王玉嬌

國外的相關(guān)研究主要闡述兩個問題：課堂中融入數(shù)學(xué)史的意義以及課堂中如何融入數(shù)學(xué)史。國內(nèi)雖然是后起之秀，但是在數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂中對于學(xué)生、教師的價值以及融入數(shù)學(xué)史的方式，已經(jīng)做出了相應(yīng)的探究。綜合國內(nèi)外的研究，還存在如下問題：研究階段不均衡；深入課堂內(nèi)部研究較少；研究方式比較單一；等。對此提出進(jìn)一步研究的建議。

1972年國際數(shù)學(xué)研究協(xié)會首次成立數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱 HPM），標(biāo)志著一個新的研究領(lǐng)域的出現(xiàn)。自此之后，國內(nèi)外數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的研究也逐漸興起。

一、國外相關(guān)研究

自HPM興起之后，研究HPM的數(shù)學(xué)家也是比比皆是。克萊因、弗賴燈塔爾、卡約黎、史密斯（D. E. Smith）、洛利亞、坦納里等，都對HPM有著獨(dú)到的研究。通過對文獻(xiàn)的梳理，外國學(xué)者對于HPM的研究主要集中在“課堂中融入數(shù)學(xué)史的意義”以及“如何將數(shù)學(xué)史融入課堂之中”兩個方面。

（一）課堂中融入數(shù)學(xué)史的意義

1.教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵

HPM研究的先驅(qū)者，美國的數(shù)學(xué)史學(xué)家卡約黎（F. Cajori）就曾在他的《數(shù)學(xué)史》（A History of Math-ematics）前言中指出，教師通過對學(xué)生介紹數(shù)學(xué)史知識，可以使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)是一門在不斷演進(jìn)并且有趣的學(xué)科。他曾經(jīng)還做過比喻，說一門學(xué)科的歷史知識就是使面包和黃油更加可口的蜂蜜，可以讓這門學(xué)科變得更具吸引力。學(xué)科的豐富內(nèi)涵可以促進(jìn)學(xué)生們對于文化的理解。Jahnke等人曾說：在數(shù)學(xué)中整合歷史要求我們把數(shù)學(xué)的發(fā)展置于特定空間和社會的科學(xué)與技術(shù)的情境中。

2.教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史使教學(xué)方法更加優(yōu)化

教師在研究歷史的過程中受到啟迪，HPM將數(shù)學(xué)與歷史融為一體，教師在潛移默化中受到了數(shù)學(xué)方法論的影響，教師的教學(xué)觀將得到新的改變。數(shù)學(xué)教學(xué)方法多種多樣，了解數(shù)學(xué)史、掌握數(shù)學(xué)史，教師對于數(shù)學(xué)教學(xué)也就會有獨(dú)到的見解，促使教師在本質(zhì)上改變數(shù)學(xué)教學(xué)方法。與此同時，教師也在不斷探尋促使數(shù)學(xué)方法最優(yōu)化。著名的荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾在解釋數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的區(qū)別時就曾明確說過，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科唯一的區(qū)別就是歷史。因此他再創(chuàng)造的教學(xué)思想中第一層含義就是以歷史發(fā)生原理。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)中如何融入數(shù)學(xué)史

1.選擇數(shù)學(xué)史教學(xué)的方法

弗雷德（Fried）在數(shù)學(xué)史是否改變教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上區(qū)分，將其分為附加策略和順應(yīng)策略。Jankvist根據(jù)歷史材料的使用程度把數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用分為三種方法。第一種是啟發(fā)的方法：其中歷史材料將作為補(bǔ)充作用；第二種是單元/模塊的方法：直接使用史料來進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計；第三種是基于歷史的方法：是以歷史為基礎(chǔ)或者建立在歷史之上的教學(xué)方法。在ICMI的研究中的兩位數(shù)學(xué)教育家Jankvist和Arcavi列出了三種相輔相成的教學(xué)方法：一是在數(shù)學(xué)教學(xué)中直接提供歷史信息，這些信息可以與教學(xué)內(nèi)容沒有關(guān)聯(lián)；二是可以利用歷史發(fā)生方法進(jìn)行教學(xué)；三是創(chuàng)造與數(shù)學(xué)產(chǎn)生相互相關(guān)的文化情境。

2.數(shù)學(xué)史料類型的選用

塔納克斯、阿克（Arcavi）、杰恩克（Jahnke）和福瑞蒂（Furinghetti）等人在此方面的研究比較杰出。塔納克斯和阿克將選用的材料分成了三類：直接取自于原始文獻(xiàn)的原始材料；敘述、解釋和重構(gòu)歷史的二手材料；從原始材料和二手材料提煉而來的教學(xué)材料。而對于運(yùn)用原始材料所產(chǎn)生的效果，杰恩克（Jahnke）主要從替換、重新定向、文化理解三個維度來開展論述的。對于任何原始材料，一定要放在當(dāng)時的歷史背景下，才能起到最好的效果。但是在二手材料的選用上，一定要注意材料的科學(xué)性、真實(shí)性。

二、國內(nèi)的相關(guān)研究

為分析數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究現(xiàn)狀，我以中國知網(wǎng)（CNKI）近十年來的文獻(xiàn)為主，選取2006—2015年數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育150篇相關(guān)文章，具體分布情況見圖1：

文獻(xiàn)的不同研究階段，建立圖2：

從圖1我們可以直觀地看出，除2009年和2015年以外，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的文章波動的浮動不是很大，基本上每年研究的文獻(xiàn)都在15篇左右。再看圖2的數(shù)學(xué)史研究的教育階段，很明顯地可以看出不劃分階段（數(shù)學(xué)教育）的有83篇，而小學(xué)階段研究僅6篇、13篇，這就表明，在小學(xué)教育階段的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究有很大的研究空間。

為了具體準(zhǔn)確地掌握研究內(nèi)容，經(jīng)過分析，筆者將文獻(xiàn)梳理為以下幾個方面：

（一）在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的價值

HPM視域下的數(shù)學(xué)史不是為了歷史而歷史，而是為了數(shù)學(xué)教育而歷史。通過梳理文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)近10年的文獻(xiàn)中普遍出現(xiàn)一種高評價低應(yīng)用的趨勢。而這些較高的評價主要集中在學(xué)生和教師身上。

1.對學(xué)生的價值

華中師范附中的張俊忠在《數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史融入策略研究》中就明確指出，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的審美素養(yǎng)，張楚延在《數(shù)學(xué)·數(shù)學(xué)史·數(shù)學(xué)教育》中也對數(shù)學(xué)史的審美價值上也持有相同的觀點(diǎn)。國內(nèi)學(xué)者徐世斌也曾提過在課堂中融入數(shù)學(xué)史可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、愛國主義，還可以樹立克服困難的自信心。張奠宙曾說過數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的載體，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，還能豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識。張俊忠也在文中明確表示，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有助于形成科學(xué)的思維方法。在梁宇的文章中也曾寫到，將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，可以幫助學(xué)生形成良好的人格，豐富自身知識，提高自己的數(shù)學(xué)能力。

2.對教師的價值

楊渭清在同一篇文章中闡述了數(shù)學(xué)史對于教師的重要作用，數(shù)學(xué)史是教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的精神源泉。徐章韜、汪曉勤認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史對教師而言，可以改變教師自身對數(shù)學(xué)的洞察力和數(shù)學(xué)的理解，可以幫助教師思考數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以幫助教師在整體上來認(rèn)識數(shù)學(xué)。徐世斌還指出，數(shù)學(xué)史對于教師而言可以更好地幫助指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，更有利于教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中因材施教。（二）數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合的相關(guān)研究

在眾多的文獻(xiàn)中，研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的整合都集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)史在課堂中的融入途徑和呈現(xiàn)方式上。

在融入途徑方面，汪曉勤等人在HPM興起之后，在數(shù)學(xué)史的融入方式中總結(jié)了四種：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式。重構(gòu)式是數(shù)學(xué)課堂中最難應(yīng)該也是實(shí)施效果最好的一種方式。浙江師范大學(xué)的陳碧芬在《數(shù)學(xué)史“重構(gòu)式”融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究》中就綜合闡述了如何實(shí)現(xiàn)“重構(gòu)式”。

在呈現(xiàn)方式方面，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課中呈現(xiàn)方式是目前國內(nèi)外所研究的課題。我國臺灣學(xué)者洪萬生、華東師范大學(xué)教授汪曉勤等對于史料的處理方式研究在國內(nèi)具有一定的影響。洪萬生將呈現(xiàn)方式分為說故事、在歷史脈絡(luò)中比較數(shù)學(xué)家所提供的不同方法、從歷史的角度注入文化的意義。

三、研究的成果與不足

（一）研究成果

1.為數(shù)學(xué)教育開創(chuàng)了新領(lǐng)域

國內(nèi)外的眾多研究，尤其是數(shù)學(xué)史的研究，以往的研究表明的是歷史形態(tài)的數(shù)學(xué)史，是為了歷史而歷史。自從HPM成立以后，數(shù)學(xué)史的形態(tài)已經(jīng)潛移默化地發(fā)生改變，數(shù)學(xué)史的教育形態(tài)已經(jīng)昭然若揭。數(shù)學(xué)學(xué)者的觀念正在逐漸地發(fā)生改變，國內(nèi)外學(xué)者們的研究為我國的數(shù)學(xué)教育做出來巨大貢獻(xiàn)。

2.樹立全新的學(xué)生觀

HPM研究領(lǐng)域正在逐漸改變教師的學(xué)生觀，以往的學(xué)生在數(shù)學(xué)中犯了錯誤，教師會以獎懲的形式來鞏固學(xué)生的錯誤，而在HPM研究領(lǐng)域，數(shù)學(xué)教師正在逐步站在歷史的角度來看待學(xué)生的錯誤，對學(xué)生的錯誤有了歷史的認(rèn)識。這是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合的過程中教師全新學(xué)生觀的樹立。

3.為課程內(nèi)容的開發(fā)補(bǔ)充素材

在數(shù)學(xué)史的研究浮現(xiàn)之前，數(shù)學(xué)教學(xué)中的資源開發(fā)為數(shù)最多的就是數(shù)學(xué)習(xí)題方面的資料。而筆者通過梳理文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中之后，數(shù)學(xué)課堂的氣氛活躍，數(shù)學(xué)史中大量有教育意義的素材也被充分開發(fā)利用，為一線的數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中提供了新思路、新資源。

（二）研究的不足

1.研究階段不均衡

縱觀國內(nèi)外的研究表明，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合的實(shí)踐研究中，初等教育領(lǐng)域的研究亟待開發(fā)。2011版新課標(biāo)中已明確提出數(shù)學(xué)文化的重要性，而數(shù)學(xué)史又是數(shù)學(xué)文化的載體，數(shù)學(xué)史以教育的形態(tài)融入數(shù)學(xué)教學(xué)中也是理所應(yīng)當(dāng)?shù)??？v觀國內(nèi)外文獻(xiàn)，研究高中階段的較多，研究小學(xué)階段的較少。在新課改以后，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，各版本的教材中，數(shù)學(xué)史的內(nèi)容都有所增加，但是學(xué)者們對此的關(guān)注卻很少。

2.深入課堂內(nèi)部研究較少

數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)價值已經(jīng)不言而喻，但是眾多研究中，闡述有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)部教學(xué)實(shí)施策略的比較少，汪曉勤教師已經(jīng)明確指明數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂中的四種方式：復(fù)制式、順應(yīng)式、附加式、重構(gòu)式。而重構(gòu)式教學(xué)是將數(shù)學(xué)史知識轉(zhuǎn)化為無形，是四種數(shù)學(xué)教育中最有教育意義的方式，而眾多文獻(xiàn)表示，數(shù)學(xué)教師采取重構(gòu)式教學(xué)的較少，據(jù)此，可以看出部分?jǐn)?shù)學(xué)教師的觀念以及史學(xué)素養(yǎng)的程度較低。

3.研究方式比較單一

在對文獻(xiàn)的梳理過程中，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)外近十年的文獻(xiàn)中，就研究方法方面，通常采用調(diào)查法的研究比較多，而調(diào)查法又以問卷調(diào)查為主，問卷調(diào)查所存在的問題一目了然，調(diào)查很廣卻不深。單一運(yùn)用調(diào)查法，研究就會被調(diào)查表面的結(jié)果所蒙蔽，難以揭示教育的內(nèi)部現(xiàn)狀。

四、對進(jìn)一步研究建議

（一）研究階段均衡發(fā)展

在2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中已經(jīng)明確指出數(shù)學(xué)文化的重要性，因此，在小學(xué)、中學(xué)階段對于數(shù)學(xué)史融入的研究應(yīng)是刻不容緩的。而小學(xué)階段正是整個教育進(jìn)程中的基礎(chǔ)，只有基礎(chǔ)根基牢固，才能有眾多高樓大廈，因此，對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究就更不應(yīng)該是落后的，更應(yīng)該與初中、高中乃至大學(xué)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究并駕齊驅(qū)。

（二）提供數(shù)學(xué)史教學(xué)的案例

我國的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究目前在應(yīng)用方面還比較少，就目前而言數(shù)學(xué)史的價值研究比比皆是，而在文獻(xiàn)中真正呈現(xiàn)教學(xué)案例的還比較少，在理論的支撐下，在文章中梳理出不同主題的教學(xué)案例，這樣才會對未來的研究者以及工作在教育最前線的小學(xué)數(shù)學(xué)教師提供教學(xué)新思路。只有切實(shí)可行的研究，才是最有價值的教育研究。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究必須適時涌現(xiàn)一批案例，HPM領(lǐng)域的研究才能向前邁進(jìn)一大步。

【作者單位：渤海大學(xué)·教學(xué)與體育學(xué)院 遼寧】