(zhuǎn)了這一局面，之后就一飛沖天，連連大勝，一躍成為全美籃球隊的明星。他發(fā)現(xiàn)自己再也買不起球賽的票了，夠得上的票都是“根本分不清誰是誰”的最外場。說到這兒，他以慣常的樂觀對這無常付之一笑。

無常與偶然

2009年12月中旬，北大數(shù)學系的這幫同學在哈佛大學舉行的小范圍討論班上再次相聚，討論格羅滕迪克-卡茲猜想。未曾想到，相聚有時也蘊藏著離別。

那一次，陳琳也從紐約來到波士頓。他從加州洛杉磯分校博士畢業(yè)后，在紐約州立大學石溪分校做博士后。幾個人聚在一起，他聊了很多偏數(shù)論的東西。在北大的時候，陳琳是從物理系轉(zhuǎn)到00級數(shù)學系班上來的，他對數(shù)學一直很感興趣。惲之瑋回憶，他們熟悉起來，是在大三以后了，“他同時是我所在的代數(shù)討論班和我完全不懂的弦討論班的積極參與者”。在惲之瑋的記憶里，陳琳說話“總是帶著自然的微笑”，他們經(jīng)常在一起“發(fā)發(fā)牢騷，縱論天下”。2004年來到美國后，惲之瑋和他偶爾通過電子郵件互問信息，陳琳同時跟隨劉克峰教授和肥田晴三教授從事幾何和數(shù)論兩個完全不同領(lǐng)域的研究。最初，他告訴惲之瑋他想同時跟兩個導師做不同方向的東西時，惲之瑋半信半疑，“后來他竟在兩個方向都寫出了艱深的文章，我才完全信服”。在北大時，張偉與他已是一見如故。陳琳也是個多才多藝興趣廣泛的人，有很多有趣的想法，來美國以后，他倆每次見面總得長談許久。

那次小范圍討論班休息的時候，每天晚上，陳琳、惲之瑋和肖梁都要去張偉、袁新意和許晨陽在波士頓三人合租的三居室住處，大戰(zhàn)幾回合Wii里面的虛擬網(wǎng)球游戲，擠住在一起。星期一的晚上，他們在一起打乒乓球。臨睡前，他們還聊到了卡夫卡。惲之瑋說，他看過《變形記》，但不知道它究竟要表達什么意思。陳琳回答說：“假如你是一個家庭的頂梁柱，突然之間病垮了，你就成了家庭的累贅;直到最后死了，對你的親人們而言才算是個解脫?！泵總€人都以為，那不過是又一次尋常的相聚。2009年初，他們這些職業(yè)數(shù)學家都找到了理想的博士后工作。夏天，陳琳還開著那輛令他們艷羨的二手寶馬，橫穿美國，從洛杉磯開到紐約長島。經(jīng)過普林斯頓時，他到高等研究院找朋友玩，碰巧在例行的茶點時間認出了惲之瑋。一聲熟悉的“老惲”，“我轉(zhuǎn)過頭去，看到了久違了的卻又能一眼認出來的形象”。就在不久前的11月份，惲之瑋應邀到紐約州立石溪做討論班報告，陳琳去火車站接他，他們一起吃了幾頓飯，聊了不少數(shù)學。

那次聚會臨別，陳琳告訴張偉，波士頓的鬼天氣太冷，接下來幾天要暫時放下數(shù)學問題，和朋友去溫暖的地方放松一下。張偉和他一起去過拉斯維加斯，“他常常旅行，我知道，不論郊游還是遠足，他都有豐富的經(jīng)驗”。聽起來，這只是他再平常不過的一次旅行罷了。陳琳和袁新意一起從波士頓回紐約，那時袁新意每周要回新澤西的家中。袁新意邀請他圣誕去家中聚聚，陳琳告訴他，他馬上要動身去波多黎各。

幾天之后的一個下午，他們所有人都陸續(xù)接到了用他的手機打來的電話，與他隨行的朋友到處尋找他父母的聯(lián)系方式。他們才知道，陳琳潛水出了事，人已經(jīng)不在。張偉說：“這算是我這輩子接到的最悲傷的一個電話吧?！敝蟮膸讉€月里，他完成了算術(shù)基本引理的文章，就把這篇文章獻給陳琳，表達自己的哀思。

陳琳的死訊讓所有人都陷入悲傷中。惲之瑋一向是個穩(wěn)沉和情感深藏不露的人，但那一刻，情緒統(tǒng)攝了他。在那篇他寫給陳琳的紀念文章里，他用少見的感性文字寫道：“悲傷襲來，就像墨汁浸潤畫布，最初是扎眼的黑點，爾后迅速蔓延，浸透我的身心。陳琳，你的朋友們正如虔誠的納美人一樣，舞動雙臂，為你招魂。”他說，那天晚上他再也無法思考數(shù)學。從數(shù)學選擇了惲之瑋開始，他從來沒有懷疑過數(shù)學的意義，他一直認為數(shù)學上的創(chuàng)造是他人生最大的意義所在。那次討論班結(jié)束的時候，惲之瑋還建議陳琳去查一篇文章，或許對他有用。“可是現(xiàn)在，有用沒用，又有什么意義呢？”在面對生離死別時，惲之瑋突然在某個瞬間懷疑，在人作為一個人的需求面前，自己所做的數(shù)學是不是微不足道？但最終他仍然寄哀思于，在欣賞到數(shù)學世界的風景時，陳琳也能感應與分享。

陳琳的去世，與所有人的人生都突然產(chǎn)生了一個意義的交集，這無常超乎理性統(tǒng)攝的數(shù)學世界。數(shù)學是絕對的，但生活時常呈現(xiàn)不可預料的偶然性。

張偉因為數(shù)學成績優(yōu)秀，小學快畢業(yè)時給成都七中的校長寫了一封信。他心想多半也收不到，沒想到校長卻回了信，歡迎他去七中讀書。他告訴我，這是他父親出的主意。那時他身邊的小孩都要干農(nóng)活，他父母也要干這些，但他不僅積極讓他從村小學轉(zhuǎn)入鄉(xiāng)小學，而且堅決要讓他去千里外的成都參加數(shù)學夏令營，又鼓勵他給成都七中寫信。張偉一直是一個慣性很強的人，對這每一步都不是很積極，但他的父親有一種非凡的膽魄。他說，在膽魄方面，他不及自己的父親。而那封信放到一位名校校長的辦公桌上，被校長閱讀，并回復，回復的內(nèi)容是“歡迎”的概率，在今天幾乎為零。

袁新意也一樣。他初中升高中時，因為數(shù)學競賽成績從麻城保送黃岡中學。他比較偏科，語文和英語都比較差，初到大學時普通話說得不好，同學跟他說話一半都聽不懂。他說，如果沒有競賽和保送，他可能進不了北大，更有可能是去武大或華中理工的數(shù)學系。而在這個奧賽競賽軌道里，如果不是因為他恰好不需要外力就很感興趣，經(jīng)過那一套培訓體系，可能對數(shù)學已經(jīng)感到厭倦。

惲之瑋告訴我，他在高一進入冬令營其實有很多周折，只是他當時一無所知。那一次冬令營選拔賽，有一道分數(shù)很重的大題，他一直以為自己做出來了。他的高中數(shù)學老師讓他把那道題的答案原原本本寫下來，讀了一遍覺得沒有問題，雖然和標準答案很不一樣，但應該是滿分的證明。多年后他才知道，那道題判卷時沒有給他分，是他的高中老師通過閱卷和省里管競賽的老師申訴要來的。中間經(jīng)過很多周折，還從大學請來教授判卷，才要來了分數(shù)。他順利進了冬令營，代表江蘇省參加全國聯(lián)賽。如果那一年他沒有進入冬令營，他可以高二時再參加，但他就不會高二提前保送北大，也就不會進入00級數(shù)學系。如果他進入01級，他可能還會與朱歆文、許晨陽和劉若川他們結(jié)成數(shù)學共同體，像01級肖梁那樣。但如果不是因為他和張偉同級，他們還會在2008年至2009年的哥倫比亞大學，因為彼此思考的東西正好處于那個契合的階段，因各自腦海中的問題相互映照而產(chǎn)生研究上的交集嗎？

2009年，朱歆文的父親生病，他也曾短暫考慮過回國。如果不是因為父親身體的好轉(zhuǎn)，“并不關(guān)心美國人想什么”，在美國過著中式生活的他，會去加州理工嗎？我問他，外部世界有沒有讓他動搖過做數(shù)學家的想法。他說，如果當年遇到一個特別懂計算機的人給他講計算機是什么樣的，或者遇到一個懂金融的人把金融描繪得很有趣，“我也不知道當時我會做出什么樣的選擇”。一個個偶然性成就了他們，也險些把他們拉離這條軌道，這些偶然性讓天賦的實現(xiàn)和交匯變成一個撲朔迷離的概率事件。

許晨陽告訴我，他的一篇論文寫出來，可能有兩位數(shù)的讀者，但真正讀得很懂的人也就不超過20個，而且這20個人還大部分是他認識的人。于是我問他，當代數(shù)學的意義是什么？他桌上的文件堆里有一本書，阿爾布雷希特·弗爾希的《愛因斯坦傳》，也許他還沒來得及讀，也許已經(jīng)讀過了，但他一定通過愛因斯坦思考過這個關(guān)于當代數(shù)學意義的問題。他回答說，當愛因斯坦最開始提出相對論時，全世界只有幾個人聽得懂和贊同，不懂的公眾會覺得相對論并沒有什么意義。愛因斯坦在發(fā)現(xiàn)廣義相對論時，用到了黎曼幾何，而黎曼幾何提出來的時候，大多數(shù)人都不能理解。回過頭去看，愛因斯坦所生活的時代，物理學界有那么多文章，但只有幾篇引起了愛因斯坦的想法，而那幾篇文章卻早已沒人看了。但這就是搭建科學和知識大廈必經(jīng)的一個過程。每個一流天賦的人都在這座大廈上添了一點磚，但至于哪塊磚能夠讓一位曠世天才改變現(xiàn)實世界，那將是偶然中的偶然。

吳軍：數(shù)學，為人生之題解出漂亮的答案

如果用當下比較流行的說法來概括吳軍的身份，他便是會攝影、會寫作的計算機科學家中最愛發(fā)微博的投資人——幾乎很難用一句話涵蓋“吳軍博士”（吳軍的微博昵稱）會做什么、想做什么、在做什么。更不用提他履歷上諸多煊赫的標簽，譬如“清華”“約翰·霍普金斯”“谷歌”“騰訊”“硅谷風投”以及“文津圖書獎”……其實跨界本身并不稀奇，但是像吳軍一樣跨界并在每一界中都取得成功，才會引來眾人的注意力與好奇心。

不過擁有多重炫目身份的吳博士卻常常公開表示：成功“跨界”的要義并不在于多與快，而是在于精，在于經(jīng)過觀察與思考后看到每個行業(yè)的本質(zhì)。至于本質(zhì)如何抵達，則需要工作中果斷拋開細枝末節(jié)的魄力、在新行業(yè)中迅速搭建知識架構(gòu)的能力。

誠然，吳博士對新技術(shù)與新趨勢的敏銳一定不僅僅來源于他的老本行：計算機科學。但是專業(yè)學習與鉆研對他行動和思考的影響，一定是毋庸置疑的。當然，數(shù)學對他的教益更不能不提。在著作《數(shù)學之美》中，吳軍曾對數(shù)學的魅力和實用性大加贊美。于他而言，數(shù)學不但是“解決信息檢索和自然語言處理的最好工具”，還能“非常清晰地描述這些領(lǐng)域的實際問題并且給出漂亮的解決辦法”。

或許沒有誰會否認，在我們?nèi)缃袼幍男畔r代，懂數(shù)學、懂計算機科學幾乎是行走于時代前沿必備的核心技能?！八惴ā迸c“邏輯”不但是時代先行者們看待世界所用的濾鏡，更是創(chuàng)新能力的源泉。

借用吳軍自己的話來講：“你最終能走多遠，取決于見識?！敝劣谝娮R到底怎樣獲得，對數(shù)學的理解、對計算機科學的掌握究竟如何指導見識的積累，就只有吳博士本人才能一一道來了。

您是如何理解數(shù)學的？在工作與事業(yè)中，對數(shù)學的理解與掌握扮演了怎樣的角色？

數(shù)學是各種科學的基礎(chǔ)（不僅僅是自然科學，甚至包含社會科學，比如說歷史的研究方法就和數(shù)學有一定的相似性……）。對科學家們來說，數(shù)學可以說是進行研究所使用的一種工具，例如人工智能從本質(zhì)上來講就是數(shù)學模型。對大眾來講，生活中似乎用不上那么多數(shù)學——但是我們還是要學數(shù)學，因為……

您怎樣評價當今的高等數(shù)學教育？在對專業(yè)計算機人才的教育與培訓中，您覺得我們現(xiàn)階段面臨著什么挑戰(zhàn)？

一個問題是大家進大學以后學的難度一樣，哪怕是優(yōu)秀的學校，學生們的水平也會有所不同，我認為應該在選課上把這些差別體現(xiàn)出來。至于今天中國計算機教學最大的問題，坦率來講是作業(yè)量不夠……

有什么關(guān)于數(shù)學/邏輯/思考的經(jīng)典書籍比較適合大眾閱讀？

《從一到無窮大》《時間簡史》與《給世界的答案》。