張周燦 謝長君 曹夏令 費亞龍 李小龍

（武漢理工大學，武漢 430070）

1 前言

電池荷電狀態(tài)（State Of Charge，SOC）估計是電池管理系統(tǒng)的核心問題之一，而電池荷電狀態(tài)受充放電電流、環(huán)境溫度、循環(huán)次數(shù)等各種因素的影響，導致鋰電池SOC值很難被直接測量。常用的SOC估計方法有以下幾種：安時積分法[1]算法簡單、易行、精度較高，但存在累計誤差；開路電壓法由于需要長時間靜置，不適宜在線估計；神經(jīng)網(wǎng)絡算法[2]雖然精度高，但結構復雜，需要訓練大量的數(shù)據(jù)。擴展卡爾曼濾波算法[3]（Extended Kalman Filter，EKF）是在電池荷電狀態(tài)估計中廣泛使用的算法之一，但其依賴精確的數(shù)學模型。在非線性處理上，其將非線性部分進行一階泰勒展開，忽略了高階項。因此在非線性很強情況下，容易使估算值嚴重偏離真實值。

無跡卡爾曼濾波（UKF）算法[4]、自適應卡爾曼濾波（AKF）算法[5，6]是當前的研究熱點。但UKF算法應用前提是要精確獲得系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲的統(tǒng)計特性，較為不便。AKF算法在線估計過程噪聲和測量噪聲的協(xié)方差矩陣，可提高系統(tǒng)狀態(tài)的估計效果，但非線性較強時，濾波效果并不好。在兩者基礎上的自適應無跡卡爾曼濾波（AUKF）算法[7，8]結合概率統(tǒng)計知識，采用概率分布的思路處理非線性問題，是極具發(fā)展前景的非線性估計算法。本文將采用基于UT變換（Unscented Transformation，也稱無跡變換）的自適應無跡卡爾曼濾波算法，基于鋰電池2階RC模型，對鋰電池SOC進行估計。該算法是在傳統(tǒng)UKF算法的基礎上引入衰減因子與自適應調節(jié)因子，能夠有效減少系統(tǒng)噪聲的影響，提高算法濾波的穩(wěn)定性。

2 鋰電池狀態(tài)模型的建立

文中選用磷酸鐵鋰電池進行試驗?？紤]到模型的準確度和計算復雜度，選擇2階RC電路模型作為鋰電池SOC估計模型，電路模型如圖1所示。2階RC模型對電池的3種特性（歐姆極化、電化學極化和濃差極化）分別進行建模。模型中Uoc表示開路電壓；Vo代表電池的端電壓；Re是歐姆內阻；Rs與Cs環(huán)路描述電池電化學極化效應；Rs與Cp環(huán)路模擬電池內部的濃差極化效應；u為端電流。

根據(jù)圖1所示電路圖，以SOC、兩電容上的電壓Us、Up為狀態(tài)變量，端電流u為輸入變量，端電壓Vo為輸出變量。

圖1 2階RC等效電路模型

由基爾霍夫定律建立圖1所示等效電路的狀態(tài)空間模型并離散化，得到其離散狀態(tài)空間模型：

u(k)為輸入變量；T是系統(tǒng)采樣周期。

3 開路電壓與SOC關系的整定試驗

為得到開路電壓與SOC的關系，本試驗采用中航鋰電公司生產(chǎn)的額定容量為40A·h的磷酸鐵鋰電池，開路輸出電壓（標稱電壓）為3.2V。建立的試驗測試裝置主要由電源、采集板、顯示器、鋰電池、放電裝置、霍爾電流傳感器等組成。通過調節(jié)放電裝置，使鋰電池進行恒流放電試驗。具體測試流程如下：先采用專用充電機將電池充滿電，直至電池SOC為1（充滿電狀態(tài)），然后靜置12h；在常溫下，將電池的SOC值從1到0進行10等分的恒流脈沖放電試驗，每次脈沖放電試驗結束后將電池靜置4h，并記錄此時電池的開路電壓值。脈沖放電電流為0.2C。

由上述試驗數(shù)據(jù)可得開路電壓Uoc與電池SOC的關系曲線如圖2所示。由5階曲線擬合可得它們之間的函數(shù)關系式如公式（2）所示：

圖2 開路電壓與SOC的關系

4 鋰電池狀態(tài)模型的參數(shù)辨識

本文采用遞推最小二乘法來離線辨識鋰電池模型參數(shù)，根據(jù)圖1電池模型等效電路原理圖，得到如下參數(shù)辨識原理式：

經(jīng)過雙線性變換處理得到如下方程式：

其中，T為采樣周期，取狀態(tài)變量：

得到最小二乘形式：

其中，e(k)是誤差函數(shù)。最小二乘法遞推計算公式如下：

初始值：θ(0)設置為0，協(xié)方差矩陣初始值P(0)=aI，a為很大的正數(shù)，I為5階單位矩陣。

利用遞推最小二乘法公式(7)估計出模型參數(shù)，然后采用公式(5)反推出模型的電容、電阻值：

5 基于AUKF的鋰電池SOC估計

UKF算法本質上是通過線性插值方法，對非線性模型進行的高精度變換。當非線性程度較小時，可以削弱非線性誤差的影響。其缺點是在非線性程度較強時，協(xié)方差更新時容易出現(xiàn)負定矩陣的情況。另外，UKF算法受初始值影響較大，系統(tǒng)噪聲較為明顯。在數(shù)據(jù)采集過程中噪聲統(tǒng)計特性未知，會導致卡爾曼濾波法的估計精度降低，甚至會引起發(fā)散，導致濾波結果不穩(wěn)定產(chǎn)生較大的誤差。為了提高系統(tǒng)精度需要在傳統(tǒng)UKF算法基礎上加以改進。

5.1 UKF算法簡介

按照卡爾曼的遞推公式，根據(jù)新數(shù)據(jù)和前一狀態(tài)的估計值，再借助系統(tǒng)本身的狀態(tài)轉移方程，得出當前時刻的狀態(tài)估計值。鋰電池的非線性系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程為：

式中，f為非線性狀態(tài)方程；g為非線性觀測方程；Wk、Vk為隨機變量x與觀測變量y的高斯白噪聲，其方差矩陣分別為 Qw和 Rv：

初始化X0=(SOC0，0，0 )設置為狀態(tài)變量初始值，其方差估計P0：

根據(jù)狀態(tài)變量的統(tǒng)計量xk-1及其協(xié)方差，狀態(tài)變量的維數(shù)L=3；基于UT變換的自適應卡爾曼濾波估計鋰電池SOC的算法步驟如下：

a.計算采樣點

采用Sigma點對稱采樣策略，得到x點的Sigma點集，以及其對應的均值加權值和方差的加權值：

b.時間更新

根據(jù)狀態(tài)方程式(1)計算狀態(tài)更新:

計算預測狀態(tài)值:

計算狀態(tài)預測值的協(xié)方差:

根據(jù)方程式(1)測量更新：

計算預測測量值：

計算測量估計yk的協(xié)方差：

計算Xkk-1與Ykk-1的協(xié)方差：

c.測量更新

計算卡爾曼增益矩陣：

更新狀態(tài)：

更新誤差協(xié)方差：

5.2 AUKF算法

為了在非線性程度較強時能夠有效提高電池SOC估算精度，降低初始值和系統(tǒng)噪聲對濾波結果的影響，提高算法濾波的穩(wěn)定性。在傳統(tǒng)UKF算法基礎上引入衰減因子與自適應調節(jié)因子，組成帶有衰減記憶效應的無跡卡爾曼濾波器。由于系統(tǒng)噪聲也會影響到濾波結果，因此引入自適應調節(jié)因子調節(jié)相關的協(xié)方差矩陣，在一定程度上可改變其在濾波過程的作用。

5.2.1 衰減因子

在UKF算法的基礎之上引入衰減因子，組成帶有衰減記憶效應的無跡卡爾曼濾波器。這種算法與傳統(tǒng)UKF算法的主要不同之處是在公式（14）的基礎上增加了衰減因子S，使得公式（14）轉換成公式（22）：

仿真結果表明，引入衰減因子后的算法帶有衰減記憶效應，并且衰減因子S的選取對濾波結果有較大影響，濾波精度隨著S的增大而減少，有時甚至會引起濾波發(fā)散。因此為有效提升濾波效果、提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，還需引入自適應調節(jié)因子。

5.2.2 自適應調節(jié)因子

傳統(tǒng)UKF算法受初始值影響較大，此外，系統(tǒng)噪聲同樣也會影響濾波結果。因此，為了減少這些影響，自適應調節(jié)相關的協(xié)方差矩陣，可以在一定程度上改變其在濾波過程的作用。

對協(xié)方差矩陣公式（17）、式（18）、式（21）進行修正得到：

當UKF算法初始值存在誤差或系統(tǒng)存在異常擾動時，自適應因子αk＜1，此時模型預測信息對最終濾波解的貢獻??；當預測信息異常時，會很大，此時自適應因子接近于0，預測完全不起作用。下面通過具體工況試驗驗證引入衰減因子與自適應調節(jié)因子之后AUKF算法的優(yōu)越性。

6 試驗驗證與結果分析

通過不同初始值情況下恒流放電工況試驗，得到AUKF算法對SOC估計及誤差曲線。在恒流脈沖充放電工況、美國城市循環(huán)工況（Urban Dynamometer Driv-ing Schedule，UDDS）兩種工況試驗下驗證AUKF算法在傳統(tǒng)UKF算法基礎上引入衰減因子和自適應調節(jié)因子之后對濾波結果、SOC狀態(tài)估計與估計誤差的影響。

6.1 恒流放電工況試驗

為了驗證該算法不依賴初始值，對額定容量為單節(jié)40Ah的鋰電池進行恒流充放電試驗，試驗環(huán)境溫度為常溫，放電累計時間為200s。放電試驗前，對電池進行12h的充分靜置，根據(jù)開路電壓與電池SOC的對應關系獲取初始SOC值。在試驗過程中，實時采集電壓電流值，采樣頻率為10次/s，對單體電池進行0.2C的恒流放電試驗。通過測量得知，電池開路電壓初始值為3.137V，電池SOC值為0.912，作為安時積分法的初始SOC值。

為驗證SOC估算算法不依賴初始值的特性，假設SOC初始值偏離實際值，分別設定為0.8、0.6、0.96。采用AUKF算法來估計SOC值，并與安時積分法獲得的參考值進行比較。試驗數(shù)據(jù)曲線如圖3、圖4所示。從圖3可知，不同的SOC初始值，基于AUKF算法均能快速收斂到參考值附近。從圖4所示不同初始值下的估計誤差曲線可知，在誤差曲線后期，它們的估計誤差均能保持在（-0.80%，0.80%）之間。由此可得，AUKF算法對初始值不敏感，且收斂速度較快。

圖3 不同SOC初始值下AUKF算法對鋰電池SOC估計曲線

6.2 恒流脈沖充放電工況試驗

為驗證動態(tài)工況下算法的跟蹤能力，選取自定義恒流脈沖充放電工況試驗，電流工況數(shù)據(jù)如圖5所示，負數(shù)代表放電，正數(shù)代表充電。分別采用安時積分、UKF算法與AUKF算法估算的SOC值曲線如圖6所示，UKF和AUKF的估算誤差曲線如圖7所示。從圖6中可知，這兩種算法均能很好地跟蹤SOC參考值的變化。從圖7中可知，在初始階段，基于AUKF算法的估計曲線更快收斂到參考值附近，且在后期，AUKF的誤差比UKF的誤差要小。兩者均能保持在（-0.80%，0.80%），而傳統(tǒng)UKF算法的誤差最大會達到2%。

圖4 不同SOC初始值下AUKF算法對鋰電池SOC估計誤差曲線

圖5 恒流脈沖充放電電流工況數(shù)據(jù)

圖6 恒流脈沖充放電的鋰電池SOC估計

圖7 恒流脈沖充放電的鋰電池SOC估計誤差

6.3 美國城市循環(huán)（UDDS）工況試驗

為更好說明動態(tài)工況下算法的跟蹤能力，選取美國城市循環(huán)工況（UDDS）驗證試驗。實時電壓電流值的采樣頻率為10次/s。電流工況數(shù)據(jù)如圖8所示，負數(shù)代表放電，正數(shù)代表充電。同樣分別采用安時積分、UKF算法與AUKF算法估算的SOC值曲線如圖9所示，UKF和AUKF的估算誤差曲線如圖10所示。

圖8 UDDS工況下電流變化曲線

圖9 UDDS工況下鋰電池SOC值估計

圖10 UDDS工況下鋰電池SOC估計誤差

仿真曲線表明，在UDDS與恒流脈沖充放電兩種動態(tài)工況下AUKF曲線更加接近參考曲線，AUKF算法估算鋰電池SOC的波動性較小。此工況驗證試驗結果與自定義恒流脈沖充放電工況試驗結果相符。引入衰減因子與自適應調節(jié)因子之后的AUKF算法估算鋰電池SOC的波動性比傳統(tǒng)UKF算法小，系統(tǒng)噪聲更低，自適應能力更強。

7 結束語

鋰電池SOC值的在線估計是當前研究的熱點和難點問題。文中提出了在UKF算法基礎上引入衰減因子和自適應調節(jié)因子的AUKF算法，在上述多種動態(tài)實時工況中進行了對鋰電池SOC估計的試驗。試驗結果證明，相比傳統(tǒng)UKF算法，本文提出的基于AUKF算法對鋰電池SOC估計具有更高精度及更好的跟蹤性，提高了算法對初始值和系統(tǒng)噪聲的魯棒性，驗證了AUKF算法在電池SOC估計方面實用性強、精度高和收斂快等優(yōu)點。

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